高三数学 数列常用解法和习题

数列知识点和常用的解题方法归纳数列知识点和常用的解题方法归纳 一、一、 等差数列的定义与性质等差数列的定义与性质 定义：为常数 ，aad daand nnn 11 1() 等差中项： ， ， 成等差数列xAyAxy2 前 项和nS aan na n n d n n 1 1 2 1 2 性质：是等差数列an （ ）若，则；1mnpqaaaa mnpq （ ）数列，仍为等差数列；2 212 aakab nnn SSSSS nnnnn ，仍为等差数列； 232 （ ）若三个数成等差数列，可设为， ，；3adaad （ ）若，是等差数列，为前 项和，则；4 21 21 abSTn a b S T nnnn m m m m （ ）为等差数列（ ， 为常数，是关于 的常数项为5 2 aSanbnabn nn 0 的二次函数） SSanbna nnn 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界 2 项，即： 当，解不等式组可得达到最大值时的 值。ad a a Sn n n n1 1 00 0 0 当，由可得达到最小值时的 值。ad a a Sn n n n1 1 00 0 0 如：等差数列，则aSaaaSn nnnnn 1831 123 （由，aaaaa nnnnn 1211 3331 又，S aa aa 3 13 22 2 331 1 3 S aanaan n n nn 121 22 1 3 1 2 18 n27） 二、等比数列的定义与性质二、等比数列的定义与性质 定义：（ 为常数，）， a a qqqaa q n n n n 1 1 1 0 等比中项： 、 、 成等比数列，或xGyGxyGxy 2 前 项和：（要注意 ）nS naq aq q q n n 1 1 1 1 1 1 () () ! 性质：是等比数列an （ ）若，则1mnpqaaaa mnpq （ ），仍为等比数列2 232 SSSSS nnnnn 三、你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？三、你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 1、公式法公式法 2、 nn aS 求由 （时，时，）naSnaSS nnn 12 111 3 3、求差（商）法、求差（商）法 如：满足aaaan n n n 1 2 1 2 1 2 251 1 2 2 解：解：naa 1 1 2 21514 11 时， naaan n n 2 1 2 1 2 1 2 2152 1 2 2 1 1 时， 12 1 2 2得： n n a an n 2 1 a n n n n 141 22 1 () () 练习 数列满足，求aSSaaa nnnnn 111 5 3 4 （注意到代入得：aSS S S nnn n n 11 1 4 又，是等比数列，SSS nn n 1 44 naSS nnn n 234 1 1 时， 4 4、叠乘法、叠乘法 例如：数列中，求aa a a n n a n n n n1 1 3 1 解：解： a a a a a a n n a an n n n2 1 3 211 1 2 2 3 11 ， 又，aa n n1 3 3 5 5、等差型递推公式、等差型递推公式 由，求，用迭加法aaf naaa nnn 110 ( ) naaf aaf aaf n nn 22 3 21 32 1 时， 两边相加，得： ( ) ( ) ( ) aafff n n 1 23( )( )( ) aafff n n 0 23( )( )( ) 练习 数列，求aaaana nn n nn1 1 1 132 （）an n 1 2 31 6 6、等比型递推公式、等比型递推公式 acad cdccd nn 1 010、 为常数， 可转化为等比数列，设axc ax nn 1 acacx nn 1 1 令，()cxdx d c 1 1 是首项为， 为公比的等比数列a d c a d c c n 11 1 a d c a d c c n n 11 1 1 aa d c c d c n n 1 1 11 练习 数列满足，求aaaaa nnnn11 934 （）an n 8 4 3 1 1 7 7、倒数法、倒数法 例如：，求aa a a a n n n n11 1 2 2 由已知得： 12 2 1 2 1 1 a a aa n n nn 111 2 1 aa nn 11 1 1 2 1 aa n 为等差数列，公差为 1 11 1 2 1 2 1 a nn n a n n 2 1 三、三、 你熟悉求数列前你熟悉求数列前 n n 项和的常用方法吗？项和的常用方法吗？ 1 1、公式法：等差、等比前、公式法：等差、等比前 n n 项和公式项和公式 2 2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：是公差为 的等差数列，求ad a a n kkk n 1 11 解：解： 由 11111 0 11 aaaadd aa d kkkkkk 1111 1111 a ad aa kkk n kkk n 1111111 111 12231 11 daaaaaa d aa nn n 练习 求和： 1 1 12 1 123 1 123 n （，）aS n nn 2 1 1 3 3、错位相减法：、错位相减法： 若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前 项aba bn nnnn 和，可由求，其中 为的公比。