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1948
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1948_脑电信号近似熵分析,1948,电信号,近似,分析
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黄河科技学院毕业论文（文献综述） 第 7 页 脑电信号近似熵分析摘要：本文简单介绍了脑电信号的概念和脑电信号常用的几种分析方法。脑电信号的分析方法并非一成不变的，它也是在逐步的发展与完善。从最初的频域分析、时域分析到后来的时/频域分析分析方法。近些年，非线性动力学的分析方法被应用于脑电信号的分析，与以往的分析方法相比较优点非常突出。本文将对以上所提及的分析方法进行初步的分析与介绍，并对其优缺点加以比较，为设计做准备。关键词：脑电信号，频域分析，时域分析，时/频分析，非线性动力学分析前言 脑电是大脑神经元突出后电位的综合，是大脑活动产生的电场经容积导体（由皮层、颅骨、脑膜及头皮构成）传导后在头皮上的电位分布，分为自发脑电（electro encephalon graph, EEG）和诱发电位（EP）两种。自发脑电是指没有特定外界刺激时大脑神经细胞自发产生的电位变化。诱发脑电是指人为地对感觉器官施加光、声、电刺激所引起的脑电位变化。多导脑电是从头皮上按照一定的标准放置多个电极处同步采集所得到的。现代脑科学研究表明，多导脑电信号蕴藏着丰富的生理现象，且能反映更多的动态信息。1929年，Berger首次记录了人的脑电图.脑电图是脑神经活动的表现，因此它的信息含量很丰富。临床脑电图的分析多是脑电图专家通过目测的方法来理解和评价EEG，容易引起误差和疲劳，且使得临床上多导脑电的“数据压缩”和“特征提取”一直停留在主观处理水平上。信号的分析主要在频域和时域进行，但由于缺少关于宏观脑电活动机理的知识，脑电分析仍难以取得重大进展。目前较公认的分析方法大多建立在假设脑电图是准平稳信号的基础上，即:认为它可以分为若干段，每一段的过程基本平稳，但段上叠加着瞬态。因此对EEG的分析工作主要包括:瞬态的检测与提取、平稳段的自动划分、对每一平稳段提取特征和模式分类。现将几种常用的分析方法逐一介绍如下：1. 频域分析 频域分析方法主要是基于各频段功率谱、相干等，功率谱估计是频域分析的主要手段.对脑电信号进行功率谱估计的意义在于把幅度随时间变化的脑电信号变换为脑电功率随频率变化的谱图，从而可直观的观察到脑电节律的分布与变化情况。 谱估计法一般可分为经典方法与现代方法。典的谱估计方法 是直接按定用有限长数据来估计。主要有两条途径：1) 先估计相关函数，再经傅里叶变换得到功率谱估计(根据维纳-辛钦定理)。 2) 把功率谱和信号幅频特性的平方联系起来，即功率谱是幅频特性平方的总体均值与持续时间之比，是在持续时间趋于无限时的极限值。这两种方法存在的共同问题是估计的方差特性不好，而且估计值沿频率轴的起伏很大，数据越长越严重。 为了避免经典谱估计存在的缺点，近年来出现了各种现代谱估计技术，参数模型法是其中应用最为广泛的一种方法，在EEG信号处理中应用也较为普遍。参数模型法的优点是频率分辨率高，特别适用于短数据处理，而且谱图平滑，有利于参数的自动提取和定量分析，因此适合于对EEG作动态分析。目前在EEG分析中应用较多的是AR模型谱估计技术。由于脑电是非平稳性比较突出的信号，估计时一般要分段处理，而AR模型的谱比较适用于短数据处理，因此就更适合于对脑电作分段谱估计。但这种方法对被处理信号的线性、平稳性及信噪比要求较高，因此不适合对数据较长的EEG进行分析处理。频谱分析要求信号具有平稳的特性，所以必须要假设EEG信号是分段准平稳的。2. 时域分析时域分析方法主要分析EEG波形的几何性质，如幅度、均值、方差、峭度等。因为其直观性强，物理意义明确，至今仍然有不少人使用。过去的EEG分析主要靠肉眼观察，可以看做是人工时域分析。尽管大量脑电信息从频域观察比较直观，但是也有一些重要信息在时域上反映更加突出。如反癫痫信息的棘慢波，反映睡眠信息的梭型波等瞬态波形。因此时域分析在目前脑电定量化分析中同样占有重要的位置。时域分析主要是直接提取波形特征，以提供进一步的分析和诊断。如过零截点分析、直方图分析、方差分析、相关分析、峰值检测及波形参数分析、相干平均、波形识别等等，而且近年来在波形特征识别、模板识别及在自适应滤波等技术上均取得了不少进展。此外，利用AR等参数模型提取特征，也是时域分析的一种重要手段，这些特征参数可用于EEG的分类、识别和跟踪等。3. 时/频域分析方法 时、频域分析方法是通过傅里叶变换联系起来的，它们的截然分开是以信号的频域时不变特性或统计特性平稳为前提的。为了能够反映生物医学信号等非平稳信号的频域特性随时间的变化情况，工程技术上通常采用两类方法:时窗法与频窗法。但严格的说，时窗法与频窗法存在同样的问题，即时域与频域分辨率的“不确定性原理”(也称测不准原理)。越是在时域上分辨得细致，则在频域上分辨得越模糊，反之亦然。因此更合理的方法是把时/频两域结合起来表示信号。目前应用较为广泛的方法有维格纳分布(Wigner-Ville Distribution，简称WD)和小波变换理论。4. 非线性动力学分析方法近年来神经网络分析、混沌分析等方法也开始应用于EEG的分析中，代表了脑电信号现代分析方法的新进展。可以看到，传统的分析方法一般认为脑电信号是平稳的或者准平稳的高斯分布随机信号，然而实际上脑电信号本身具有很强的非平稳随机性。由于脑电信号的非平稳性、 非线性、 复杂性非常突出 ,因此除了时域、 频域特征外 ,脑电的非线性特征成为更为合理的选择.经典的非线性特征 ,如分形维数、 李雅普诺夫指等对数据的长度、 噪声水平要求严格 ,结果也不稳定.复杂度是另一类非线性测度 ,它反映了一个时间序列随其长度的增长出现新模式的速率 ,即信号接近随机的程度. 顾凡及等人采用Lempel2Ziv 复杂度分析不同状态下的脑电图 ,表明复杂度提供了大脑高级认知活动的新思路.至于分类方法 ,主要有B分类、 线性分类、 人工神经网络(ANN)以及支持向量机(SVM)等 ,Garret等人的研究表明 ,非线性分类器效果略好于线性分类器。（1） 近似熵分析法 从 20世纪 80年代中期开始 ,许多研究者用非线性混沌动力学理论发展了一些脑电信号复杂性测度的算法,但是由于这些方法要求的数据量较大、 对取样信号的平稳度要求较高 ,因此可能并不适合于人脑这种各异性的空间扩展系统。随着非线性理论的不断发展 ,脑电复杂性测度分析方法进一步得到完善。