三角函数与向量的基本概念及综合应用.doc

湖南省省级示范性高中-洞口三中 方锦昌 提供一、 向量的基本概念：1、 向量、平行向量（共线向量）、零向量、单位向量、相等向量：2、 向量的表示：、区别于|、|3、 向量的加法、减法：平行四边形法则和三角形法则 例题1、一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速为2km/h；求船实际航行的速度大小和方向。（答案：4km/h，方向与水流方向成60角）【题2】设O为平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+l(+),l0,+),则点P的轨迹一定通过ABC的( D )A 外心 B 垂心 C 内心 D 重心 将上题中的条件改为=+l(+)则应选( C ) 例题3：（1）、化简下列各式：+；+-；+；（-）+（-）其中结果为0的有（ 2）、在平行四边形ABCD中，=,DB=,则有:=-,=+-4、 实数与向量的积、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示： 注意点的坐标和向量的坐标的差别：向量的平等行和垂直坐标公式： 5、向量的数量积的概念，以及向量平行、垂直、长度、夹角：例1、已知平行四边形OADB中，=,=,AB与OD相交于点C，且|BM|=|BC|，|CN|=|CD|，用、表示、和。 例2、求证；G为ABC的重心的充要条件是：+=0 例3、已知AD、BE分别是ABC的边BC、AC上的中线，=,=，则=_ 例4、已知等差数列an的前n项之和为Sn,若M,N,P三点共线，O为坐标原点，且=a31+a2(直线MP不过点O），则S32等于多少？ （xx年江西高考）已知等差数列an的前n项之和为Sn,若=a1+a200,且=A,B,C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（ ） A 100 B 101 C 200 D 201 例5、若的起点和终点坐标分别为（1，3），（4，7），则|=_ 已知=(1,2),=(x,1),且+2与2-平行，则x之值为_ 已知=(3,4),且的起点坐标为(1,2)，终点坐标为 (x,3x)，则等于_ 已知点M（3，-2），N（-5，-1），且=，则点P的坐标是_（答案：（-1，） 巩固练习：（一）平面向量的坐标运算规律：设=(x1,y1),=(x2,y2),则+=_；-=_,l=_；|=；又=|cos=x1x2+y1y2则cos=; 若x1y2-x2y1=0; 若x1x2+y1y2=0， 例1、 已知=(3,5) =(2,3),=(1,-2),求（) （答案：（21，-42） 已知=(3,-1),=(-1,2),则-3-2的坐标为_(答案:(-7,-1)已知|=4,|=3,(2-3)(2+)=61,求与的夹角.(为120)已知|=2,|=9, =-54,求与的夹角.(为135) 例2、已知=(1,2),=(x,1)且+2与2-平行，则x=_(答案:) 已知|=2,|=1, 与的夹角为,求向量2+3与3-的夹角的余弦值.(答案:)；已知向量=(cosa,sina),=(cosb,sinb),且,则+与-的夹角大小是_(90)已知向量与的夹角为120,且|=3,|+|=,则|=_例3已知=(1,2),=(-3,2),当k为何值时,k+与-3垂直?k+与-3平行,平行时它们是同向还是反向?（解:k=19; k=-1/3,反向.）例4:若向量+3垂直于向量7-5,且向量-4垂直于向量7-2,求向量与的夹角大小.(答案:60)已知向量=(2,7),=(x,-3),当与的夹角为钝角时，求出x的取值范围；若与的夹角为锐角时，问x的取值范围又为多少？（答案：为钝角时x)例5、已知=(cos,sin),=(sin,cos),x0,，求；求|+|，设函数（x)=+|+|，求出(x）的最大值和最小值。解：=sin2x; |+|=(sinx+cosx), (x）的最大值为1+2，最小值2 例6、已知向量a=(sinq,1),b=(1,cosq),-q,若ab,求出q之值，求出|a+b|的最大值。（答案：q=-，|a+b|的最大值+1）例7、已知向量=(cosq,sinq),向量=(,-1)，求|2-|的最大值。（答案为4）已知向量=(3,1),向量=(x,-3),且，求出x之值。（答案为1）已知|=3,|=2,且与的夹角为60，当m为何值时，两向量3+5与m-3互相垂直？（答案：m=）已知|=3,|=8,向量与的夹角为120，则|+|之值为多少？（答案：7）已知|=|=1,及|3-2|=3，求出|3+|之值。（答案：2）已知,是非0向量，且满足-2,和-2，则与的夹角为多少？（答案：为60）；已知向量=(4,-3),|=1,且=5,则=_（答案：（，）若向量与的夹角为60，且|=4，又有(+2)(-3)=-72，则向量的模为多少？（答案：为6）；已知点A（-2，0），点B（3，0），动点P（x,y)满足=x2,则动点P的轨迹方程为_（答案：y2=x+6)在ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且a+c=2b,A-C=，求sinB（答案：）例8、已知向量,且|=4,|=3,又(2-3)(2+)=61,则=_（120）例9、已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使，成公差小于0的等差数列，求点P的轨迹方程；若点P的纵坐标为，求tan之值。