SqSSqb nnnn 如：Sxxxnx n n 12341 231 xSxxxxnxnx n nn 23412 2341 1211 21 ：x Sxxxnx n nn xS x x nx x n n n 1 1 1 1 2 时， xSn n n n 1123 1 2 时， 4 4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 Saaaa Saaaa nnn nnn 121 121 相加 2 1211 Saaaaaa nnnn 练习 已知，则f x x x fffffff( )( )( )( )( ) 2 2 1 12 1 2 3 1 3 4 1 4 （由f xf x x x x x x xx ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 22 原式 fffffff( )( )( )( )12 1 2 3 1 3 4 1 4 1 2 1113 1 2 ） 20202020 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编数列数列 1 1、设为等比数列的前项和，则 n S n an 25 80aa 5 2 S S （A）11 （B）5 （C） （D）811 解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=- 25 80aaq08 3 22 qaaq 2，带入所求式可知答案选 D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，属中档题 2 2、如果等差数列 n a中， 345 12aaa，那么 127 .aaa （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 17 345441274 7() 312,4,728 2 aa aaaaaaaaa 3 3、设为等比数列的前项和，已知，则公比 n S n an 34 32Sa 23 32Saq （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 解析：选 B. 两式相减得， ，. 343 3aaa 4 43 3 4,4 a aaq a 4 4、设an是有正数组成的等比数列，为其前 n 项和。已知 a2a4=1, ,则 n S 3 7S 5 S （A） (B) (C) (D) 15 2 31 4 33 4 17 2 【答案】B 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，考查了同学们解决 问题的能力。 【解析】由 a2a4=1 可得，因此，又因为， 24 1 1a q 1 2 1 a q 2 31(1 )7Saqq 联力两式有，所以 q=,所以，故选 B。 11 (3)(2)0 qq 1 2 5 5 1 4(1) 31 2 1 4 1 2 S 5 5、如果等差数列中，+=12，那么+= n a 3 a 4 a 5 a 1 a 2 a 7 a （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【解析解析】C】C：本题考查了数列的基础知识。：本题考查了数列的基础知识。 ， 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 ()728 2 aaaaaa 6 6、.等比数列中，=4，函数，则 n a 1 2a 8 a 128 ()()()f xx xaxaxa （ ） 0f A B. C. D. 6 2 9 2 12 2 15 2 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的 数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有 x 项均取 0，则只与函数的一次 0f f x 项有关；得：。 412 123818 ()2a aaaa a 7 7、 2 111 lim 1 333n x （ ） A. 5 3 B. 3 2 C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。 1 1 3 3 lim() 1 2 1 3 n n 8 8、(5)设数列的前 n 项和，则的值为 n a 2 n Sn 8 a （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 5.A 【解析】. 887 644915aSS 【方法技巧】直接根据即可得出结论. 1( 2) nnn aSSn 9、在等差数列中，则的值为 n a 19 10aa 5 a （A）5 （B）6来源:高（）求数列2an的前n项和Sn. 解 （）由题设知公差d0， 由a11，a1，a3，a9成等比数列得， 12 1 d1 8 12 d d 解得d1，d0（舍去） ， 故an的通项an1+（n1）1n. ()由（）知=2n，由等比数列前 n 项和公式得2 m a Sm=2+22+23+2n=2n+1-2. 2(1 2 ) 1 2 n 5 5、 （本小题满分 12 分） 已知是各项均为正数的等比数列，且 n a ， 12 12 11 2()aa aa 345 345 111 64()aaa aaa （）求的通项公式； n a （）设，求数列的前项和。 2 1 () nn n ba a n bn n T 【解析解析】本题考查了数列通项、前本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。项和及方程与方程组的基础知识。 n （1 1）设出公比根据条件列出关于）设出公比根据条件列出关于与与的方程求得的方程求得与与，可求得数列的通项公式。，可求得数列的通项公式。 1 a d1 a d （2 2）由（）由（1 1）中求得数列通项公式，可求出）中求得数列通项公式，可求出 BNBN 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分的通项公式，由其通项公式化可知其和可分 成两个等比数列分别求和即可求得。