决战2020年中考数学压轴题综合提升训练圆的综合含解析202004091114.doc
决战2020年中考数学压轴题综合提升训练（含解析）（打包7套）
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决战
2020
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- 资源描述：
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决战2020年中考数学压轴题综合提升训练（含解析）（打包7套）,决战,2020,年中,数学,压轴,综合,提升,训练,解析,打包
- 内容简介：
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一次函数1甲、乙两车从a城出发匀速行驶至b城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开a城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y60x，根据图象提供的信息，解决下列问题：（1）求乙离开a城的距离y与x的关系式；（2）求乙出发后几小时追上甲车？解：（1）设乙对应的函数关系式为ykx+b将点（4，300），（1，0）代入ykx+b得：解得：，乙对应的函数关系式y100x100；（2）易得甲车对应的函数解析式为y60x，联立，解得：，2.511.5（小时），乙车出发后1.5小时追上甲车2如图所示，甲、乙两车从a地出发，沿相同路线前往同一目的地，途中经过b地甲车先出发，当甲车到达b地时，乙车开始出发当乙车到达b地时，甲车与b地相距km设甲、乙两车与b地之间的距离为，y1（km），y2（km），乙车行驶的时间为x（h），y1，y2与x的函数关系如图所示（1）a，b两地之间的距离为20km；（2）当x为何值时，甲、乙两车相距5km？解：（1）a，b两地之间的距离为20km故答案为：20；（2）乙车的速度为：20120（km/h），甲车的速度为：100（km/h），甲比乙早出发的时间为：201000.2（h），相遇前：（20+100x）120x5，解得x0.75；相遇后：120x（20+100x）5，解得x1.25；答：当x为0.75或1.25时，甲、乙两车相距5km3在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴，y轴分别交于点a，b，点d的坐标为（0，3），点e是线段ab上的一点，以de为腰在第二象限内作等腰直角def，edf90（1）请直接写出点a，b的坐标：a（2，0），b（0，2）；（2）设点f的坐标为（a，b），连接fb并延长交x轴于点g，求点g的坐标解：（1）直线yx+2与x轴，y轴分别交于点a，b，点a（2，0），点b（0，2）故答案为：（2，0），（0，2）（2）如图，过点f作fmy轴，过点e作eny轴，fmdedf90fdm+dfm90，fdm+edn90，dfmedn，且fdde，fmdend90，dfmedn（aas）endm，fmbn，点f的坐标为（a，b），fmdna，dmb3，点e坐标（b+3，3+a），点e是线段ab上的一点，3+ab+3+2a+b2，点f（a，2a）设直线bf的解析式为ykx+2，2aka+2k1，直线bf的解析式为yx+2，点g（2，0）4某学校甲、乙两名同学去爱国主义教育基地参观，该基地与学校相距2400米甲从学校步行去基地，出发5分钟后乙再出发，乙从学校骑自行车到基地乙骑行到一半时，发现有东西忘带，立即返回，拿好东西之后再从学校出发在骑行过程中，乙的速度保持不变，最后甲、乙两人同时到达基地已知，乙骑行的总时间是甲步行时间的设甲步行的时间为x（分），图中线段oa表示甲离开学校的路程y（米）与x（分）的函数关系的图象图中折线bcd和线段ea表示乙离开学校的路程y（米）与x（分）的函数关系的图象根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）甲步行的速度和乙骑行的速度；（2）甲出发多少时间后，甲、乙两人第二次相遇？（3）若s（米）表示甲、乙两人之间的距离，当15x30时，求s（米）关于x（分）的函数关系式解：（1）由题意得：（米/分），240（米/分）；（2）由题意可得：c（10，1200），d（15，0），a（30，2400），设线段cd的解析式为：ykx+b，则，解得线段cd的解析式为：y240x+3600，易知线段oa的解析式为：y80x，根据题意得240x+360080x，解得：x，甲出发分后，甲、乙两人第二次相遇；（3）e（20，0），a（30，2400），设线段ea的解析式为：ymx+n，解得，线段ea的解析式为：y240x4800，当15x20时，syoa080x，当20x30时，syoayea80x（240x4800）160x+4800，5对于给定的abc，我们给出如下定义：若点m是边bc上的一个定点，且以m为圆心的半圆上的所有点都在abc的内部或边上，则称这样的半圆为bc边上的点m关于abc的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点m关于abc的最大内半圆若点m是边bc上的一个动点（m不与b，c重合），则在所有的点m关于abc的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为bc关于abc的内半圆（1）在rtabc中，bac90，abac2，如图1，点d在边bc上，且cd1，直接写出点d关于abc的最大内半圆的半径长；如图2，画出bc关于abc的内半圆，并直接写出它的半径长；（2）在平面直角坐标系xoy中，点e的坐标为（3，0），点p在直线yx上运动（p不与o重合），将oe关于oep的内半圆半径记为r，当r1时，求点p的横坐标t的取值范围解：（1）如图1，过d作deac于e，rtabc中，bac90，abac2，cb45，cd1，bd21cd，d到ac的距离小于到ab的距离，dec是等腰直角三角形，de，即点d关于abc的最大内半圆的半径长是；当d为bc的中点时，bc关于abc的内半圆为d，如图2，bdbc，同理可得：bc关于abc的内半圆半径de1（2）过点e作efoe，与直线yx交于点f，设点m是oe上的动点，i）当点p在线段of上运动时（p不与o重合），oe关于oep的内半圆是以m为圆心，分别与op，pe相切的半圆，如图3，连接pm，直线of：yxfoe30由（1）可知：当m为线段中点时，存在oe关于oep的内半圆，当r时，如图3，dm，此时pmx轴，p的横坐标tom；如图4，当p与f重合时，m在efo的角平分线上，m分别与of，fe相切，此时r1，p的横坐标toe3；当r1时，t的取值范围是t3ii）当点p在of的延长线上运动时，oe关于oep的内半圆是以m为圆心，经过点e且与op相切的半圆，如图5当 