（答案：x2+y2=3(x0);) 例10、已知=(1,-2),=(1,l),若和的夹角为锐角，求l的取值范围；若和垂直，求l之值；若和的夹角为钝角，求l的取值范围；若和同向，求l的值；若和反向，求l的值；若和共线，求l的值。 例11、已知=(-3,2),=(2,1),=(3,-1),tR,若-t与共线，求实数t之值。求出|+t|的最小值及相应的t之值。四、三角与与向量的综合归纳1、三角变形公式主要是：诱导公式；sin(ab),cos(ab),tan(ab);sin2a,cos2a,tan2a;sin2a,cos2a;asinq+bcosq;注意常数代换（如1= sin2a+cos2a;=sin30=cos60等；角的配凑（如a=（a+b）-b，2a=（a+b）+（a-b），a=+等）2、变形时，要注意角与角之间的相互关系，最常用的有：切割化弦、高次降幂、异角化同角等；（化同名、化同次、化同角）3、三角函数的图象和性质，要注意定义域、值域、奇偶性、图象对称性、周期性、单调性、最值；正、余弦函数作图的“五点法”，以及图象的变换。4、解三角形时，要充分利用正弦定理、余弦定理，结合三角形的内角和定理，三角变形公式去处理问题；5、向量要注意选择几何、字符、坐标运算形式，力求简化运算过程；要将坐标运算与基底运算灵活加以应用；向量的数量积是解决有关平行、垂直、夹角、模、投影等问题的重要工具；利用|2=2可以实现数量积与模的相互转化。v 【题1】已知=(1,1)与+2的方向相同,则的取值范围是_(答案:(-1,+)已知非零向量与满足(+)=0,且=,则ABC为(D )A钝角 B Rt C 等腰非等边 D 等边已知=(3,1),=(-1,2),若,且,则=_(答案:(14,7)已知向量=(1,-2),=(1,l),若与的夹角为锐角,则实数l的取值范围是_(答案:(-,-2)(-2,)v 【题2】设函数(x)= ,其中向量=(2cosx,1),=(cosx,sin2x),当(x)=1-,且x-,求x； 若函数y=2sin2x的图象按向量=(m,n)(|m|0)的图象上的一个最大值点和一个最小值点都在圆x2+y2=r2上,则(x)的最小正周期是_(答案:4)已知函数y=sin(x+j)(0,0j)是偶函数,其图象关于点M(,0)对称,且在0,上是单调函数,求和j的值.(答案:j=;=2或)【题6】已知函数(x)= sinxcosx-cos2x+(0)的最小正周期是,且图象关于直线x= 对称,求出之值; 若当x0,时,|a+(x)|4恒成立,求实数a的取值范围.解、(x)= -sin（2x+）+1；|a+(x)|4恒成立-4-(x)maxa0)个单位,得到曲线C,若曲线C关于点(,0)对称,则a的最小值是_(答案:)【题8】受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.某港口水的深度y(米)是时间t(0t24,单位:时)的函数,记作y=(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据:t(时)03 691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经过长期观察, y=(t)曲线可以近似地看作函数y=Asint+k的图象根据以上数据,求出函数y=(t)的近似表达式; 一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5m或5m以上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只要不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m,如果该船想在同一天内安全进出港口,问它至多能在港内停留多长的时间(忽略进出港口所需时间)解:y=3sint+10; y=3sint+105+6.5,则1t5或13t17,则最多可停留16个小时.v 【题9】设ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,()给出下列两个条件:a,b,c成等差数列; a,b,c成等比数列;()给出下列三个结论:0B;acos2()+ccos2()=;1请你选择给定的两个条件中的一个做为条件,给定的三个结论中的两个做为结论,组建一个你认为正确的命题,并给出证明.解:（1）可组建四个正确的命题:;；（2）y= = sin(B+）且0B，则1y一、综合巩固练习（1） 例1：化简： (答案：sinq)化简：sin(a-)+cos(a+) (答案：0）已知a0)的图象的相邻两支截直线y=所得的线段长为,则（）之值是( A ) A 0 B 1 C -1 D 【题2】已知=(cosa,sina),=(cosb,sinb),且与之间满足关系:|k+|=|-k|,其中k0,则的最小值是_,此时与的夹角大小为_解、平方得=则最小值为,此时与的夹角大小为60【题3】函数1(x)=Asin(x+j)(A0,0,|j|)的一段图象过点(0,1),如图所示,求函数1(x)的解析式；将函数y=1(x)的图象按向量=(,0)平移,得到函数y=2(x)的图象,求函数y=1(x)+ 2(x)的最大值,及此时自变量x的取值集合. 