2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷04（解析版）

2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷04数学试题I一、 填空题（共70分）1. 已知集合A(x，y)|yln x，B(x，y)|xa若AB，则实数a的取值范围是_答案：(，0解析：由于集合A中yln x，所以x0，要使AB，则a0.2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为120件，90件，60件为了解它们的产品质量是否有显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了4件，则n_答案：18解析：条件中丙车间共有60件产品，抽取了4件产品，抽取的比例为，而甲、乙车间分别有120件和90件，所以应该分别抽取8件与6件，所以容量n86418(件)3. “实数a1”是“复数(1ai)i(aR，i为虚数单位)的模为”的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)答案：充分不必要解析：由复数(1ai)iai(aR，i为虚数单位)的模为，可得，所以a1，所以“实数a1”是“复数(1ai)i(aR，i为虚数单位)的模为”的充分不必要条件4. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的s_答案：46解析：由条件得i2时，s4；i3时，s10；i4时，s22；i5时，s46.因为此时i4，所以输出s为46.5.已知一个圆锥的底面积为2，侧面积为4，则该圆锥的体积为_.答案：解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由条件得解得所以圆锥的高h，所以其体积为r2h2. 6. 函数f(x)x23x4，则任取一点x03，7，使得f(x0)0的概率为_. 答案：解析：由f(x)0可得x23x40，解得1x4，所以任取一点x03，7，使得f(x0)0的概率为.7. 若曲线f(x)xcos x1在x0处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a_. 答案：2解析：由f(x)xcos x1可得f(x)cos xxsin x，f(0)1，由条件得1，所以a2.8. 已知点P(1，0)到双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为_答案：解析：由条件得双曲线的渐近线的方程为bxay0，则，即a23b2，所以双曲线的离心率e.9. 已知sin()2sin()0，且tan 3.若(0，)，则_. 答案：解析：由sin()2sin()0得3sin cos cos sin 0.因为tan 3，所以tan 1.因为(0，)，所以.10. 设数列lg an是公差为1的等差数列，其前n项和为Sn，且S1155，则a2的值为_答案：10解析：由已知条件得11lg a1155，所以lg a10，所以lg a21，即a210.11. 已知关于x的一元二次不等式ax22xb0的解集为，且ab，则的最大值为_. 答案：解析：由题意得224ab0，且a0，即ab1.因为ab，所以ab0，所以，当且仅当ab时，等号成立12. 已知圆C：(x4)2(y4)24，且A(a，0)，B(0，a)(a0)若对于圆C上任意一点P，APB均为锐角，则a的取值范围是_. 答案：(0，4)解析：设P(m，n)，其中m0，n0，且(m4)2(n4)24，即m2n28(mn)280，所以m2n28(mn)28，所以82mn82.而(am，n)，(m，an). 因为APB均为锐角，所以(am，n)(m，an)m2n2a(mn)0恒成立，即a8恒成立. 因为82mn82，所以484，所以a0，所以0a4.13. 如图，在圆O中，已知弦AB4，点M是弦BC的中点若5，则弦AC的长为_答案：. 2解析：因为O是ABC的外心，因此O在AB，AC边上的射影分别是AB，AC的中点，所以|cosOAB|28.同理|2.由于点M是BC的中点，所以()，由已知得()()(8|2)5，所以|2. 14. 已知函数f(x)2x(x0)与g(x)log4(xa)的图象上存在关于点(1，1)对称的点，则实数a的取值范围是_. 答案：(0，)解析：设函数f(x)的图象上的任意一点P(x，y)关于点(1，1)的对称点为(2x，2y)，由条件得点(2x，2y)在函数g(x)的图象上，即2ylog4(2xa)，又y2x，所以2xlog4(2xa)(*)由条件得方程(*)有解，作出y2x(x0.二、解答题（共90分）15、（本小题满分14分）已知函数f(x)2sin(x)(0，)，其图象关于点(，0)对称，且对于任意的xR，都有f(x)f()，同时f(x)在(，)上不存在最小值(1) 求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间；(2) 若f()，且0，故2, f(x)2sin(2x)(2分)由f2sin2, 解得2k(kZ)又， ， f(x)2sin.(5分)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ， 函数f(x)的单调增区间为(kZ)(7分)(2) 依题意得2sin，即sin . ， 02b0)的离心率为，点A，B分别为椭圆C的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆C于D，E两点，交AB于M点，其中点E在第一象限，设直线DE的斜率为k.