r1 时，t的取值范围是t3iii）当点p 在of的反向延长上运动时（p不与o重合），oe关于oep的内半圆是以m为圆心，经过点o且与ep相切的半圆，如图6foeope+oep30，oep30，om1，当r时，如图6，过p作pax轴于a，n是切点，连接mn，mnpe，此时ommn，me3，en，rtopa中，poa30，oat，pat，enmeap90，menaep，emnepa，即解得：t，当r1时，t的取值范围是t综上，点p在直线yx上运动时（p不与o重合），当r1时，t的取值范围是t或t6已知，一次函数yx+6的图象与x轴、y轴分别交于点a、点b，与直线yx相交于点c过点b作x轴的平行线l点p是直线l上的一个动点（1）求点a，点b的坐标（2）若saocsbcp，求点p的坐标（3）若点e是直线yx上的一个动点，当ape是以ap为直角边的等腰直角三角形时，求点e的坐标解：（1）一次函数yx+6的图象与x轴、y轴分别交于点a、点b，则点a、b的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；（2）联立yx+6、yx并解得：x3，故点c（3，），saoc815sbcpbp（ypyc）bp（6），解得：bp，故点p（，6）或（，6）（3）设点e（m， m）、点p（n，6）；当epa90时，如左图，mep+mpe90，mpe+npa90，mepnpa，appe，emppna（aas），则mepn6，mpan，即|mn|6， m68n，解得：m或16，故点e（，）或（14，）；当eap90时，如右图，同理可得：ampane（aas），故mpen，aman6，即mn8，|8m|6，解得：m2或14，故点e（2，）或（16，20）；上，e（，）或（14，）或；（2，）或（16，20）7如图，a，b是直线yx+4与坐标轴的交点，直线y2x+b过点b，与x轴交于点c（1）求a，b，c三点的坐标；（2）当点d是ab的中点时，在x轴上找一点e，使ed+eb的和最小，画出点e的位置，并求e点的坐标（3）若点d是折线abc上一动点，是否存在点d，使aacd为直角三角形，若存在，直接写出d点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）在yx+4中，令x0，得y4，令y0，得x4，a（4，0），b（0，4）把b（0，4）代入，y2x+b，得b4直线bc为：y2x+4在y2x+4中，令y0，得x2，c点的坐标为（2，0）；（2）如图点e为所求点d是ab的中点，a（4，0），b（0，4）d（2，2）点b关于x轴的对称点b1的坐标为（0，4）设直线db1的解析式为ykx+b把d（2，2），b1（0，4）代入一次函数表达式并解得：故该直线方程为：y3x4令y0，得e点的坐标为（3）存在，d点的坐标为（1，3）或当点d在ab上时，由oaob4得到：bac45，由等腰直角三角形求得d点的坐标为（1，3）；当点d在bc上时，如图，设ad交y轴于点f在aof与boc中，faocbo，aofbod，aobo，aofboc（asa）ofoc2，点f的坐标为（0，2），易得直线ad的解析式为，与y2x+4组成方程组并解得：x，交点d的坐标为8（1）模型建立：如图1，等腰直角三角形abc中，acb90，cbca，直线ed经过点c，过a作aded于d，过b作beed于e求证：beccda；（2）模型应用：如图2，一次函数y2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点a、b，以线段ab为腰在第一象限内作等腰直角三角形abc，则c点的坐标为c（4，6）或c（6，2）（直接写出结果）如图3，在abc和dce中，cacb，cdce，cabced45，连接bd、ae，作cmae于m点，延长mc与bd交于点n，求证：n是bd的中点解：（1）aded，beed，de90，acdcad90，acb90，acdbce90，bcecad，在bec和cda中，beccda（aas）；（2）根据题意可得点c的坐标为c（4，6）或c（6，2）；故答案为： c（4，6）或c（6，2）；如图，作bpmn交mn的延长线于p，作dqmn于qbcp+bcacam+amc，bcaamc，bcpcam，在cbp与acm中，cbpacm（aas），mcbp，同理，cmdq，dqbp在bpn与dqn中，bpndqn（aas），bnnd，n是bd的中点9如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l：yx+4与x轴、y轴分别相交于b、a两点，点c是ab的中点，点e、f分别为线段ab、ob上的动点，将bef沿ef折叠，使点b的对称点d恰好落在线段oa上（不与端点重合）连接oc分别交de、df于点m、n，连接fm（1）求tanabo的值；（2）试判断de与fm的位置关系，并加以证明；（3）若mdmn，求点d的坐标解：（1）直线l：yx+4与x轴、y轴分别相交于b、a两点，则点a、b的坐标分别为：（0，4）、（3，0）；tanabotan；（2）de与fm的位置关系为相互垂直，理由：点c是ab的中点，则cobcboedf，onfdnm，dmndfo，o、f、m、