第一章--随机事件及其概率PPT课件

.,1,概率论与数理统计,主编：刘韶跃李以泉丁碧文杨湘桃,湘潭大学出版社,.,2,美国报纸检阅（Parade）的专栏内提出了一个有趣的概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊，你可以随意打开一扇，后面的东西就归你了，你当然想得到一辆汽车！当你选定一扇门后，比方说选定1号门（但未打开），主持人知道哪扇门后是汽车，哪扇门后是山羊，他打开另一扇中有山羊的一个，比方说他打开了3号门让你看到里边是山羊，并对你说：我现在再给你一个机会，允许你改变原来的选择，为了得到汽车，你是坚持1号门还是改选2号门？分析一：改或不改都一样，每种选择的成功率都为50%；分析二：改变选择后成功率要高。,.,3,概率论产生于17世纪，本来是由保险事业发展而产生的，但是来自赌博者的请求，却是数学家们思考概率论问题的源泉.早在1654年，有一个赌徒梅勒向当时的数学家帕斯卡提出了一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算获胜，全部赌本就归胜者，但是当其中一个人甲赢了a(am)局的时候，赌博中止，问赌本应当如何分配才算合理？”概率论在物理、化学、生物、生态、天文、地质、医学等学科中，在控制论、信息论、电子技术、预报、运筹等工程技术中的应用都非常广泛。,.,4,第一章随机事件及其概率,1.1随机事件及其频率概率的统计定义,.,5,在一定条件下,必然会出现的某种确定的结果.,(1)向上抛一枚硬币,硬币上升到一定高度后必然会下落；,(2)水加热后温度必定升高.,1.1随机事件及其频率概率的统计定义,确定性现象（必然现象）,1.随机现象与统计规律性,例如：,.,6,在完全相同的条件下,进行一系列观察或试验,结果未必相同.,(1)抛一枚硬币,落下时可能正面朝上也可能反面朝上；,(2)一次射击击中靶的次数；,(3)同一仪器测量同一物体重量,由于受各种偶然因素的影响,不同的人测得不同结果；,(4)路边打出租车,车牌号的奇偶性.,1.1随机事件及其频率概率的统计定义,随机现象（偶然现象）,例如：,.,7,统计规律性,人类的大量实践表明,在相同条件下,对随机现象进行大量的重复观测,其结果总能呈现出某种规律性.,1.1随机事件及其频率概率的统计定义,0.5016,6019,12000,Pearson,0.4979,4979,10000,Fisher,0.5069,2048,4040,Buffon,0.5005,12012,24000,Pearson,0.5181,1061,2048,DeMorgan,例：抛一枚硬币,观察正面朝上情况.历史上,一些著名统计学家曾经亲手做过一些掷硬币试验.,.,8,具有以下三个特点的试验,称为随机试验：,(3)每次试验前不知道发生什么结果.,(2)结果不止一个,但事先知道全部可能的结果；,(1)可以在相同的条件下重复进行；,1.1随机事件及其频率概率的统计定义,随机试验（简称试验）,2.随机试验与随机事件,.,9,随机试验中的某种结果(它在一次试验中可能发生也可能不发生,而且在大量重复试验中具有某种统计规律性).,或：随机试验结果的一种描述,或：关于试验结果的一个命题,事件,1.1随机事件及其频率概率的统计定义,随机事件（简称事件）,.,10,例1,或,（事件的两种表达方式）,例2,1.1随机事件及其频率概率的统计定义,.,11,例3,全是正品;,至少有一件是次品;,至多有一件是次品.,例4,1.1随机事件及其频率概率的统计定义,.,12,随机事件的频率(简称频率),1.1随机事件及其频率概率的统计定义,3.频率频率的稳定性概率的统计定义,相对频率(简称频率).,.,13,人类长期的经验表明,在大量重复试验中,随机事件的频率具有稳定性(即统计规律性).,例：英文文档中字母的使用频率,1.1随机事件及其频率概率的统计定义,频率的稳定性,.,14,概率的统计定义,于0与1之间的数叫做随机事件的概率,随机事件发生的可能性可以用一个数来表示,这,1.1随机事件及其频率概率的统计定义,.,15,1.1随机事件及其频率概率的统计定义,小结,1.主要概念：随机现象，随机试验，随机事件，随机事件的频率.,2.统计规律性-频率的稳定性.,3.