成两个等比数列分别求和即可求得。 6 6、 （本小题满分 14 分） 证明以下命题： （1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使得成等差数列。 222 abc， （2）存在无穷多个互不相似的三角形 ，其边长为正整数且 nnnn abc， 成等差数列。 222 nnn abc， 【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证， ；类似勾股数进行拼凑。 222 2acb 证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取 b=5a，c=7a，对一切正整 222 1 ,5 ,7 数 a 均能成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三 角形，再证明互不相似，且无穷。 证明：当成等差数列，则， 222 nnn abc， 2222 nnnn bacb 分解得：()()()() nnnnnnnn babacbcb 选取关于 n 的一个多项式，做两种途径的分解 2 4 (1)n n 222 4 (1)(22)(22 )(22 )(22)n nnnnnnn 2 4 (1)n n 对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立， 2 2 2 21 1(4) 21 n n n ann bnn cnn 考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数 m，n，若m，相似：则三边对应成比例 n ， 222 222 21121 21121 mmmmm nnnnn 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 11 11 mm mn nn 7 7、 （本小题满分 13 分) 设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线 12 , n C CCx 相切，对每一个正整数,圆都与圆相 3 3 yxn n C 1n C 互外切，以表示的半径，已知为递增数列. n r n C n r ()证明：为等比数列； n r （）设，求数列的前项和. 1 1r n n r n 【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概 括能力以及推理论证能力. 【解题指导】 （1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得 n C(,0) n 2 nn r ，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中 11 2 nn r n r 与的关系，证明为等比数列；（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入 1n r n r n r n r 数列，然后用错位相减法求和. n n r n nnnn n n+1n+1n+1nnn+1n+1nn n+1n n n 11 n nn n n 12 331 ,sin, 332 r1 2r 2 2rrr2r2r r3r rq3 n r1q3r3n*3 r 12 . rr x C 解：（1）将直线y=的倾斜角记为, 则有t an = 设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理 ，从而，将代入， 解得 故为公比的等比数列。 （）由于，故，从而， 记S 121 n 121 n 121 n 1 1 , r 12*33*3. *3 1*32*3.(1)*3*3 3 1 33.3*3 3 1 333 *3()*3 , 2 22 3 9139(23)*3 ()*3 4224 n n nn nn n nn n n n n n nn n nn n Sn 则有 S S , 得 2S 【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出 关于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出 n a 1n a 通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构 成的数列时，通常是利用前 n 项和乘以公比，然后错位相减解决. n S 8、 （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分. ） 已知是首项为 19，公差为-2 的等差数列，为的前项和. n a n S n an （）求通项及； n a n S （）设是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列的通项公式及其前 nn ba n b 项和.n n T 9 9、 （本题满分 14 分）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足+15=0。 56 S S （）若=5，求及 a1； 5 S 6 S （）求 d 的取值范围。 1010、 （本小题满分 12 分， （I）小问 5 分， （II）小问 7 分） 在数列中，=1，其中实数。 n a 1 a 1 1 21* n nn acacnnN 0c （I）求的通项公式； n a （II）若对一切有，求 c 的取值范围。*kN 21kzk aa 1111、 （本小题满分 12 分） 已知等差数列满足：，.