d四点共圆，dmf+dof180，dof90，即：defm；（3）mdmn，mdnmnd，而cob，dnmonf，即ocf为以on为底，底角为的等腰三角形，则tannfotan，则cos（证明见备注）；设ofm，则dffb3m，cosdfocos，解得：m，od2df2of2（3m）2m2；则od，故点d（0，）备注：如下图，过点n作hnof于点h，tan，则sin，作fmon于点m，设fnof5a，则fn4a，则on6a，同理可得：nh，tannfotan，则cos10如图，直线l1：yx+与y轴的交点为a，直线l1与直线l2：ykx的交点m的坐标为m（3，a）（1）求a和k的值；（2）直接写出关于x的不等式x+kx的解集；（3）若点b在x轴上，mbma，直接写出点b的坐标解：（1）直线l1与直线l2的交点为m（3，a），m（3，a）在直线yx+上，也在直线ykx上，a3+3，m（3，3），33k，解得k1；（2）不等式x+kx的解集为x3；（3）作mnx轴于n，直线l1：yx+与y轴的交点为a，a（0，），m（3，3），am2（30）2+（3）2，mn3，mbma，bn，b（，0）或b（，0）11如图，长方形obcd的ob边在x轴上，od在y轴上，把obc沿oc折叠得到oce，oe与cd交于点f（1）求证：ofcf；（2）若od4，ob8，写出oe所在直线的解析式解：（1）四边形obcd为矩形，dobc，obcodc由翻折的性质可知eobc，cebc，odce，eodc在odf和cef中，odfcef（aas），ofcf（2）ofcf设dfx，则ofcf8x在rtodf中，od4，根据勾股定理得，od2+df2of2，42+x2（8x）2，解得x3，f（3，4），设直线oe的解析式为ykx，把f（3，4）代入得43k，解得k，oe所在直线的解析式yx12如图，在平面直角坐标系中，直线yx+m过点a（5，2）且分别与x轴、y轴交于点b、c，过点a画adx轴，交y轴于点d（1）求点b、c的坐标；（2）在线段ad上存在点p，使bp+cp最小，求点p的坐标解：（1）yx+m过点a（5，2），25+m，m3，yx+3，令y0，x3，b（3，0），令x0，y3，c（0，3）；（2）过c作直线ad对称点q，可得q（0，7），连结bq，交ad与点p可得直线bq：，令y2，13如图，直线l1的函数表达式为y3x2，且直线l1与x轴交于点d直线l2与x轴交于点a，且经过点b（4，1），直线l1与l2交于点c（m，3）（1）求点d和点c的坐标；（2）求直线l2的函数表达式；（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解解：（1）在y3x2中令y0，即3x20 解得x，d（，0），点c（m，3）在直线y3x2上，3m23，m，c（，3）；（2）设直线l2的函数表达式为ykx+b（k0），由题意得：，解得：，yx+；（3）由图可知，二元一次方程组的解为14如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykx+b的图象与x轴交于点a（3，0），与y轴交于点b，且与正比例函数yx的图象交点为c（m，4）（1）求一次函数ykx+b的解析式；（2）求boc的面积；（3）若点d在第二象限，dab为等腰直角三角形，则点d的坐标为（2，5）或（5，3）或（，）解：（1）点c在正比例函数图象上，m4，解得：m3，点c（3，4）、a（3，0）在一次函数图象上，代入一次函数解析式可得，解这个方程组得，一次函数的解析式为yx+2；（2）在中，令x0，解得y2，b（0，2）sboc233；（3）过点d1作d1ey轴于点e，过点d2作d2fx轴于点f，如图，点d在第二象限，dab是以ab为直角边的等腰直角三角形，abbd2，d1be+abo90，abo+bao90，baoebd1，在bed1和aob中，bed1aob（aas），beao3，d1ebo2，即可得出点d的坐标为（2，5）；同理可得出：afd2aob，fabo2，d2fao3，点d的坐标为（5，3），d1abd2ba45，ad3b90，d3（，），综上可知点d的坐标为（2，5）或（5，3）或（，）故答案为：（2，5）或（5，3）或（，）15如图1中的三种情况所示，对于平面内的点m，点n，点p，如果将线段pm绕点p顺时针旋转90能得到线段pn，就称点n是点m关于点p的“正矩点”（1）在如图2所示的平面直角坐标系xoy中，已知s（3，1），p（1，3），q（1，3），m（2，4）在点p，点q中，点p是点s关于原点o的“正矩点”；在s，p，q，m这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：点s是点p关于点m的“正矩点”，写出一种情况即可；（2）在平面直角坐标系xoy中，直线ykx+3（k0）与x轴交于点a，与y轴交于点b，点a关于点b的“正矩点”记为点c，坐标为c（xc，yc）当点a在x轴的正半轴上且oa小于3时，求点c的横坐标xc的值；若点c的纵坐标yc满足1yc2，直接写出相应的k的取值范围解：（1）在点p，点q中，点s绕点o顺时针旋转90能得到线段op，故s关于点o的“正矩点”为点p，故答案为点p；点s是点p关于点m的“正矩点”（答案不唯一）；故答案为：s，p，m；（2）如图1，作cex轴于点e，作cfy轴于点f，bfcaob90，点b（0，3），点a（，0），abo+cbo90，cbo+bcf90，bcfabo，bcba，bcfaob（aas），fcob3，故点c的坐标为：（3，3+），即点c的横坐标xc的值为3；点c（3，3+），如图2，1yc2，即：13+2，则3k三角形1已知，abc是等边三角形，过点c作cdab，且cdab，连接bd交ac于点o（1）如图1，求证：ac垂直平分bd；（2）如图2，点m在bc的延长线上，点n在线段co上，且ndnm，连接bn求证：nbnm（1）证明：abc是等边三角形，abcacbcab60，cdab，且cdab，cdcabc，acdacb60，bodo，cobd，ac垂直平分bd；（2）由（1）知ac