概率的统计定义.,.,16,第一章随机事件及其概率,1.2样本空间,.,17,随机试验的每一个直接可能出现的，而且是试验中最简单的不能再分的结果，叫做试验的样本点，,试验的所有样本点构成的集合称为样本空间，,用字母表示.,1.样本点与样本空间的概念,1.2样本空间,样本点,样本空间,.,18,（1）抛硬币一次,1.2样本空间,观察正、反面朝上的情况,观察正面朝上的次数,（2）抛硬币两次,例1,正面朝上次,正面朝上,反面朝上，,以上皆为有限样本空间,.,19,（4）考察灯泡的寿命,1.2样本空间,（3）测量某一零件的长度，考察其测量结果与真正长度的误差,（样本空间由试验内容决定，而不由试验形式决定）,为最大正误差,可列的无限样本空间,不可列的无限样本空间,.,20,例2,1.2样本空间,上面的例1(2)：一枚硬币抛两次,2.随机事件与样本空间的关系,.,21,1.2样本空间,.,22,特别地，,1.2样本空间,在例2中:,在例2中:,.,23,1.2样本空间,小结,1.主要概念：样本点，样本空间.,2.用样本空间的子集表示随机事件：该子集中任意一个样本点发生时事件就发生.,.,24,第一章随机事件及其概率,1.3事件的关系及运算,.,25,包含（关系）,记作：,1.3事件的关系及运算,1.事件的关系与运算,此时，的样本点都是的样本点.,.,26,相等（关系）,1.3事件的关系及运算,.,27,1.3事件的关系及运算,事件的并（和）（运算）,记作：,(简记为：),.,28,1.3事件的关系及运算,事件的交（积）（运算）,记作：,(简记为：),或,.,29,互不相容（关系）,此时，的并记作,则称这个事件是互不相容的(或互斥的).,或,1.3事件的关系及运算,两个互不相容事件与的并，记作：.,如果个事件中任意两个事件不可能同时发生,即,.,30,对立（关系）,1.3事件的关系及运算,如果事件与互不相容且它们中必有一事件发生，即二事件与中有且仅有一事件发生,即,且,则称事件与是对立的(或互逆的),称事件是事件的对立事件(或逆事件);同样,事件也是事件的对立事件(或逆事件).,.,31,完备事件组,1.3事件的关系及运算,.,32,事件的差（运算）,1.3事件的关系及运算,.,33,集合是集合的子集,事件包含于事件,事件等于事件,集合与集合相等,事件与事件的并,集合与集合的并集,事件与事件的交,集合与集合的交集,事件与互不相容,集合与不相交,事件的对立事件,集合的余集,事件运算与集合运算的对应,1.3事件的关系及运算,.,34,例1,1.3事件的关系及运算,.,35,或,1.3事件的关系及运算,.,36,（1）交换律：,（2）结合律：,2.事件的运算律,1.3事件的关系及运算,.,37,（3）分配律：,（4）德摩根(Demorgan)定律：,推广：,1.3事件的关系及运算,.,38,1.3事件的关系及运算,小结,1.事件的关系：包含,相等,互不相容,互逆.,2.事件的运算:并,交,差.,3.事件的运算与集合运算的对应.,.,39,思考题,1.3事件的关系及运算,.,40,解：,其余三个答案不对的原因是：,1.3事件的关系及运算,.,41,1.4概率的古典定义,第一章随机事件及其概率,.,42,排列组合有关知识复习,加法原理：完成一件事情有r类方法，第i类方法中有mi种具体的方法，则完成这件事情共有,种不同的方法,乘法原理：完成一件事情有r个步骤，第i个步骤中有mi种具体的方法，则完成这件事情共有,种不同的方法,.,43,排列从n个不同的元素中取出m个(不放回地）按一定的次序排成一排不同的排法共有,全排列,可重复排列从n个不同的元素中可重复地取出m个排成一排,不同的排法有,种,.,44,组合从n个不同的元素中取出m个(不放回地）组成一组，不同的分法共有,.,45,1.古典概型,概率的古典定义,1.4概率的古典定义,.,46,例1,1.4概率的古典定义,.,47,1.4概率的古典定义,.,48,表达方法：,1.4概率的古典定义,.,49,例2,(1)有放回情形,样本空间中基本事件总数：,所包含的基本事件总数：,于是，,解：,1.4概率的古典定义,.,50,(2)无放回情形,样本空间中基本事件总数：,所包含的基本事件总数：,于是，,1.4概率的古典定义,.,51,例3（继上题）,解：,样本空间中基本事件总数为：,所包含的基本事件总数为：,将抽样方式改为“一次任取件样品”,求相应的概率.,于是，,1.4概率的古典定义,.,52,附：不放回依次抽样与一次抽样的等价性,1.4概率的古典定义,.,53,例4,解：,基本事件总数为：,1.4概率的古典定义,抽签次序无关性,一批产品共有件,其中有件次品.