近似熵作为最近新发展起来的一种度量序列复杂性的统计方法 ,具有需要数据点数少以及抗干扰和抗噪能力好等特点。运用非线性动力学方法比较分析正常人在不同生理状态下的脑电信号的近似熵特征。实验结果表明 ,近似熵是一种行之有效的复杂性测度算法 ,它能较好地反映出脑电信号的特征变化。在应用的过程中 ,近似熵主要表现出以下特点：1) 需要比较短的数据就能估计出比较稳定的统计值。所需的数据点大致在 1005000点 ,一般在 1 000点左右；2) 具有较好的抗干扰和抗噪的能力 ,特别是对偶而产生的瞬态强干扰有较好承受能力；3) 不论信号是随机的或确定性的都可以使用 ,因此也可以用于由随机成分和确定性成分组成的混合信号 ,当两者混合比例不同时其近似熵也不同。(2)关联维数分析法 关联维数的计算通常采用GP算法。该算法为EEG的非线性动力学分析提供了一种新方法，但它也存在一些弊端。这种方法要求的数据量大，并只适用于低维的系统。关联维数的特点是在条件固定不变的情况下，对EEG信号的变化非常敏感，能够反映大脑活动的细微变化。研究发现，当大脑活动增强时关联维数就会升高。通过分析EEG信号的关联维数，可以发现正常被试者与精神病患者之间的大脑活动存在着显著差异。由于关联维数在测量上对信号长短、采样条件、滤波与否及计算参数等条件的选择较为敏感，因此它的计算结果不够稳定，以至于相关的研究之间往往无法进行比较。（3） Lorenz 散点图EEG信号的 Lorenz 散点图的绘制利用计算机来完成。由计算机自动测定相当数量的 EEG信号采样点近年来神经网络分析、混沌分析等方法也开始应用于EEG的分析中，代表了脑电信号现代分析方法的新进展。可以看到，传统的分析方法一般认为脑电信号是平稳的或者准平稳的高斯分布随机信号，然而实际上脑电信号本身具有很强的非平稳随机性。由于脑电信号的非平稳性、 非线性、 复杂性非常突出 ,因此除了时域、 频域特征外 ,脑电的非线性特征成为更为合理的选择.经典的非线性特征 ,如分形维数、 李雅普诺夫指等对数据的长度、 噪声水平要求严格 ,结果也不稳定.复杂度是另一类非线性测度 ,它反映了一个时间序列随其长度的增长出现新模式的速率 ,即信号接近随机的程度. 顾凡及等人采用复杂度分析不同状态下的脑电图 ,表明复杂度提供了大脑高级认知活动的新思路.至于分类方法 ,主要有B分类、 线性分类、 人工神经网络(ANN)以及支持向量机(SVM)等 ,Garret等人的研究表明 ,非线性分类器效果略好于线性分类器 , , , , + 1,先以第一个信号采样点为横坐标( X 轴) ,第二个信号采样点作为纵坐标( Y 轴) ,在坐标上定出第一个 EEG信号的点;再以第二个信号采样点作为横坐标,第三个信号采样点作为纵坐标,在坐标上定出第二个 EEG 信号的点;依此类推,得到 n 个点,这样就构成了 Lorenz 散点图。用公式表示即为: ( x , y) | x = an , y = an + 1 , n = 1 ,2 ,3 , 。Lorenz散点图的特点是比较直观 ,从图上可以看出 EEG信号相邻采样点之间的关系和信号的幅值。孟欣、 欧阳凯(1997)曾比较了正常被试和癫痫病人 EEG信号的 Lorenz 散点图,从中发现 ,在Lorenz散点图上正常被试 EEG信号的点大多分布在一个范围较小的椭圆形区域内 ,而癫痫病人EEG信号的点则集中在 45线附近 ,且沿着 45线分布范围较大。这说明癫痫病人的 EEG信号相邻采样点的值比较接近 ,幅值也较大 ,而正常被试的 EEG信号则较稳定。由于Lorenz散点图只是停留在图像特征描述的水平上 ,只能对 EEG信号进行粗略的分析。对于散点图的量化分析 ,如散点图的长轴、短轴、 夹角、 面积等特征量在 EEG信号中的应用 ,迄今尚未有相关的研究报告。另外 ,绘制Lorenz散点图所需要采集和处理的数据量非常大 ,这也是限制其应用的一个重要原因。(4) Lyapunov 指数 Lyapunov 指数用于判断一个系统是否属于混沌系统。当系统的Lyapunov 指数谱中存在正值,则表明该系统具有混沌特征。因此,只要系统的Lyapunov 指数谱中最大的Lyapunov 指数为正,则该系统为混沌系统。最大的Lyapunov 指数的计算方法如下:1 、对采集到的n 个时间信号序列进行m 维相空间重构,得到的向量集记为, 2 、任取一个向量,在时间信号序列中找出与向量最近的向量,将它们之间的距离记为,3 、取时间步长得到一个新的向量, 在时间信号序列中找出与新向量最近的向量,得到它们之间的距离d2,将对应的时间段内系统的指数增长率记为1 ,则 ，4 、重复步骤3 ,得到所有的向量距离及各指数增长率;取各指数增长率的平均值为最大Lyapunov 指数估计值, 记为L1 ,则，5 、依次增加嵌入维数m ,重复步骤24 ,直到Lyapunov指数估计值随嵌入维数m 的变化而趋于平稳,此时得到的结果即为最大Lyapunov 指数。许多研究者计算了EEG信号的最大Lyapunov 指数3 ,4 结果均为正值,这表明EEG信号具有混沌特征。参考文献1 Hughes John R，马仁飞译临床实用脑电图学北京：人民卫生出版社，19972杨福生，高上凯生物医学信号处理北京：清华大学出版杜，19893朱常芳，胡广书诱发电位提取算法的新进展国外医学生物医学工程分册，2000，23(4)：211-2164谭郁玲，临床脑电圈与脑电地形图学北京：人民卫生出版社，19995刘琚，何振亚。盲源分离和盲反卷积电子学报，2002，30(4)：5705766张贤达，保铮盲信号分离电予学报，2001，29(12A)：1766-17717张贤达时间序列分析高阶统计量方法第1版北京：清华大学出版社，19968朱雪龙应用信息论基础第l版北京：清华大学出版社，20019杨竹青，李勇，胡德文独立成分分析方法综述自动化学报，2002，28(5) 黄河科技学院毕业论文(文献翻译) 第 9 页 相空间重构中嵌入维和时间延迟的选择MA Hong-guang, HAN Chong-chao摘要：学者们提出了一种用于相空间重构的嵌入维和时间延迟自动算法,它利用混沌时间序列的去偏复自相关函数的零点来确定时间延迟,有效地降低了平均位移法跟踪平均位移量斜率变化的随意性所造成的计算误差,并借助于复自相关法和test 的迭代计算求得准最佳的嵌入维和时间延迟参数。该算法具有较充分的理论依据,其计算复杂度不大,对数据长度的依赖性不强。仿真实验结果表明,用该算法计算标准混沌时间序列关联维的相对误差由传统算法的4.4%降低1.06%,有效地提高了计算相空间重构中不变量的精度。关键词：空间重构,嵌入维,时间延迟,复自相关1.