垂直平分bd，nbnd，ndnm，nbnm2等腰rtabc，点d为斜边ab上的中点，点e在线段bd上，连结cd，ce，作ahce，垂足为h，交cd于点g，ah的延长线交bc于点f（1）求证：adgcde（2）若点h恰好为ce的中点，求证：cgfcfg证明：（1）在等腰rtabc中，点d为斜边ab上的中点，cdab，cdab，adab，adcd，cdab，adgcde90，ahce，cgh+gch90，agd+gad90，又agdcgh，gadgch，在adg和cde中adgcde90，adcd，gadgchadgcde（asa），（2）ahce，点h为ce的中点，acae，caheah，cah+afc90，eah+agd90，afcagd，agdcgh，afccgh，即cgfcfg3如图，在abc中，adbc且bdde，ef垂直平分ac，交ac于点f，交bc于点e（1）若bae32，求c的度数；（2）若ac6cm，dc5cm，求abc的周长解：（1）adbc，bdde，ef垂直平分acabaeecccae，bae32aed（18032）74；caed37；（2）由（1）知：aeecab，bdde，ab+bdec+dedc，abc的周长ab+bc+ac，ab+bd+dc+ac，2dc+ac25+616（cm）4如图，在abc中，bac和abc的平分线相交于点o，过点o作efab交bc于f，交ac于e，过点o作odbc于d（1）求证：aob90+c；（2）求证：ae+bfef；（3）若oda，ce+cf2b，请用含a，b的代数式表示cef的面积，scefab（直接写出结果）证明：（1）oa，ob平分bac和abc，aob180oaboba（2）efab，oabaoe，abobof又oabeao，obaobf，aoeeao，bofobf，aeoe，bfof，efoe+ofae+bf；（3）点o在acb的平分线上，点o到ac的距离等于od，scef（ce+cf）od2baab，故答案为：ab5如图，在abc中，abac，ad为bc边上的中线，deab于点e（1）求证：bdaddeac（2）若ab13，bc10，求线段de的长（3）在（2）的条件下，求cosbde的值证明：（1）abac，bdcd，adbc，bc，deab，debadc，bdecad，baaddeca；（2）abac，bdcd，adbc，在rtadb中，ad12，adbdabde，de（3）adbaed90，bdebad，cosbdecosbad6如图，在abc中，abac，以ab为直径作半圆o，交bc于点d，交ac于点e（1）求证：bdcd（2）若弧de50，求c的度数（3）过点d作dfab于点f，若bc8，af3bf，求弧bd的长（1）证明：如图，连接adab是圆o的直径，adbd又abac，bdcd（2）解：弧de50，eod50daedoe25由（1）知，adbd，则adb90，abd902565abac，cabd65（3）bc8，bdcd，bd4设半径odx则ab2x由af3bf可得afabx，bfabx，adbd，dfab，bd2bfab，即42x2x解得x4obodbd4，obd是等边三角形，bod60弧bd的长是：7阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，ad为abc中线，点e在ac上，be交ad于点f，aeef求证：acbf经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图，添加辅助线后依据sas可证得adcgdb，再利用aeef可以进一步证得gfaeafebfg，从而证明结论思路二如图，添加辅助线后并利用aeef可证得gbfgafefae，再依据aas可以进一步证得adcgdb，从而证明结论完成下面问题：（1）思路一的辅助线的作法是：延长ad至点g，使dgad，连接bg；思路二的辅助线的作法是：作bgbf交ad的延长线于点g（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）解：（1）延长ad至点g，使dgad，连接bg，如图，理由如下：ad为abc中线，bdcd，在adc和gdb中，adcgdb（sas），acbg，aeef，cadefa，bfgg，gcad，gbfg，bgbf，acbf故答案为：延长ad至点g，使dgad，连接bg；作bgbf交ad的延长线于点g，如图理由如下：bgbf，gbfg，aeef，eafefa，efabfg，geaf，在adc和gdb中，adcgdb（aas），acbg，acbf；故答案为：作bgbf交ad的延长线于点g；（2）作bgac交ad的延长线于g，如图所示：则gcad，ad为abc中线，bdcd，在adc和gdb中，adcgdb（aas），acbg，aeef，cadefa，bfgg，gcad，gbfg，bgbf，acbf8如图1，直线ab分别与x轴、y轴交于a、b两点，oc平分aob交ab于点c，点d为线段ab上一点，过点d作deoc交y轴于点e，已知aom，bon，且m、n满足n28n+16+|n2m|0（1）求a、b两点的坐标；（2）若点d为ab中点，求oe的长；（3）如图2，若点p（x，2x+4）为直线ab在x轴下方的一点，点e是y轴的正半轴上一动点，以e为直角顶点作等腰直角pef，使点f在第一象限，且f点的横、纵坐标始终相等，求点p的坐标解：（1）n28n+16+|n2m|0，（n4）2+|n2m|0，（n4）20，|n2m|0，（n4）20，|n2m|0，m2，n4，点a为（2，0），点b为（0，4）；（2）延长de交x轴于点f，延长fd到点g，使得dgdf，连接bg，设oex，oc平分aob，bocaoc45，deoc，efofeobegbocaoc45，oeofx，在adf和bdg中，adfbdg（sas），bgaf2+x，gafe45，gbeg45，bgbe4x，4x2+x，解得：x1，oe1；（3）如图2，分别过点f、p作fmy轴于点m，pny轴于点n，设点e为（0，m），点p的坐标为（x，2x+4），pnx，enm+2x4，pef90，pen+fem90，fmy轴，mfe+fem90，penmfe，在efm和pen中，efmpen（aas），menpx，fmenm+2x4，点f为（m+2x4，m+x），f点的横坐标与纵坐标相等，m+2x4m+x，解得：x4，点p为（4，4）9在等边abc中，线段am为bc边上的中线动点d在直线am上时，以cd为一边在cd的下方作等边cde，连结be（1）若点d在线段am上时（如图1），则adbe（填“”、“”或“”），cam30度；（2）设直线be与直线am的交点为o当动点d在线段am的延长线上时（如图2），试判断ad与be的数量关系，并说明理由；当动点d在直线am上时，试判断aob是否为定值？