每次从中任取一件,取出后不放回,接连取个产品.求第次取得次品的概率.,.,54,2.几何概型,定义,假设随机试验包含无穷多个基本事件,且每个基本事件都是等可能的.,1.4概率的古典定义,.,55,例1,1.4概率的古典定义,.,56,1.4概率的古典定义,.,57,1.4概率的古典定义,小结,1.古典概型：构建合适的样本空间,正确计算样本点个数.构建样本空间时,要特别注意样本点的等可能性.,2.两个重要的概率模型-无放回抽样(超几何分布),抽签次序无关性.,3.几何概型-古典概型的推广：样本空间为无穷集合.,.,58,思考题,试求下列事件的概率：,1.4概率的古典定义,从0,1,2,9共十个数字中任意选出三个不同的数字,.,59,1.4概率的古典定义,.,60,1.4概率的古典定义,.,61,1.4概率的古典定义,.,62,1.5概率加法定理,第一章随机事件及其概率,.,63,两个互不相容事件的并的概率等于这两个,事件的概率的和：,1.互不相容事件的加法定理,证：,设样本空间共有个等可能的基本事件，,包含个基本事件，,所以，,定理1,1.5概率加法定理,事件包含个基本事件，,由与的互不相容性，,包含个基本事件，,.,64,定理2,事件的概率的和：,有限个互不相容事件的并的概率等于这些,推论2,推论1,对立事件的概率的和等于一：,1.5概率加法定理,.,65,例1一批产品共有50个,其中45个是合格品,5个是次品,从这批产品中任取3个,求其中有次品的概率.,解：,设表示取出的3个产品中有次品，,表示取出,的3个产品中恰有个次品，,于是，,又,1.5概率加法定理,.,66,于是,根据加法定理,得,又解,显然，,于是，,1.5概率加法定理,的对立事件是取出的3个产品全是合格品，,.,67,任意二事件的并的概率,等于这二事件的,概率的和减去这二事件的交的概率：,证明：,于是,又,同理,从而,于是,定理3,2.一般概率加法定理,1.5概率加法定理,.,68,例2从1099所有的两位数中任取一整数,求取到的整数能被2或3整除的概率.,解：,取到的整数能被3整除,取到的整数能被2或3整除,于是,1.5概率加法定理,设取到的整数能被2整除,取到的整数能被2和3整除,.,69,又,从而,1.5概率加法定理,.,70,例3,经调查,某班学生订甲报的占30,订乙报的占25,同时订2种报纸的占10.求下列事件的概率：只订甲报;只订一种;至少订一种;一种也不订.,解：,设,则,1.5概率加法定理,.,71,1.5概率加法定理,.,72,任意有限个事件的并的概率可按以下公式计算：,定理4,1.5概率加法定理,.,73,1.5概率加法定理,小结,1.加法定理的本质是,将复杂事件分解成几个简单事件的并,从而将复杂事件的概率计算转化为简单事件概率的计算(下一节的乘法定理也是如此).,2.两个基本公式：,.,74,思考题,1.5概率加法定理,.,75,1.5概率加法定理,.,76,1.6条件概率概率乘法定理,第一章随机事件及其概率,.,77,记作：,一般，,1.条件概率,条件概率的定义,1.6条件概率概率乘法定理,.,78,例1甲、乙两条生产线生产同一种元件,已知甲生产线生产的8个元件中有2个次品,乙生产线生产的9个元件中有1个次品.现从全部17个元件中任取1个元件.求：,这个元件是甲生产线生产的产品的概率；,若已知这个元件是次品,它是甲生产线的产品的概率.,1.6条件概率概率乘法定理,解：,.,79,1.6条件概率概率乘法定理,.,80,定理1,证：用古典概型证明.,事件包含个基本事件，,事件,包含个基本事件，,则,设样本空间含有个等,可能的基本事件，,1.6条件概率概率乘法定理,.,81,则,在事件已发生的条件下，原样本空间缩减为样本空间：,含的基本事件有且仅有个，,即所包含的那些基,本事件，,于是,1.6条件概率概率乘法定理,.,82,同理可证,1.6条件概率概率乘法定理,.,83,例2,求：,解：,（抽签次序无关性）,从装有3个白球2个黑球的袋中无放回连取2个球，,1.6条件概率概率乘法定理,.,84,也可用缩减样本空间的方法来计算,1.6条件概率概率乘法定理,譬如，在发生的条件下，即第一次取得白球的条件下，还剩下2个白球，2个黑球，那么第二次取得黑球的概率，即发生的条件概率为,同理,.,85,2.