前言利用非线性系统输出的部分混沌时间序列考察系统中奇异吸引子的方法是分析混沌时间序列的常用方法,目前广泛采用的是 Packad 1等人提出的延迟坐标状态空间重构法. 由Takens 定理2证明, 只要找到一个合适的嵌入维, 即如果延迟坐标的维数m2 d + 1（d 为原系统的阶数）,在这个嵌入维空间里可以把有规律的轨线（吸引子或奇异吸引子） 恢复出来,亦即在重构的Rm 空间中的轨线上与原动力系统保持微分同胚. 在重构相空间中, 时间延迟和嵌入维m 的选取十分重要, 其精度直接关系着相空间重构后描述奇异吸引子特征的不变量的准确度。对和m 的选取现在主要有两种观点,第1 种认为两者是互不相关的,即和m 的选取可以独立进行（Takens 证明了对于无限长的、无噪声干扰的时间序列,其和m 是相互独立的）。现有的时间延迟和嵌入维的选择一般基于3 种准则：序列相关法,如自相关法3 、互信息量法4和高阶相关法5等; 相空间扩展法,如充填因子法6 、摆动量法7、平均位移法8 、SVF 法9等; 复自相关法和去偏复自相关法10 . 第2 种观点则认为和m 是相互关联的,因为现实中的时间序列都是有限长且不可避免地受到各种噪声的影响. 大量实验表明,和m 的关系与重构相空间的时间窗tw密切相关（ tw =( m - 1)） ,对于特定的时间序列,其tw 相对固定,和m 的不恰当配对将直接影响重构后的相空间结构与原空间的等价关系,因此相应地产生了和m 的联合算法, 如时间窗口法11 、C2C 法12和嵌入维、时间延迟自动算法13等. 多数研究人员认为,第2 种观点在工程实践中更为实用、合理. 有关嵌入维和时间延迟联合算法的研究是混沌时间序列分析的热点之一。2.嵌入维、时间延迟自动算法 嵌入维、时间延迟自动算法是由Masayuki Otani等人于2000 年10 月提出的, 该算法利用平均位移(Average Displacement Method ,AD) 和test14 联合算法计算准最佳的嵌入维、时间延迟. 下面, 对该算法给予简要介绍：(1) 设混沌时间序列为X = xi ( t ) , i = 1 , 2 , N , 给出一个嵌入维m 的初始值,即令m = m0 ,令时间延迟由小到大变化,依次将时间序列X 构造成总数为M = N - ( m - 1)的矢量i , i = 1 ,2 ,M ,i = xi , xi + 1 , , xi + ( m - 1) ，i Rm ，在每个确定的处计算整个矢量空间的平均位移量， （1）直到S () 的值达到饱和为止(即其对的导数接近0 时 . 此时的时间延迟为对应的嵌入维下的准最佳值.(2) 将计算得到的代入test ,计算对应的准最佳嵌入维m. 具体的步骤是:设时间序列是由一个连续映射(函数) f : Rm R 产生的, y = f ( x1 , ,xm) +,其中代表了该模型的不确定部分,它包括噪声的作用和对输入、输出之间的不确定成分. 给定一个嵌入维m 的值,将时间序:(3) X = xi ( t) ,i =1 ,2 , , N 重构成M = N - ( m - 1)的矢量空间i= x ( i) , x ( ( i + 1) , , x ( ( i + m - 1) (2)令yi = x ( ( i + m) , i = 1 ,2 , , M , 创建M组输入、输出矢量对i , yi , 在矢量空间中找出p最佳嵌入维m. 具体的步骤是:设时间序列是由一个连续映射(函数) f : Rm R 产生的, y = f ( x1 , ,xm) +,其中代表了该模型的不确定部分,它包括噪声的作用和对输入、输出之间的不确定成分. 给定一个嵌入维m 的值,将时间序列X = xi ( t) , i = 1 ,2 , , N 重成M = N - ( m - 1)的矢量空间，i= x ( i) , x ( ( i + 1) , , x ( ( i+ m - 1) (3)令yi = x ( ( i + m) , i = 1 ,2 , , M , 创建M组输入、输出矢量对i , yi , 在矢量空间中找出p续非线性混沌时间序列的嵌入维和时间延迟1 图1为Lorenz 和Rossler 系统在m = 2 , 4 , 6 , 8 时的平均位移S () 随变化的波形：图1 洛伦茨平均位移图2 罗斯勒流的平均位移然而,嵌入维、时间延迟自动算法不能直接处理像Henon 映射这样的离散混沌序列, 主要原因是离散混沌序列的采样间隔大, 使得数据间的相关性变化过快,因此处理离散时间序列时,应首先对数据序列进行内插处理. 图2 所示为Henon 和Quadratic 序列经样条数据内插后在m = 2 , 4 , 6 , 8 时的平均位移S() 随变化的波形：图3 Henon 映射的平均位移图4 Quadratic 映射的平均位移 平均位移法是为了克服用自相关函数法求取时间延迟所存在的不足而提出来的, 根据自相关函数法得到的时间延迟可分别让xi 和xi +以及xi +与xi +2之间不相关, 而xi 与xi +2之间可能仍有很强的相关性,这一点意味着由自相关法得到的时间延迟不可能推广到高维中, 而平均位移法属相空间重构的几何方法,可联系相关性准则,具有较强的物理意义. 用上述算法计算得到的嵌入维和时间延迟精度在很大程度上依赖于平均位移法的精度. 如图1、图2 所示,随着嵌入维m 的增加,平均位移S() 的饱和点的位置不断前移,用平均位移法跟踪S () 波形的斜率,当m 为某一确定值时, 第1 次降到初始斜率的40 %以下所对应的时间延迟即为所求的时间延迟. 这种方法的缺点是具有一定的随意性,同时,在S () 的总体变化中夹杂有较强的抖动, 因此用波形的斜率作为判断时间延迟常常存在较大的误差,由此计算出的嵌入维必然也不十分精确. 因此,必须对求解时间延迟的算法加以改进。3.改进算法时间延迟的复自相关算法10 是由自相关法和平均位移法相结合推导出的,序列xi在m维相空间的平均位移可由式(1) 改写为： （4）将式(4) 展开并忽略边缘点带来的误差,设在1 j m - 1 内为常数,可得， （5）式中: Rxx (j) 是序列xi 的自相关函数.定义， 则序列 xi 在m 维相空间的复自相关法可描述为:当嵌入维m 为某一确定值时,选取Rmxx () 下降到其初始值的1 - e - 1时对应的时间为时间延迟.显然, 复自相关法由AD 法蜕化而来, 可继承AD 法在相空间重构中的几何意义. 同时, 它又可看成是自相关法的高维扩展,可克服自相关法的缺点.复自相关法除让xi 和xi +以及xi +与xi + 2之间不相关外,还可以保证xi 与xi + 2之间不相关. 因此,复自相关法具有较明确的理论依据.