若是，请直接写出aob的度数；若不是，请说明理由解：（1）abc与dec都是等边三角形acbc，cdce，acbdce60acd+dcbdcb+bceacdbce在adc和bec中，acdbce（sas），adbe；abc是等边三角形，bac60线段am为bc边上的中线cambac，cam30故答案为：，30；（2）adbe，理由如下：abc和cde都是等边三角形abbc，dcec，acbdce60，acdacbdcb，bcedcedcb，acdbce，acdbce（sas）adbeaob是定值，aob60，理由如下：当点d在线段am上时，如图1，由知acdbce，则cbecad30，又abc60，cbe+abc60+3090，abc是等边三角形，线段am为bc边上的中线am平分bac，即，boa903060当点d在线段am的延长线上时，如图2，abc与dec都是等边三角形acbc，cdce，acbdce60acb+dcbdcb+dceacdbce在acd和bce中，acdbce（sas）cbecad30，同理可得：bam30，boa90306010数学课上，王老师出示了如下框中的题目小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况探索结论：在等边三角形abc中，当点e为ab的中点时，点d在cb点延长线上，且edec；如图1，确定线段ae与db的大小关系请你直接写出结论aedb；（2）特例启发，解答题目王老师给出的题目中，ae与db的大小关系是：aedb理由如下：如图2，过点e作efbc，交ac于点f，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在abc中，abbcac1；点e在ab的延长线上，ae2；点d在cb的延长线上，edec，如图3，请直接写cd的长1或3解：（1）如图1，过点e作efbc，交ac于点f，abc为等边三角形，afeacbabc60，aef为等边三角形，efcebd120，efae，edec，edbecb，ecbfec，edbfec，在bde和fec中，bdefec（aas），bdef，aebd，故答案为：；（2）解答过程如下：如图2，过点e作efbc，交ac于点f，abc为等边三角形，afeacbabc60，aef为等边三角形，efcebd120，efae，edec，edbecb，ecbfec，edbfec，在bde和fec中，bdefec（aas），bdef，aebd故答案为：aedb（3）解：分为四种情况：如图3，abac1，ae2，b是ae的中点，abc是等边三角形，abacbc1，ace是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），ace90，aec30，decbbec30，dbeabc60，deb180306090，即deb是直角三角形bd2be2（30所对的直角边等于斜边的一半），即cd1+23如图4，过a作anbc于n，过e作emcd于m，等边三角形abc，eced，bncnbc，cmmdcd，anem，banbem，abc边长是1，ae2，mn1，cmmncn1，cd2cm1；如图5，ecdebc（ebc120），而ecd不能大于120，否则edc不符合三角形内角和定理，此时不存在eced；如图6，edcabc，ecbacb，又abcacb60，ecdedc，即此时edec，此时情况不存在，答：cd的长是3或1故答案为：1或311定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”（1）如图1，abc中，abac，a36，求证：abc是倍角三角形；（2）若abc是倍角三角形，abc，b30，ac，求abc面积；（3）如图2，abc的外角平分线ad与cb的延长线相交于点d，延长ca到点e，使得aeab，若ab+acbd，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明（1）证明：abac，bc，a+b+c180，a36，bc72，a2c，即abc是倍角三角形，（2）解：abc，b30，当b2c，得c15，过c作ch直线ab，垂足为h，可得cah45，ahchac4bh，abbhah4，s当a2b或a2c时，与abc矛盾，故不存在综上所述，abc面积为（3）ad平分bae，badead，abae，adad，abdaed（sas），adeadb，bdde又ab+acbd，ae+acbd，即cebdcedecbde2adcadc是倍角三角形12如图，在平面直角坐标系中，oaob，accd，已知两点a（4，0），c（0，7），点d在第一象限内，dca90，点b在线段oc上，ab的延长线与dc的延长线交于点m，ac与bd交于点n（1）点b的坐标为：（0，4）；（2）求点d的坐标；（3）求证：cmcn解：（1）a（4，0），oaob4，b（0，4），故答案为：（0，4）（2）c（0，7），oc7，过点d作dey轴，垂足为e，decaoc90，dca90，ecd+bcaecd+edc90bcaedc，deccoa（aas），deoc7，ecoa4，oeoc+ec11，d（7，11）；（3）证明：beoeob1147bede，dbe是等腰直角三角形，dbe45，oaob，oba45，dba90，ban+anb90，dca