2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何阶段性测试题三 新人教A版选修2-1

第三章空间向量与立体几何(时间：120分钟满分：150分)第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知正方体abcda1b1c1d1中，点e为上底面a1c1的中心，若xy，则x，y的值分别为()ax1，y1 bx1，ycx，y dx，y1解析：如图，11()1x，y.答案：c2已知a(1,2，1)，b为a关于平面xoy的对称点，c为b关于y轴的对称点，则()a(2,0，2) b(2,0,2)c(1,0，1) d(0，2，2)解析：由题意可知，b(1,2,1)，c(1,2，1)，(2,0，2)答案：a3已知在正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，e为aa1的中点，则异面直线be与cd1所成的角的余弦值为()a. bc. d解析：如图所示，建立空间直角坐标系dxyz，设ab1，则aa12，b(1,1,0)，e(1,0,1)，c(0,1,0)，d1(0,0,2)，(0，1,1)，(0，1,2)，cos，.答案：c4(2018长春模拟)如图所示，正三棱锥abcd的底面与正四面体ebcd的侧面bcd重合，连接ae，则异面直线ae与cd所成角的大小为()a30 b45c60 d90解析：如图，正三棱锥abcd的底面与正四面体ebcd的侧面bcd重合，bcd是等边三角形，ae过bcd的中心，ae平面bcd，异面直线ae与cd所成角的大小为90.答案：d5如图，正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直，ab，af1，m在ef上，且am平面bde，则m点的坐标为()a(1,1,1)b.，1c.，1d.，1解析：设m点的坐标为(x，y,1)，连接oe，则o，0，又e(0,0,1)，a(，0)，1，(x，y，1)am平面bde，则m点的坐标为，1.答案：c6如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，aa1，ad2，p为c1d1的中点，m为bc的中点，则am与pm所成的角为()a60 b45c90 d以上都不对解析：建立空间直角坐标系dxyz，如图所示，依题意，得a(2，0,0)，p(0,1，)，m(，2,0)(，1，)，(，2,0)，2200.，即am与pm所成的角为90.答案：c7已知空间四个点a(1,1,1)，b(4,0,2)，c(3，1,0)，d(1,0,4)，则直线ad与平面abc所成的角为()a60 b45c30 d90解析：设m(x，y，z)为平面abc的法向量，由题意得得令z1，得m，则ad与平面abc所成角满足sin ，又，30.答案：c8如图，矩形cdef和梯形abcd所在的平面互相垂直，badadc90，abaddecd，则de与平面ebc所成角的正弦值为()a. bc. d解析：平面cdef平面abcd，平面cdef平面abcdcd，de平面cdef，decd，de平面abcd.以d为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系dxyz，设daa，则b(a，a,0)，e(0,0，a)，c(0,2a,0)，(a，a，a)，(0,0，a)，(a，a,0)，设平面ebc的法向量m(x，y，z)则即取x1，则m(1,1,2)设de与平面ebc所成的角为，则sin .答案：b9在直三棱柱a1b1c1abc中，bac，abacaa11，已知g和e分别为a1b1和cc1的中点，d与f分别为线段ac和ab上的动点(不包括端点)，若gdef，则线段df的长度的取值范围为()a.，1 b，1c.，1 d，1解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，e0,1，g，0,1，f(x,0,0)，d(0，y,0)因为gdef，即，且，y，1，x，1，所以x2y10，df .当y时，线段df长度的最小值是；当y1时，线段df长度的最大值是1.因为不包括端点，所以y1不能取故选a.答案：a10在正方体abcda1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成角的正弦值为()a. bc. d解析：不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系dxyz，则d(0,0,0)，b(1,1,0)，b1(1,1,1)平面acd1的一个法向量为(1,1,1)又(0,0,1)，则cos，.故bb1与平面acd1所成角的正弦值为.