对平均位移法的改进算法最终采用的是去偏复自相关法： （6）式中: x 为序列的均值.由于去偏复自相关去除了时间序列的均值,因此序列 xi 在m 维相空间的复自相关法是选取Cmxx() 第1 个0 点所对应的时间作为时间延迟. 该方法的优点是继承了平均位移法在相空间中明显的几何意义,数学表达简洁,易于计算. 该方法是自相关法在高维的扩展,有效地克服了平均位移法的缺陷.为了验证改进后算法的精度, 选取Henon 映射Lorenz 系统的仿真数据,分别用平均位移法、复自相关法和test 相结合计算嵌入维和时间延迟, 重构Henon 映射和Lorenz 系统, 其中Henon 映射的仿真数据经10 倍的样条插值后取前500个数据参加实验,对Lorenz 系统则先生成10000个数据, 选取5000至6 000之间的1000个数据参加实验, 再分别计算出关联维, 并与相应的理论关联维15 比较,得到计算误差。实验结果如表1 所示,由此可见,改进算法的计算误差明显小于原算法的误差。4.结束语 相空间重构法是分析混沌时间序列的基本方法之一, 要准确、全面地描述混沌时间序列中奇异吸引子的几何特性, 必须准确地选择用于重构计算的嵌入维和时间延迟, 而传统的算法均将这两个重要的参数看作是不相关的量。实践证明,混沌时间序列的嵌入维和时间延迟是密切相关的, 因此本文所研究、改进的算法无疑为混沌理论的工程应用提供了一个有力的工具。参考文献1 Packard N H , Crutchfield J P , Farmer J D , et al. Geometry from a time series J . Phys Rev Lett , 1980 ,45(3) :712716.2 Takens F. Detecting strange attractor in turbulence J . Lec2 ture Notes in Mathematics , 1981 ,898(2) :361381.3 AlbanoA M. SVD and Grassberger2Procaccia algorithm J . Phy Rev : A , 1988 ,38(20) :3 0173 026.4 Fraser A M. Information and entropy in strange attractors J . IEEE Trans on ITMar ,1989 , 35(2) :245262.5 Albano A M. Using high2order correlations to define an em2 bedding window J . Physica : D , 1991 ,54(1) :8597.6 Buzug P T. Optimal delay time and embedding dimension for delay2time coordinates by analysis of the global static and lo2 cal dynamical behavior of strange attractors J . Phy Rev : A , 1992 ,45(10) :7 0737 084.7 Buzug P T. Comparison of algorithms calculating optimal em2bedding parameters for delay time coordinates J . Physica : D , 1992 ,58(2) :127137.8 Rossenstein M T, Colins J J , De Luca C J . Reconstruction expansion as a geometry2based framework for choosing proper delay times J . 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China (2006) 1: 111114DOI 10.1007/s11460-005-0023-7RESEARCH ARTICLEMA Hong-guang, HAN Chong-zhaoSelection of Embedding Dimension and Delay Time in PhaseSpace Reconstruction# Higher Education Press and Springer-Verlag 2006Abstract A new algorithm is proposed for computing theembedding dimension and delay time in phase spacereconstruction. It makes use of the zero of the nonbiasmultiple autocorrelation function of the chaotic time seriesto determine the time delay, which efficiently depresses thecomputing error caused by tracing arbitrarily the slopvariation of average displacement (AD) in AD algorithm.Thereafter, by means of the iterative algorithm of multipleautocorrelation and test, the near-optimum parameters ofembedding dimension and delay time are estimated. Thisalgorithm is provided with a sound theoretic basis, and itscomputing complexity is relatively lower and not stronglydependent on the data length. The simulated experimentalresults indicate that the relative error of the correlationdimension of standard chaotic time series is decreased from4.4% when using conventional algorithm to 1.06% whenusing this