概率乘法定理,定理2二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件下的条件概率的乘积：,1.6条件概率概率乘法定理,.,86,定理3有限个事件的交的概率等于这些事件的概率的乘积，其中每一事件的概率是在它前面的一切事件都已发生的条件下的条件概率：,1.6条件概率概率乘法定理,.,87,一批零件共100个,次品率为10,每次从中任取1个零件,取出的零件不放回.求以下概率：,解：,（抽签次序无关性）.,则,例3,于是，,1.6条件概率概率乘法定理,.,88,故,1.6条件概率概率乘法定理,.,89,1.6条件概率概率乘法定理,小结,2.乘法定理的本质是,将复杂事件分解成几个简单事件的交,从而将复杂事件的概率计算转化为简单事件概率的计算.,1.条件概率的意义.,.,90,思考题,1.6条件概率概率乘法定理,.,91,1.6条件概率概率乘法定理,.,92,1.7全概率公式与贝叶斯公式,第一章随机事件及其概率,1.7全概率公式,.,93,1.全概率公式,可以通过,全概率公式,1.7全概率公式,设有随机事件,已知,且,则,.,94,证：,根据概率加法定理得,再由乘法定理得,也是互不相容的，,1.7全概率公式,因此，,又,.,95,例1两台车床加工相同的零件，甲车床出现废品的概率为0.03，乙车床出现废品的概率为0.02，且甲车床加工的零件比乙车床加工的零件多1倍.将两车床加工的零件放在一起，求任取一零件是废品的概率.,解：,1.7全概率公式,任取一零件是废品,零件由甲车床生产,零件由乙车床生产,则,.,96,1.7全概率公式,.,97,例2设甲袋中有白球5个,红球3个,乙袋中有白球6个,红球2个.现从甲袋中任取一球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球.试求从乙袋中取到白球的概率.,解：,1.7全概率公式,.,98,例3某工厂的产品以100个为一批.抽样检查时只从每批中抽检10个产品,如发现其中有次品,则认为这批产品不合格.假定每批产品中次品最多不超过4个,且恰有个个次品的概率如下：,1.7全概率公式,.,99,1.7全概率公式,.,100,叫做试验前的假设概率.,2.贝叶斯公式,如果试验时确实发生了，,则应重新估计事件,的概率，,先验概率,即计算条件概率,称为,试验后的假设概率.,后验概率,由乘法定理，,贝叶斯公式,1.7全概率公式,.,101,贝叶斯公式,1.7全概率公式,设有随机事件,已知,且,则,.,102,在例1中，若已知取出的零件是废品，则它是甲车床生产的概率为,1.7全概率公式,.,103,例4玻璃杯成箱出售，每箱20只.假设每箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，购买时售货员随意取一箱，顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回.求：（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买下的这箱玻璃杯中确实没有残次品的概率.,1.7全概率公式,顾客买下该箱玻璃杯,箱中含有只残次品,.,104,1.7全概率公式,则,.,105,例5临床诊断记录表明,利用某种试验检查癌症具有如下的效果:对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占95%,对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%.现在用这种试验对某市居民进行癌症普查,如果该市癌症患者数占居民总数的4,求:,(1)试验结果呈阳性反应者确实患有癌症的概率；,(2)试验结果呈阴性反应者确实未患癌症的概率.,1.7全概率公式,.,106,1.7全概率公式,.,107,1.7全概率公式,小结,2.应用全概率公式的关键：,1.