90，cdn+dnc90，dncanb，cdnban，dca90，acmdcn90，dcnacm（asa），cmcn13如图，在abc中，bdac，垂足为c，且ac，点e是一动点，其在bc上移动，连接de，并过点e作efde，点f在ab的延长线上，连接df交bc于点g（1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图（2）当abd与fde全等，且adfe，a30，afd40，求c的度数解：（1）补全示意图如图所示，（2）deef，bdac，defadb90abd与def全等，abdf，又adfe，abdfde，bdde在rtabd中，abd90a60fde60abdbdf+afd，afd40，bdf20bdebdf+fde20+6080bdde，dbebed（180bde）50在rtbdc中，c90dbe90504014如图cp是等边abc的外角ace的平分线，点d在边bc上，以d为顶点，da为一条边作adf60，另一边交射线cp于f（1）求证adfd；（2）若ab2，bdx，dfy，求y关于x的函数解析式；（3）联结af，当adf的面积为时，求bd的长证明：（1）如图1，连接af，acb60，ace120，cp平分ace，acppce60，adfacp60，a、d、c、f四点共圆，afdacb60，adfafd60，daf60，adf是等边三角形，adfd；（2）如图2，过点a作ahbc，abc是等边三角形，ahbc，ab2，bh1，ahbh，hdbdbhx1，df，y（3）adf是等边三角形，且adf的面积为，df2，df2x22x+4xbd或15如图，abc是等边三角形，d是bc边的中点，以d为顶点作一个120的角，角的两边分别交直线ab、直线ac于m、n两点以点d为中心旋转mdn（mdn的度数不变），当dm与ab垂直时（如图所示），易证bm+cnbd（1）如图，当dm与ab不垂直，点m在边ab上，点n在边ac上时，bm+cnbd是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图，当dm与ab不垂直，点m在边ab上，点n在边ac的延长线上时，bm+cnbd是否仍然成立？若不成立，请写出bm，cn，bd之间的数量关系，不用证明解：（1）结论bm+cnbd成立，理由如下：如图，过点d作deac交ab于e，abc是等边三角形，abc60，deac，beda60，bdec60，bbedbde60，bde是等边三角形，edc120，bdbede，edn+cdn120，edm+ednmdn120，cdnedm，d是bc边的中点，debdcd，在cdn和edm中，cdnedm（asa），cnem，bdbebm+embm+cn；（2）上述结论不成立，bm，cn，bd之间的数量关系为：bmcnbd；理由如下：如图，过点d作deac交ab于e，abc是等边三角形，abc60，ncd120，deac，beda60，bdec60，bbedbde60，bde是等边三角形，mededc120，bdbede，ncdmed，edm+cdm120，cdn+cdmmdn120，cdnedm，d是bc边的中点，debdcd，在cdn和edm中，cdnedm（asa），cnem，bdbebmembmcn，bmcnbd二次函数1如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+3（a0）的图象经过点a（1，0），点b（3，0），与y轴交于点c（1）求a，b的值；（2）若点p为直线bc上一点，点p到a，b两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点p，求新抛物线的顶点坐标解：（1）二次函数yax2+bx+3（a0）的图象经过点a（1，0），点b（3，0），解得；（2）yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线的对称轴为直线x1，c（3，0），点p到a，b两点的距离相等，点p在抛物线的对称轴x1上，b（3，0），c（0，3），直线bc的解析式为yx+3，令x1，则y1+32，p（1，2），设平移后的新抛物线的解析式为y（xh）2+4，新抛物线经过点p，2（1h）2+4，解得h11+，h21，新抛物线的顶点坐标为（1+，4）或（1，4）2如图a，已知抛物线yx2+bx+c经过点a（4，0）、c（0，2），与x轴的另一个交点为b（1）求出抛物线的解析式（2）如图b，将abc绕ab的中点m旋转180得到bac，试判断四边形bcac的形状并证明你的结论（3）如图a，在抛物线上是否存在点d，使得以a、b、d三点为顶点的三角形与abc全等？若存在，请直接写出点d的坐标；若不存在请说明理由解：（1）将点a、c的坐标代入抛物线表达式并解得：b1，c2，故：抛物线的解析式为：yx2+x+2；（2）四边形bcac为矩形抛物线yx2+x+2与x轴的另一个交点为：（1，0）由勾股定理求得：bc，ac2，又ab5，由勾股定理的逆定理可得：abc直角三角形，故bca90；已知，abc绕ab的中点m旋转180o得到bac，则a、b互为对应点，由旋转的性质可得：bcac，acbc所以，四边形bcac为平行四边形，已证bca90，四边形bcac为矩形；（3）存在点d，使得以a、b、d三点为顶点的三角形与abc全等，则点d与点c关于函数对称轴对称，故：点d的坐标为（3，2）3如图，已知二次函数yx22x+m的图象与x轴交于点a、b，与y轴交于点c，直线ac交二次函数图象的对称轴于点d，若点c为ad的中点（1）求m的值；（2）若二次函数图象上有一点q，使得tanabq3，求点q的坐标；（3）对于（2）中的q点，在二次函数图象上是否存在点p，使得qbpcoa？