algorithm. The accuracy of invariants in phasespace reconstruction is greatly improved.Keywords phase space reconstruction, embeddingdimension, delay time, multiple autocorrelation, test1 IntroductionThe characteristics of the strange attractors of a chaoticsystem can be analyzed by sampling a part of the outputchaotic time series of a system. The method that iscommonly used is the state space reconstruction in delaycoordinate proposed by Packard et al. 1. It can be provedthroughTakenstheorem2thattheunstableperiodicobits(strangeattractor)couldberecoveredproperlyinanembed-ding space whenever a suitable embedding dimensionm2d+1 (d is the dimension of chaotic system) is detected;that is, the obits in the reconstructed space Rmkeeps adifferential homeomorphism with the original system.It is very important to select a suitable pair of embeddingdimension m and time delaywhen performing the phasespace reconstruction. The precision ofand m is directlyrelated with the accuracy of the invariables of the describedcharacteristics ofthe strangeattractorsin phasespacerecon-struction. For doing this, there are two different points ofview. One is that m andare not correlated with each other;that is, m andcan be selected independently (Takens hasproved that m andare independent in a chaotic time serieswith infinite length and no noise). Under this golden rule, acommonly used approach, GP algorithm, for calculatingthe embedding dimension m was proposed by Albano et al.3. For the time delay, there are three criterions for itsselection: (1) series correlation approaches, such as auto-correlation, mutual information 4, high-order correlations5, etc., (2) approaches of phase space extension, e.g., fillfactor6,waveringproduct7,averagedisplacement (AD;8), SVF 9, etc., and (3) multiple autocorrelation andnonbias multiple autocorrelation 10.The second viewpoint is that m andare closely relatedbecause the time series in the real world could not beinfinitely longandcould hardlyavoid beingnoised.A greatdeal of experiments indicate that m andtie tightly up withthe time window tw=(m1)for the reconstruction of thephase space. For a given chaotic time series, twis relativelysteadfast. An irrelevant partnership between m andwilldirectlyimpacttheequivalencebetweentheoriginalsystemand the reconstructed phase space. Therefore, the combina-tion approaches for computing m andaccordingly comeinto being, e.g., small-window solution 11, CC method12, and automated embedding 13. Most researchersconsider that the second viewpoint is more practical andreasonable than the first one in the engineering practice.Research on the combination algorithm of embeddingdimension and delay time will become a hotspot in thecategory of the chaotic time series analysis.2 Automated embedding algorithmThis algorithm was proposed by Masayuki Otani