全概率公式的实质：,我们通过,.,108,1.7全概率公式,思考题,.,109,1.7全概率公式,.,110,1.8随机事件的独立性,第一章随机事件及其概率,.,111,引例袋中有8个球（3白5黑），从袋中有放回地依次取两球.,设第一次取得白球;,第二次取得黑球.,1.随机事件独立性的概念,1.8随机事件的独立性,则,即,.,112,1.8随机事件的独立性,事件的发生与否对事件发生的概率没有影响，这种情况我们认为是相互独立的.,当时，乘法公式变为,定义,设A,B为两事件，若,则称事件与事件相互独立.,.,113,两事件相互独立的性质,(2)两事件A与B相互独立是相互对称的,若,若,(1)必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立,.,114,(3)四对事件,任何一对相互独立,则其它三对也相互独立,试证其一,事实上,.,115,.,116,例1甲、乙两人独立地射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.4，求此目标被击中的概率.,.,117,三事件A,B,C相互独立是指下面的关系式同时成立：,注：1)关系式(1)(2)不能互相推出2)仅满足(1)式时,称A,B,C两两独立,(2),定义,.,118,n个事件A1,A2,An相互独立是指下面的关系式同时成立,定义,.,119,例2排球比赛中规定“三局两胜”,若某队每局的获胜概率为0.6,求该队取胜的概率.,1.8随机事件的独立性,.,120,定理8.1若相互独立,则,证,.,121,例3加工一零件经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为2,3,5,假设各工序互不影响,求加工出来的零件的次品率.,1.8随机事件的独立性,.,122,1.8随机事件的独立性,.,123,例4(系统可靠性)一个电子元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性;由若干个电子元件构成的系统能正常工作的概率叫做这个系统的可靠性.系统的可靠性除了与构成系统的各个元件的可靠性有关外,还与各元件之间的联结方式有关.,(1),1.8随机事件的独立性,.,124,(2),1.8随机事件的独立性,.,125,(3),1.8随机事件的独立性,.,126,1.8随机事件的独立性,.,127,1.8随机事件的独立性,小结,3.独立情形的乘法定理：,1.独立性是概率论的重要概念.,2.在实际问题中,事件的独立性通常是根据经验的直观想法判断的.,.,128,思考题,1.8随机事件的独立性,.,129,证：,1.8随机事件的独立性,.,130,1.9贝努利概型,第一章随机事件及其概率,.,131,n重Bernoulli试验中事件A出现k次的概率记为,3、每次试验的结果与其他次试验无关称为这n次试验是相互独立的,1、试验可重复n次,n重贝努利(Bernoulli)试验概型：,伯努利试验,.,132,定理9.1,1.9独立试验序列,次数为，且,此处，且,在n重贝努利试验中，事件可能发生的,由贝努利概型知，在指定的次试验中出现，,其余次试验出现的概率为,.,133,1.9独立试验序列,而这样的指定方式总共有种，且这种方式是互斥,的，,又由于次试验所有可能的结果就是事件发生,次，而这些结果是互斥的，所以有,.,134,两个常用公式,1.9独立试验序列,.,135,例1某人独立射击10次，每次命中率为0.2，求:(1)击中两次的概率；(2)至少击中一次的概率.,解这是伯努利概型，设A表示事件“击中两次”，B表示事件“至少击中一次”，则,例9,(1),(2),.,136,例2,1.9独立试验序列,.,137,例3甲、乙两个运动员进行乒乓球单打比赛，如果每局甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，比赛可以采取三局两胜制或五局三胜制，问哪种赛制下甲获胜的概率更大？,解,例9,(1)若采取三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜,设表示甲获胜,所以,.,138,例9,(2)若采取五局三胜制，则甲在下列