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设对称轴交x轴于点e，交对称轴于点d，函数的对称轴为：x1，点c为ad的中点，则点a（1，0），将点a的坐标代入抛物线表达式并解得：m3，故抛物线的表达式为：yx22x3；（2）tanabq3，点b（3，0），则aq所在的直线为：y3x（x3），联立并解得：x4或3（舍去）或2，故点q（4，21）或（2，3）；（3）不存在，理由：qbpcoa，则qbp90当点q（2，3）时，则bq的表达式为：y（x3），联立并解得：x3（舍去）或，故点p（，），此时bp：pqoa：ob，故点p不存在；当点q（4，21）时，同理可得：点p（，），此时bp：pqoa：ob，故点p不存在；综上，点p不存在4如图，已知二次函数yax2+4ax+c（a0）的图象交x轴于a、b两点（a在b的左侧），交y轴于点c一次函数yx+b的图象经过点a，与y轴交于点d（0，3），与这个二次函数的图象的另一个交点为e，且ad：de3：2（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点m为x轴上一点，求md+ma的最小值解：（1）把d（0，3）代入yx+b得b3，一次函数解析式为yx3，当y0时，x30，解得x6，则a（6，0），作efx轴于f，如图，odef，ofoa4，e点的横坐标为4，当x4时，yx35，e点坐标为（4，5），把a（6，0），e（4，5）代入yax2+4ax+c得，解得，抛物线解析式为yx2x+；（2）作mhad于h，作d点关于x轴的对称点d，如图，则d（0，3），在rtoad中，ad3，mahdao，rtamhrtado，即，mham，mdmd，md+mamd+mh，当点m、h、d共线时，md+mamd+mhdh，此时md+ma的值最小，ddhado，rtdhdrtdoa，即，解得dh，md+ma的最小值为5如图1，已知抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于a（3，0）、b（1，0）两点，与y轴交于点c（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，直线ad：yx+1与y轴交于点d，p点是x轴上一个动点，过点p作pgy轴，与抛物线交于点g，与直线ad交于点h，当点c、d、h、g四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时p点坐标（3）如图3，连接ac和bc，q点是抛物线上一个动点，连接aq，当qacbco时，求q点的坐标解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+3）（x1）a（x2+2x3），故3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x+3；（2）直线ad：yx+1与y轴交于点d，则点d（0，1），则cd2；设点p（x，0），则点h（x， x+1）、点g（x，x22x+3），则ghcd2，即|x+1（x22x+3）|2，解得：x或，故点p（，0）或（，0）或（，0）；（3）设直线aq交y轴于点h，过点h作hmac交于点m，交aq于点h，设：mhxmc，qacbco，则tancah，则am3x，故acam+cm4x3，解得：x，则chx，ohocch，故点h（0，），同理点h（，3），由点ah坐标得，直线ah的表达式为：y（x+3），同理直线ah的表达式为：y2（x+3），联立并解得：x3（舍去）或；联立并解得：x3（舍去）或1；故点q的坐标为：（，）或（1，4）6在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点b，与y轴交于点c，二次函数yx2+bx+c的图象经过b，c两点，且与x轴的负半轴交于点a（1）直接写出：b的值为；c的值为2；点a的坐标为（1，0）；（2）点m是线段bc上的一动点，动点d在直线bc下方的二次函数图象上设点d的横坐标为m如图1，过点d作dmbc于点m，求线段dm关于m的函数关系式，并求线段dm的最大值；若cdm为等腰直角三角形，直接写出点m的坐标1解：（1）直线yx2与x轴交于点b，与y轴交于点c，则点b、c的坐标为：（4，0）、（0，2），将点b、c的坐标代入抛物线表达式并解得：b，c2，故抛物线的表达式为：yx2x2，点a（1，0）；故答案为：，2，（1，0）；（2）如图1，过点d作y轴的平行线交bc于点h，设点d（m， m2m2），点h（m， m2），则mdhobc，tanobctan，则cos；mddhcosmdh（m2m2+m+2）（m2+4m），0，故dm有最大值；设点m、d的坐标分别为：（s， s2），（m，n），nm2m2；（）当cdm90时，如图2左图，过点m作x轴的平行线交过点d于x轴的垂线于点f，交y轴于点e，则mecdfm（aas），mefd，mfce，即s22ms，ss2n，解得：s，故点m（，）；（）当mdc90时，如图2右图，同理可得：s，故点m（，）；（）当mcd90时，则直线cd的表达式为：y2x2，联立并解得：x0或1，故点d（1，0），不在线段bc的下方，舍去；综上，点m坐标为：（，）或（，）7如图，抛物线ya（x1）（x3）（a0）与x轴交于a，b两点，抛物线上另有一点c在x轴下方，且使ocaobc（1）求线段oc的长度；（2）设直线bc与y轴交于点d，点c是bd的中点时，求直线bd和抛物线的解析式，（3）在（2）的条件下，点p是直线bc下方抛物线上的一点，过p作pebc于点e，作pfab交bd于点f，是否存在一点p，使得pe+pf最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由解：（1）a（x1）（x3）0，x11，x23，则点a的坐标为（1，0），点b的坐标为（3，0），oa1，ob3，ocaobc，即，解得，oc；（2）在rtbod中，点c是bd的中点，bd2oc2，由勾股定理得，od，点d的坐标为（0，）设直线bd的解析式为：ykx+b，则，解得，则直线bd的解析式为：yx，点b的坐标为（3，0），点d的坐标为（0，），点c是bd的中点，点c的坐标为（，），a（1）（3），解得，a，抛物线的解析式：y（x1）（x3），即yx2x+