andAntonia Jones in October 2000, which is based on the ADmethod and test 14. By means of this algorithm, a near-optimum embedding dimension and delay time can beTranslated from Journal of Xian Jiaotong University, 2004, 38(4):335338 (in Chinese)MA Hong-guang (*), HAN Chong-zhaoResearch Institute of High Technology,Xian 710025, ChinaE-mail: mhg_estimated. A brief description about this algorithm is givenas follows.1.Let X=xi(t), i=1, 2., N, be a part of chaotic timeseries whose evolution through time is described by ad-dimension dynamical system. Set an initial value forthe embedding dimension; that is, let m=m0. Take thetime delayas a variable and let it increase by one foreach iteration. At each determinated value of,reconstruct X into M=N(m1)dimensions of vectorsxi, i=1, 2,., M, xi=(xi, xi+1,., xi+(m1) xiRm.Then, calculate the AD of the entire vector space using:S ? 1MXMi1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiXm?1j1xij? xi?2vuut;(1)where M is the number of data points used for theestimation. As the delay time increases from zero, thereconstructed trajectory expands from the diagonal andS() increases accordingly until it reaches a plateau.With large values of m, reconstruction expansionreaches a plateau at a smaller value of the delay time,which maintains the time span as approximatelyconstant. The corresponding value of delay timewhen S() gets into saturation is the near-optimumunder a certain value of m.2.Take the result of step 1 as a constant and letembedding dimension m become a variable. Estimatethe near-optimum m by means of the test, which canestimate the best mean-squared output error of acontinuous or smooth underlying input/output modelwithout overfitting. That is, suppose that the samples ofchaotic time series are generated by a continuousfunction f:Rm R, and let y be defined as y=f(x1,.,xm)+, where represents an indeterminable part,which may be due to noise or lack of functionaldetermination in the input/output relationship. At eachgiven value of m, reconstruct X into M=N(m1)dimensions of vectors xi and construct the input/output pairs i, yi as follows:?i x i ;x i 1?;?;x i m ? 1?fgyi x i m?;i 1;2;?M(2)Then, find out the pth nearest neighbor i(N(i, p) toi(pmax=2050) and compute the distances using:dx h 1pPph11MPMi1? N i;p ? ? i jj2dy h 1pPph112MPMi1y N i;p ? y i 2(3)Perform a least-squares fit on the coordinates (dx, dy) toobtain a regression line in the form ofdy Adx ?,where ? is the estimated value of .Increase gradually the value of m by one and repeat steps1 and 2. The estimated value of will decrease accordinglyFig. 1 Average displacement of Lorenz flowFig. 2 Average displacement of Rossler flowFig. 