数学竞赛辅导系列专题(一)利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例

数学竞赛辅导系列专题（一）利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例新课改下的数学教学要求教师“要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教育资源为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个性差异，有效地实施差异教学，使每个学生都得到发展”。“对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。”纵观近几年的全国各级数学竞赛，首先是紧扣教材和竞赛大纲，许多试题虽有一定难度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。其次是精心设计，题目新型。而且注重知识的典型性和迁移性，积极引导学生实现由知识到能力的过渡。因此，教师在教学过程中要努力帮助学生挖掘课本的教育资源，注重知识的延伸和迁移，通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段，培养学生的创新思维能力。让学生在学与练的过程中去体味奇妙的数学、学习和领略奥妙的数学；从而提高学习数学的兴趣、勤奋地去开垦数学。本文试图从“利用轴对称性质求最小值”问题入手，在挖掘课本教育资源、注重多题一解、培养学生知识迁移能力方面作一些尝试与探索，与数学同行们交流，抛砖引玉。（一）、课本原型：（七年级下册第196页）如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？解：如图（2），只要画出A点关于直线L的对称点C，连结BC交直线L于P，则P点就是所求。这时PA+PB=PC+PB为最小，（因为两点之间线段最短）。（证明：如图（2），在L上任取一点P1，连结P1A，P1B，P1C，因为P1A+P1B=P1C+P1BBC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。）（二）应用和延伸：例1、（七年级作业本题）如图（3），AOB内有一点P，在OA和OB边上分别找出M、N，使PMN的周长最小。解：如图（4），只要画出P点关于OB、OA的对称点P1，P2 ，连结P1、P2交OB、OA于M、N，此时PMN的周长PM+PN+MN=P1P2为最小。（证明略）例2、在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。解：如图（1）所示，只要过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在RtA1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为4千米。即PA+PB的最小值为4千米。图（1） （三）、迁移和拓展：例1、9(温州2003年中考题)如图（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（ ）（A） 6a , (B) 5a , (C) 4a , (D) 2a 。解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC+PE的最小值。这时三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=2a 。所以选（D）。例2、（2001年全国数学竞赛题）如图（7），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（X，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标X=。图（7）图（8）解：如图（8），只要画出点Q关于X轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交X于点M，则M点即为所求。点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（Y=2X-5），令Y=0，求得X=5/2。（也可以用勾股定理和相似三角形求出答案）。例3、求函数Y= +的最小值。解：方法（）、把原函数转化为Y= + ，因此可以理解为在X轴上找一个点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。（解法同上一题）。方法（），如图（9），分别以PM=（3-X）、AM=1为边和以PN=（X+3）、BN=5为边构建使（3-X）和（X+3）在同一直线上的两个直角PAM、PNB，两条斜边的长就是PA= 和PB= ，因此，求Y的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用轴对称性质求出BA1的长，就是Y的最小值。（6）。（四）、思考与练习：1、（2002湖北黄岗竞赛题）如图（10），AOB=450，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则PQR的周长最小值是 。（提示：画点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2， AOB=450，P1OP2是等腰直角三角形，P1P2=10）。又问当PQR周长最小时，QPR的度数= 。（1000）。 2、已知点A（-2，1），点B（3，4）。在X轴上求一点P，使得PA+PB的值最小。这个最小值是 。（同例2）3、（北京市竞赛题）如图（11），在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值。（提示：要使BM+MN的值最小，应设法把折线BM+MN拉直，从而想到用轴对称性质来做。画出点B关于直线AC的对称点B1，则B1N的长就是最小值；又因为N也是动点，所以，当B1NAB时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为16。初三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。）4、（希望杯2001初二数学邀请赛试题），如图（12）在菱形ABCD中，DAB=1200，点E平分BC，点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是 。（因为当PE+PC最小时，AB=CD达到最大，这个最大值是）。5、（美国中学生竞赛题）如图（13），一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（ ）（提示：画点A关于小河岸的对称点A1，连结A1B即为最短距离。）（A） 4+英里 （B） 16英里 （C） 17英里 （D） 18英里 6、（新蕾杯竞赛题）如图（14），正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，求PE+PC的最小值。（与知识拓展例1类似，因为点C和点A关于直线BD对称，所以AE是PC+PE的最小值，这个值为）。 7、如图（15），在河湾处M点有一个观察站，观察员要从M点出发，先到AB岸，再到CD岸然后返回M点，则该船应该走的最短路线是（先画图，再用字母表示）。（提示：，同知识迁移题）8、（温州2001年中考题）如图（16），AB是O的直径，AB=2，OC是O的半径，OCAB，点D在上,=2，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是 。（只要找出点D关于半径OC的对称点D1，AD1的长就是AP+PD的最小值。因为ABD1是含有趣300角的直角三角形，所以这个值是）。9、求代数式 + 的最小值。（）10、（2000年湖北省选拔赛试题）在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m,0）,当四边形ABCD的周长最短时，的