解、1(x)=2sin(2x+)； y=2(x)= -2cos(2x+) y=1(x)+ 2(x)= 2sin(2x-) 当x=k+(kZ)时,ymax=2【题4】若函数(x)=sin3x-cos3x在区间M上的最大值与最小值的差等于4，则区间M 一定不可能是（ C ）A -， B -，- C ， D ，设函数(q)=acos2q+bsin2q+2acosq,其中ab0,q0,则关于q的方程(q)=0的解有( )个 A 0 B 1 C 2 D 无数个解、(q)=(a-b)cos2q+2acosq+b=(a-b)t2+2at+b (-1t1)则(-1)(1)=-3a20从而选(B)；【题5】在三角形ABC中,若+=-6若C为直角,求c边的长；若三角形的周长等于6,试判断三角形ABC的形状解、利用余弦定理，则有c=;可判断出ABC为正三角形【题6】函数(x)=Asin(x-)(A0,0)的图象经过点(,2)，且其单调递增区间的最大长度是2，求出其单调递减区间。（解、A=4，周期为4，则有=，从而(x)=4sin(x-)，则单调递减区间为+4k, +4k (kz)【题7】已知向量=(sinx,cosx),=(cosx,cosx),=(2,1),若,求sin2x的值;设函数(x)=,ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且(B)=1,试判断ABC的形状解、则tanx=2，则sin2x= (x)= +sin(2x+),由(B)=1则B=。又由余弦定理有a=c,从而为正三角形【题8】已知=(,),=-,=+,若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则向量=_,AOB面积为_解、且|=|,则旋转90画图知=(,)或（，），AOB面积是1【题9】若把函数的图象沿向量a=（-，-2）平移后，得函数y=cosx的图象，则原函数的解析式为（ A ）A y=cos(x-)+2 B y=cos(x+)+2 C y=cos(x-)-2 D y=cos(x+)-2【题10】设向量=(cosx,sinx),=(sinx,-sinx),求函数（x)=loga(+) (a0且a 1)的单调递增区间； 若=，且x(0,),求满足sin(x-q)-sin(x+q)+sin2x=的最小正角q。（解、（x)= loga(sin2x+)则当a1时，为（k-,k+);0a1时，为（k+,k+) 最小正角q=四、巩固练习(4)【题1】已知A(3,0),B(0,3),C(cosa,sina), 若 =-1,求sin2a之值 若|+|=,且a(0,),求与的夹角解、sin2a=-5/9 与的夹角为30【题2】已知（x)=asin(x+a)+bsin(x-b),其中a、b、a、b均为非零实数，若（xx）= -1，则（xx）之值为（ B ）：A 0 B 1 C -1 D xx 【题3】已知向量=(4cosB,cos2B-2cosB),=(sin2(+),1),且（B)= 若(B)=2,且0B2恒成立,求实数m的取值范围.（解、(B)= =2sin(2B+),B=;m2sin(2B+)-2恒成立,则m（-，-2【题4】已知（x)=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a(aR,a为常数,xR); 求函数（x)的最小正周期; 若函数（x)的最大值为3,求实数a之值;求函数（x)的递减区间.解、（x)=2sin(x+)+a，则最小正周期T=2； a=1; 函数（x)的递减区间为2k+,2k+ (kz)【题5】已知函数（x)= ,若函数（x)的定义域为（0，），求函数（x)的单调递减区间；若（x)=-2，求x之值。解、（x)=2sin(x+)，（x)的单调递减区间为，）；x=k-,(注意：x=k-时，cos2x=0,应舍去）五、巩固练习（5）：1、y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象和性质； 以及五点做图法的应用。2、 y=Asin(x+j),y=Acos(x+j)的周期、奇偶性、对称轴、单调性、最值。3、 巩固练习：如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称，则a=( D )A B - C 1 D -1求下列函数的周期：y=sinx+cosx; y=sin(2x+)cos2x; y=cos24x; y=tanx-cotx;求函数y=cos2x-3cosx+2的最小值（答案为0）例1已知函数y=2sin(x+j)(|j|0，0，0j0)的图象按向量=(,0)平移，平移后 的图象如图所示，则该图象所对应的函数的解析式是（ ）A y=sin(x+) B y=sin(x-)C y=sin(2x+) D y=sin(2x-)5、在直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数y=(x)的图象恰好经过k个格点，则称函数y=(x)为k阶格点函数 。给出下列四个函数: y=sinx; y=log2x; y=ex-1; y=x2;其中为一阶格点函数的函数个数共有