3 Average displacement of Henon map112until it is very close to zero. At this moment, the values ofm andare the near-optimum embedding dimension andtime delay, respectively, for the given chaotic time series.By chance, if the estimated value of is not close to zero,the data set is nondeterministic; therefore, we cannot hopeto reconstruct the attractor accurately. This may happen ifthe signal-to-noise ratio (SNR) is lower or if the choice oftime delay is poor.The experimental results indicate that this algorithm isvery efficient for the continuous nonlinear chaotic timeseries. But the computing accuracy of this algorithm istightly dependent on that of the AD algorithm. The ADs ofLorenz and Rossler flows are depicted in Fig. 1 and Fig. 2.It can be seen clearly that the time delay decreases with theincrease in embedding dimension, and also, there are somewaviness when the waveshapes get into saturation.However, this algorithm cannot directly process thediscrete chaotic time series, such as Henon, logistic, andquadratic, etc. The major reason is that the samplingspacing of the discrete chaotic time series is “too large”,which makes the relativity between the data change soswiftly, and it seems that those maps behave like therandom series. Hence, the discrete chaotic time series mustbe interpolated before processing. Fig. 3 and Fig. 4 depictthe ADs of Henon and quadratic maps, respectively, afterthe interpolation with spline function. The data are 10 timesmore than that of the originals.The AD algorithm is a geometry-based approach thatcan overcome the drawbacks of the autocorrelation-basedmethods, since the autocorrelation can ensure that xiandxi+and that xi+and xi+2are not correlated, but it cannotguarantee that xiand xi+2are not correlated also.Therefore, the autocorrelation-based method cannot begeneralized in the high-order dimensions. Thus, the ADalgorithm looks like a suitable approach for the high-ordersystem. In practice, the sloping variation of statistic S()should be measured to figure out the corresponding delaytime; usually, we take the time point at the slope where itdecreases to 40% of its initial value as the near-optimumtime delay. But from Fig. 1 and Fig. 2, we can see that thereis an intermix in some wobbles in the entire variation of S(). Thereby, using the changing slope to determine thetime delay sometimes will introduce a nonignored error,which will influence the computing accuracy of theembedding dimension in the test. Hence, a modificationshould be done for the algorithm of time delay.3 Multiple autocorrelation approach 13The multiple autocorrelation approach is derived fromautocorrelation and AD. From Eq. (1), we can rewrite thestatistic S() of the chaotic time series xi in m dimensionas follows:S2m? 1MXMi1Xm?1j1x i j? ? x i 2:(4)Extend the left part of Eq. (4) and ignore the errorscausedbytheborderdata.ConsiderthatE 1MPMi1x i 21MPMi1x i j?2is a constant within 1jm1, we can getS2m? 2 m ? 1E ? 