(1) 当k时，求证：直线DE平分线段AB；(2) 已知点A(0，1)， 若SADM6SAEM，求k的值； 求四边形ADBE面积的最大值(1) 证明： e， ca，b，故A，B(a，0)，(2分)则AB中点M.而kOM，即AB中点M在直线DE上， 直线DE平分线段AB.(4分)(2) 解： 点A(0，1)， 椭圆C的方程为y21.设E(x1，y1), M(x0，y0)，则D(x1，y1)，AB的直线方程为y1. 设点A到直线DE的距离为d, SADM6SAEM，则DMd6MEd， DM6ME.(6分)6，即7x05x1，由解得x1. 由解得x0.(8分) 75，即24k225k60， k或k.(10分) 点E到直线AB的距离d1，点D到直线AB的距离d2.SADBEAB(d1d2)(12分)(x12y12x12y12)x12y1(14分)2.当且仅当x12y1时取等号. 四边形ADBE面积的最大值为2 .(16分)19. (本小题满分16分)已知单调递增数列an满足a4Sn2an15，nN*，且a10，其中Sn为an的前n项和(1) 求证：数列an为等差数列，并写出其通项公式；(2) 设log2 bn(an1)，求使不等式成立的正整数n恰有4个的正整数p的值；(3) 设函数f(x)x，An为数列的前n项积，是否存在实数a使得不等式Anf(4)f(5)f(6)f(7).而f(3)4，f(4)，f(5)， 4，即p.又pN， p3.(10分)(3) 解： 1， An，An. f(a)a， a对一切正整数恒成立令 g(n)， 1，即g(n1)，解得a，即存在a的取值范围是(，)(16分)20. (本小题满分16分)已知函数f(x)(2a)(x1)2ln x，g(x)xe1x.(1) 求函数g(x)在区间(0，e上的值域；(2) 是否存在实数a，对任意给定的x0(0，e，在区间(0，e上总存在两个不同的xi(i1，2)，使得f(xi)g(x0)成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由；(3) 给出如下定义：对于函数yF(x)图象上任意不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果对于函数yF(x)图象上的点M(x0，y0)(x0)总能使得F(x1)F(x2)F(x0)(x1x2)成立，则称函数具备性质“L”试判断f(x)是否具备性质“L”？解：(1) g(x)e1xxe1x(1x)e1x, 令g(x)0，得x1.(1分)x(，1)1(1，)g(x)0g (x)极大值 g(x)在区间(0，1上单调递增，在区间1，e上单调递减又g(0)0，g(e)e2e0，极大值g(1)1, 函数g(x)的值域是(0，1. (3分)(2) f(x)2a，x(0，e 当2a0即a2时，f(x)0即a2时，令f(x)0，得x.xf(x)0f(x)极小值 对任意给定的x0(0，e，在区间(0，e上总存在两个不同的xi(i1，2)，使得f(xi)g(x0)成立， 0e, 解得a2.(6分) f(1)0， 极小值ff(1)0.对于函数f(x)，当x0时，f(x)； f(e)(2a)(e1)2.由(1)知，函数g(x)的值域是(0，1, 则有解得a2， a的取值范围是(，2(9分)(3) 设函数f(x)具备性质“L”，即在点M处的切线斜率等于直线AB的斜率不妨设0x1x2， kAB2a2，f(x0)2a， 2，即ln .(12分)令t，则0t1，上式化为ln t2，即ln t20.令h(t)ln t2，0t0， h(t)在(0，1)上是增函数 h(t)0， abc.(10分) 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA4，CB4，CC12，ACB90，点M在线段A1B1上(1) 若A1M3MB1，求异面直线AM与A1C所成角的余弦值；(2) 若直线AM与平面ABC1所成角为30，试确定点M的位置解：(1) 分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(4，0，0)，A1(4，0，2)，B1(0，4，2)因为A1M3MB1，所以M(1，3，2)所以(4，0，2)，(3，3，2)(2分)由|cos，得cos，.所以异面直线A1C与AM所成角的余弦值为.(4分)(2) 由B(0，4，0)，C1(0，0，2)知，(4，4，0)，(4，0，2)设平面ABC1的法向量为n(a，b，c)，由得所以平面ABC1的一个法向量为n(1，1，)(6分)因为点M在线段A1B1上，所以可设M(x，4x，2)，所以(x4，4x，2)因为直线AM与平面ABC1所成角为30，所以向量n与的夹角的余弦值的绝对值为.(8分)由|n|n|cosn，|，得|1(x4)1(4x)2|2，解得x2或x6.因为点M在线段A1B1上，所以x2，即点M是线段AB的中点(10分)23（本小题满分10分）已知函数f0(x)eaxsin(bxc)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1) 求f1(x)，f2(x)，f3(x)；(2) 求fn(x)的表达式，并证明你的结论解：(1) f1(x)f0(x)aeaxsin(bxc)beaxcos(bxc)eaxasin(bxc)bcos(bxc)eaxsin(bxc)(a2b2)eaxsin(bxc)，其中sin ，cos .f2(x)f1(x)aeaxsin(bxc)beaxcos(bxc)eaxasin(bxc)bcos(bxc)(a2b2)eaxsin(bxc2)f3(x)f2(x)(a2b2)aeaxsin(bxc2)beaxcos(bxc2)(a2b2)eaxsin(bxc3)(3分)(2) 猜想fn(x)(a2b2