的前 n 项和为. n a 3 7a 57 26aa n a n S （）求 及； n a n S （）令（）,求数列的前 n 项和. 2 1 1 n n b a nN n b n T 1212、 （本小题共 13 分） 已知为等差数列，且，。| n a 3 6a 6 0a （）求的通项公式；| n a （）若等差数列满足，求的前 n 项和公式| n b 1 8b 2123 baaa| n b 解：（）设等差数列的公差。 n ad 因为 36 6,0aa 所以 解得 1 1 26 50 ad ad 1 10,2ad 所以10(1) 2212 n ann （）设等比数列的公比为 n bq 因为 2123 24,8baaab 所以 即=3824q q 所以的前项和公式为 n bn 1(1 ) 4(1 3 ) 1 n n n bq S q 1313、 （本小题共 13 分） 已知集合对于 121 |( ,),0,1,1,2, (2) nn SX Xx xxxin n ， ，定义 A 与 B 的差为 12 (,) n Aa aa 12 ( ,) nn Bb bbS 1122 (|,|,|); nn ABababab A 与 B 之间的距离为 11 1 ( , )| i d A Bab （）证明：，且;, , nn A B CSABS有(,)( , )d AC BCd A B （）证明：三个数中至少有一个是偶数, , ( , ), ( ,), ( ,) n A B CSd A B d A C d B C () 设 P，P 中有 m(m2)个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为(P). n S d 证明：（P）. d2(1) mn m （考生务必将答案答在答题卡上，在上作答无效） 证明：（I）设， 12 (,.,) n Aa aa 12 ( ,.,) n Bb bb 12 ( ,.,) n Cc cc n S 因为，所以, www.ks i a 0,1 i b 0,1 ii ab(1,2,., )in 从而 1122 (|,|,.,|) nnn ABabababS 又 1 (,)| | n iiii i d AC BCacbc 由题意知，. i a i b i c 0,1(1,2,., )in 当时，;0 i c | | iiiiii a cbcab 当时，1 i c | |(1)(1)| | iiiiiiii a cbcabab 所以 1 (,)|( , ) n ii i d AC BCabd A B (II)设， 12 (,.,) n Aa aa 12 ( ,.,) n Bb bb 12 ( ,.,) n Cc cc n S ，.( , )d A Bk( ,)d A Cl( ,)d B Ch 记，由（I）可知(0,0,.,0) n OS ( , )(,)( ,)d A Bd AA BAd O BAk ( ,)(,)( ,)d A Cd AA CAd O CAl ( ,)(,)d B Cd BA CAh 所以中 1 的个数为，的 1 的|(1,2,., ) ii baink|(1,2,., ) ii cain 个数为 。l 设 是使成立的 的个数，则t| | 1 iiii bacai2hlkt 由此可知，三个数不可能都是奇数，, ,k l h 即,三个数中至少有一个是偶数。( , )d A B( ,)d A C( ,)d B C （III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和， 2 , 1 ( )( , ) A B P m d Pd A B C , ( , ) A B P d A B P www.ks 设种所有元素的第 个位置的数字中共有个 1，个 0Pi i t i mt 则= , ( , ) A B P d A B 1 () n ii i t mt 由于 i t () i mt 2 (1,2,., ) 4 m in 所以 , ( , ) A B P d A B 2 4 nm 从而 2 22 , 1 ( )( , ) 42(1) A B P mm nmmn d Pd A B CCm 1414（本小题满分 12 分） 已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有 a2m1a2n12amn12(mn)2 （）求a3，a5； （）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列； （）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn. 本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解 决问题的能力. 解：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a18202 分 (2)当nN *时，由已知(以n2 代替m)可得 a2n3a2n12a2n18 于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8w_w w. k#s5_u.c o*m 即 bn1bn8 所以bn是公差为 8 的等差数列5 分 (3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为 8 的等差数列 则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2 另由已知(令m1)可得 an-(n1)2. 211 2 n aa 那么an1an2n1w_w w. k#s5_u.c o*m 2121 2 nn aa 2n1 82 2 n 2n 于是cn2nqn1. 