答案：b11已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为()a. bc. d解析：如图所示，三棱锥abcd，顶点a在底面的射影为o，o为底边的中心，连接bo，则abo为侧棱与底面所成的角，由题可得，bo1，cos abo.答案：d12如图所示，在四面体pabc中，pc平面abc，abbccapc，那么二面角bapc的余弦值为()a. bc. d解析：以c为原点，ca所在的直线为x轴，过c作ac的垂线为y轴建立空间直角坐标系cxyz，如图所示设abbccapc2，a(2,0,0)，b(1，0)，p(0,0,2)，取ac的中点d，则d(1,0,0)，(2,0，2)，(2,0,0)，(0，0)，0，0，是平面pac的一个法向量设平面pab的法向量为n(x，y，z)，(1，0)，则令x，y1，z，n(，1，)，cosn，.答案：c第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在题中的横线上)13若空间三点a(1,5，2)，b(2,4,1)，c(p,3，q2)共线，则p_，q_.解析：(1，1,3)，(p1，2，q4)，又a，b，c三点共线，.p3，q2.答案：3214在空间直角坐标系oxyz中，已知a(1，2,3)，b(2,1，1)，若直线ab交平面xoz于点c，则c点的坐标为_解析：点c在平面xoz内，可设c的坐标为(x,0，z)又a(1，2,3)，b(2,1，1)，(x1,2，z3)(1,3，4)a，b，c三点共线，x，z.c的坐标为.答案：15正abc与正bcd所在平面垂直，则二面角abdc的正弦值为_解析：取bc的中点o，连接ao，do，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.设bc1，则a，o(0,0,0)，b，d，所以，.则为平面bcd的一个法向量设平面abd的法向量为n(x，y，z)，则所以取x1，则y，z1，所以平面abd的一个法向量为n(1，1)，所以cosn，sinn，.答案：16给出下列命题：直线l的方向向量为a(1，1,2)，直线m的方向向量为b2,1，则l与m垂直；直线l的方向向量为a(0,1，1)，平面的法向量为n(1，1，1)，则l；平面，的法向量分别为n1(0,1,3)，n2(1,0,2)，则；平面经过三点a(1,0，1)，b(0,1,0)，c(1,2,0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，则ut1.其中真命题的是_(把正确命题的序号都填上)解析：a(1，1,2)，b2,1，则ab12(1)120，则ab，直线l与m垂直，故正确；a(0,1，1)，n(1，1，1)，则an011(1)(1)(1)0.则an，l或l，故错误；n1(0,1,3)，n2(1,0,2)，n1与n2不共线，不成立，故错误；点a(1,0，1)，b(0,1,0)，c(1,2,0)，(1,1,1)，(1,1,0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，即解得ut1，故正确综上所述，其中真命题是.答案：三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)(2019北京卷)如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，adcd，adbc，paadcd2，bc3.e为pd的中点，点f在pc上，且.(1)求证：cd平面pad；(2)求二面角faep的余弦值；(3)设点g在pb上，且.判断直线ag是否在平面aef内，说明理由解：(1)证明：因为pa平面abcd，所以pacd.又因为adcd，所以cd平面pad.(2)过a作ad的垂线交bc于点m.因为pa平面abcd，所以paam，paad.如图建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(2，1,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)因为e为pd的中点，所以e(0,1,1)所以(0,1,1)，(2,2，2)，(0,0,2)所以，.设平面aef的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1，x1，于是n(1，1,1)又因为平面pad的一个法向量为p(1,0,0)，所以cosn，p.由题知，二面角faep为锐角，所以其余弦值为.(3)直线ag在平面aef内，因为点g在pb上，且，(2，1，2)，所以，.