2Xm?1j1Rxxj? ;(5)where Rxx(j) is the autocorrelation function of xi.Define Rmxx? Pm?1j1Rxxj? . The multiple autocorrela-tion approach for the series xi in m dimension space canbe described as such: select the corresponding time as thetime delaywhen the value of Rmxx? decreases to the1e1times of its initial value. Obviously, this approach isthe ecdysis of AD algorithm. It inherits the geometricproperty of AD in the reconstruction of phase space.Fig. 4 Average displacement of quadratic mapTable 1 Experimental resultsModelSampleperiodAD+ testCxx+ testNominalvalueEmbeddingdimensionTimedelayCorrelationdimensionErrorEmbeddingdimensionTimedelayCorrelationdimensionErrorHenon (a=1.4, b=0.3)0.1m=3=0.81.31580.0558m=3=0.71.27340.01341.26Lorenz (a=10, b=8/3, =28) 0.01m=5=0.352.07720.0172m=5=0.252.05390.00612.06113Meanwhile, it can be regarded as the extension ofautocorrelation approach in the high-order dimensions. Itovercomes the drawback of the autocorrelation; that is, themultiple autocorrelation not only guarantees that xiand xi+and that xi+and xi+2are not correlated with each other,but also ensures that xiand xi+2are not correlated.Therefore, the multiple autocorrelation has a soundtheoretic basis.Finally, the algorithm we adopt to replace the ADalgorithm is the nonbias multiple autocorrelation:Cmxx? 1MPMi1Pm?1j1x i ? x x i j? ? x Rmxx? ? m ? 1 x 2;(6)where x is the mean value of xi. Thus, employing thenonbias multiple autocorrelation for xi to select a near-optimum time delayin m dimension of phase space is tochoose the corresponding time when Cmxx? goes to zerothe first time. The strongpoint of this approach is that itinherits the merit of AD algorithm but gets rid of itsdrawback. The mathematic expression is sententious andeasy to compute.To validate the accuracy of the improved approach, wetook the Henon map and Lorenz flow as examples toreconstruct them with AD and nonbias multiple autocorre-lation plus test, respectively. Thereinto, the data of theHenon map have been interpolated 10 times with splinefunction, and then 500 data were taken out for theexperiment. For Lorenz flow, we firstly generated 10,000data and then chose 1,000 points between 5,000 and 6,000for experiment. We then calculated their correlationdimensions and made a comparison with their nominalvalues15tofigureouttheerrors.Theexperimentalresultsare shown in Table 1.4 ConclusionsWe have described an efficient method for choosing a pairof delay time and embedding dimension that facilitates anaccurate reconstruction of the high-dimensional dynamics.This technique is based on the nonbias multiple auto-correlation and test methods, the combination of which iscomputationally inexpensive. The choices of delay timeand embedding dimension are important, as a good choicecan reduce both the amount
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