2；（3）作pgob交bd于g，tanobd，obd30，pfab，pfgobd30，pfpg，pebc，pfpg，epgpfg30，pepg，pe+pfpg+pgpg，设点p的坐标为（m， m2m+2），点g的坐标为（m， m），pgm（m2m+2）m2+3m3pe+pfpg3m2+m3（m）2+，则pe+pf的最大值为8已知抛物线yax2+bx+c经过点a（2，0），b（3，0），与y轴负半轴交于点c，且ocob（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴负半轴上存在一点d，使cbdadc，求点d的坐标；（3）点d关于直线bc的对称点为d，将抛物线yax2+bx+c向下平移h个单位，与线段dd只有一个交点，直接写出h的取值范围解：（1）ocob，则点c（0，3），抛物线的表达式为：ya（x+2）（x3）a（x2x6），6a3，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x3；（2）设：cdm，过点d作dhbc交bc的延长线于点h，则chhdm，tanadctandbc，解得：m3或4（舍去4），故点d（0，6）；（3）过点c作x轴的平行线交dh的延长线于点d，则d（3，3）；平移后抛物线的表达式为：yx2x3h，当平移后的抛物线过点c时，抛物线与线段dd有一个公共点，此时，h3；当平移后的抛物线过点d时，抛物线与线段dd有一个公共点，即39h，解得：h15，故3h159如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2的对称轴为直线l，将直线l绕着点p（0，2）顺时针旋转的度数后与该抛物线交于ab两点（点a在点b的左侧），点q是该抛物线上一点（1）若45，求直线ab的函数表达式；（2）若点p将线段分成2：3的两部分，求点a的坐标（3）如图，在（1）的条件下，若点q在y轴左侧，过点p作直线lx轴，点m是直线l上一点，且位于y轴左侧，当以p，b，q为顶点的三角形与pam相似时，求m的坐标解：（1）45，则直线的表达式为：yx+b，将（0，2）代入上式并解得：b2，故直线ab的表达式为：yx+2；（2）ap：pb2：3，设a（2a，4a2）b（3a，9a2），解得：，（舍去），；ap：pb3：2，设a（3a，9a2），b（2a，4a2），解得：，（舍去），综上或；（3）mpa45，qpb45a（1，1），b（2，4），qbp45时，此时b，q关于y轴对称，pbq为等腰直角三角形，m1（1，2）m2（2，2），bqp45时，此时q（2，4）满足，左侧还有q也满足，bqpbqp，q，b，p，q四点共圆，则圆心为bq中点d（0，4）；设q（x，x2），（x0），qdbd，（x0）2+（x24）222（x24）（x23）0，x0且不与q重合，qp2，qpdqdp2，dpq为正三角形，则，过p作pebq，则，当qbppma时，则，故点；当qpbpma时，则，故点；综上点m的坐标：（1，2），（2，2），10如图，rtfhg中，h90，fhx轴，0.6，则称rtfhg为准黄金直角三角形（g在f的右上方）已知二次函数y1ax2+bx+c的图象与x轴交于a、b两点，与y轴交于点e（0，3），顶点为c（1，4），点d为二次函数y2a（x1m）2+0.6m4（m0）图象的顶点（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点f与点a重合、g落在二次函数y1的图象上，求点g的坐标及fhg的面积；（3）设一次函数ymx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点p、q且p、q两点分别与准黄金直角三角形的顶点f、g重合，求m的值，并判断以c、d、q、p为顶点的四边形形状，请说明理由解：（1）设二次函数y1的函数关系式为y1a（x1）24，将e（0，3）代入得a43，解得a1，y1（x1）24x22x3；（2）设ga，0.6（a+1），代入函数关系式，得，（a1）240.6（a+1），解得a13.6，a21（舍去），所以点g坐标为（3.6，2.76）由x22x30知x11，x23，a（1，0）、b（3，0），则ah4.6，gh2.76，sfhg4.62.766.348；（3）ymx+mm（x+1），当x1时，y0，直线ymx+m过点a，延长qh，交x轴于点r，由平行线的性质得，qrx轴fhx轴，qphqar，phqarq90，aqrphq，0.6，设qn，0.6（n+1），代入ymx+m中，得mn+m0.6（n+1），整理，得：m（n+1）0.6（n+1），n+10，m0.6四边形cdpq为平行四边形，理由如下：连接cd，并延长交x轴于点s，过点d作dkx轴于点k，延长kd，过点c作ct垂直kd延长线，垂足为t，y2（x1m）2+0.6m4，点d由点c向右平移m个单位，再向上平移0.6m个单位所得，0.6，tanksdtanqar，ksdqar，aqcs，即cdpqaqcs，由抛物线平移的性质可得，ctph，dtqh，pqcd，四边形cdpq为平行四边形11如图，点p是二次函数y+1图象上的任意一点，点b（1，0）在x轴上（1）以点p为圆心，bp长为半径作p直线l经过点c（0，2）且与x轴平行，判断p与直线l的位置关系，并说明理由若p与y轴相切，求出点p坐标；（2）p1、p2、p3是这条抛物线上的三点，若线段bp1、bp2、bp3的长满足，则称p2是p1、p3的和谐点，记做t（p1，p3）已知p1、p3的横坐标分别是2，6，直接写出t（p1，p3）的坐标（1，）解：（1）p与直线相切过p作pq直线，垂足为q，设p（m，n）则pb2（m1）2+n2，pq2（2n）2，即：（m1）244n，pb2（m1）2+n244n+n2（2n）2pq2pbpq，p与直线相切；当p与y轴相切时pdpbpq|m|2n，即：n2m代入（m1）244n得：m26m+50或m2+2m+5
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