由(2)知，平面aef的一个法向量n(1，1,1)，所以n0，所以直线ag在平面aef内18(12分)在正三棱柱abca1b1c1中，所有棱的长度都是2，m是bc边的中点，试问：侧棱cc1上是否存在一点n，使得异面直线ab1和mn所成的角等于45？解：以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系axyz.因为所有棱长都等于2，所以a(0,0,0)，c(0,2,0)，b(，1,0)，b1(，1,2)，m.假设侧棱cc1上存在点n，可设n(0,2，m)(0m2)，则(，1,2)，.于是|2，| ，2m1.如果异面直线ab1和mn所成的角等于45，那么向量和的夹角是45或135，而cos，所以，解得m，这与0m2矛盾所以侧棱cc1上不存在点n，使得异面直线ab1和mn所成的角等于45.19(12分)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为梯形，pd底面abcd，abcd，adcd，adab1，bc.(1)求证：平面pbd平面pbc；(2)设h为cd上一点，满足23，若直线pc与平面pbd所成角的正切值为，求二面角hpbc的余弦值解：(1)证明：由adcd，abcd，adab1，可得bd，又bc，bdc，bcbd，pd底面abcd，bcpd.pdbdd，bc平面pbd，bc平面pbc，平面pbd平面pbc.(2)由(1)可知，bpc为pc与底面pbd所成的角tan bpc，pb，pd1.又23，由(1)知，cd2，可得ch，dh.如图，以d点为坐标原点，da，dc，dp分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系dxyz.则b(1,1,0)，p(0,0,1)，c(0,2,0)，h.，(1,1，1)设平面hpb的法向量为n(x，y，z)，则由得取n(1，5，4)同理平面pbc的一个法向量为m(1,1,2)cosm，n.又二面角hpbc为锐角，二面角hpbc的余弦值为.20(12分)(2019浙江卷)如图，已知三棱柱abca1b1c1，平面a1acc1平面abc，abc90，bac30，a1aa1cac，e，f分别是ac，a1b1的中点(1)证明：efbc；(2)求直线ef与平面a1bc所成角的余弦值解：(1)证明：连接a1e，因为a1aa1c，e是ac的中点，所以a1eac.又平面a1acc1平面abc，a1e平面a1acc1，平面a1acc1平面abcac，所以，a1e平面abc.如图，以点e为原点，分别以射线ec，ea1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系exyz.不妨设ac4，则a1(0,0,2)，b(，1,0)，b1(，3,2)，f，2，c(0,2,0)因此，2，(，1,0)，由0得efbc.(2)设直线ef与平面a1bc所成角为.由(1)可得，(，1,0)，(0,2，2)设平面a1bc的法向量为n(x，y，z)，由得取n(1，1)，故sin |cos，n|，因此，直线ef与平面a1bc所成的角的余弦值为.21.(12分)(如图1)等边abc的边长为3，点d，e分别是边ab，ac上的点，且满足，现将ade沿de折起到a1de的位置，使二面角a1deb为直二面角，连接a1b，a1c(如图2)(1)求证：a1d平面bced；(2)在线段bc上是否存在点p，使直线pa1与平面a1bd所成的角为60，若存在，求出pb的长，若不存在，请说明理由解：(1)证明：等边abc的边长为3，且，ad1，ae2.在ade中，dae60，由余弦定理得de .ad2de2ae2，adde.折叠后有a1dde，二面角a1deb是直二面角，平面a1de平面bced.又平面a1de平面bcedde，a1d平面a1de，a1dde，a1d平面bced.(2)解法一：假设在线段bc上存在点p，使直线pa1与平面a1bd所成的角为60.如图所示，作phbd于点h，连接a1h，a1p，由(1)有，a1d平面bced，而ph平面bced，a1dph.又a1dbdd，ph平面a1bd，pa1h是直线pa1与平面a1bd所成的角设pbx(0x3)，则bh，phx，在rtpa1h中，pa1h60，a1hx.在rta1dh中，a1d1，dh2x，由a1d2dh2a1h2，得1222，解得x，满足0x3，符合题意在线段bc上存在点p，使直线pa1与平面a1bd所成的角为60，此时pb.解法二：由(1)的证明，可知eddb，a1d平面bced.以d为坐标原点，以射线db，de，da1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系dxyz如图所示，设pb2a(02a3)，则bha，pha，dh2a，a1(0,0,1)，p(2a，a,0