当q1 时，Sn2462nn(n1) 当q1 时，Sn2q04q16q22nqn1. 两边同乘以q，可得 qSn2q14q26q32nqn. 上述两式相减得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqnw_w w. k#s5_u.c o*m 22nqn 1 1 n q q 2 1 1 (1) 1 nn nqnq q 所以Sn2 1 2 (1)1 (1) nn nqnq q 综上所述，Sn12 分 1 2 (1)(1) (1)1 2(1) (1) nn n nq nqnq q q A 1515、 （本小题满分 14 分） 在数列中，=0，且对任意 k，成等其公差为 2k. n a 1 a * N 2k 12k2k+1 a,a,a （）证明成等比数列； 456 a ,a ,a （）求数列的通项公式； n a （）记，证明. 222 23 23 n n n T aaa A A A n 3 2nT2 n 2 （2） 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等 基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想 方法，满分 14 分。 （I）证明：由题设可知， 21 22aa 32 24aa 43 48aa ， 54 412aa 。 65 618aa 从而，所以，成等比数列。 65 54 3 2 aa aa 4 a 5 a 6 a （II）解：由题设可得 2121 4 ,* kk aak kN 所以 2112121212331 . kkkkk aaaaaaaa 441.4 1kk .21 ,*k kkN 由，得 ，从而. 1 0a 21 21 k ak k 2 221 22 kk aakk 所以数列的通项公式为或写为， n a 2 2 1, 2 , 2 n n n a n n 为奇数 为偶数 2 11 24 n n n a 。*nN （III）证明：由（II）可知， 21 21 k ak k 2 2 2 k ak 以下分两种情况进行讨论： （1）当 n 为偶数时，设 n=2m*mN 若，则，1m 2 2 22 n k k k n a 若，则2m 22 222 11 2 21111 221 2214441 221 nmmmm kkkkk kkk kkkkkk aaakk k 2 11 11 4411 11 222 212121 mm kk kk mm k kk kkk . 1131 22112 22 mmn mn 所以，从而 2 2 31 2 2 n k k k n an 2 2 3 22,4,6,8,. 2 n k k k nn a （2）当 n 为奇数时，设。21*nmmN 22 22 2 22 21 212131 4 2221 nm kk kkm mmkk m aaamm m 1131 42 22121 mn mn 所以，从而 2 2 31 2 21 n k k k n an 2 2 3 22,3,5,7,. 2 n k k k nn a 综合（1）和（2）可知，对任意有2,*,nnN 3 22. 2 n nT 1616、 （本小题满分 14 分） 在数列中，且对任意.，成等差数列，其公差为。 n a 1 0a * kN 21k a 2k a 21k a k d （）若=，证明，成等比数列（） k d2k 2k a 21k a 22k a * kN （）若对任意，成等比数列，其公比为。 * kN 2k a 21k a 22k a k q 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前 n 项和公式、等比数列的定义、 数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类 讨论的思想方法。满分 14 分。 （）证明：由题设，可得。 * 4 , 2121 aak kN kk 所以 131 ()().() 2121212123 aaaaaaaa kkkkk =44(1).4 1kk =2k(k+1) 由=0，得 1 a 22 2 (1),22,2(1) . 2122122 ak kaakkak kkkk 从而 于是。 11 21222221 , 221212 aaaa kk kkkk akakaa kkkk 所以 所以成等比数列。 * 2, 22122 k dkkNaaa kkk 时，对任意 （）证法一：（i）证明：由成等差数列，及 2 , 2121 k aaa kk 成等比数列，得, 22122 aaa kkk 21211 2,2 22121 221 k aa kk aaaq kkk aaq kkk 当1 时，可知1，k 1 q k q * N 从而 11111 1,1(2) 11 1 1111 21 1 k qqqq kkkk qk 即 所以是等差数列，公差为 1。 1 1qk （）证明：，可得，从而=1.由（）有 1 0a 2 2a 3 4a 1 4 2, 2 q 1 1 1 q *11 11, 1 k k kkqkN qk k 得 所以 2 * 2 22211221 , 2122 aaa kkkkk kN aakak kkk （） 从而 因此， 222 2* 2 222 (1)2 22214 .22.2 (1), 2212 (1)(2)1 22242 k aaa kk kkk aak aak kkN kk aaakkk kk 以下分两种情况进行讨论： （1）当 n 为偶数时，设 n=2m() * mN 若 m=1,则. 2 2 22 n k k k n a 若 m2，则 + 2222 1 2 2111 221 (2 )(21)4 2 nmmm kkkk kkk kkkk aaak 22 111 111 4414411 11 222 2 (1)2 (1)2 (1)21 1131 22(1)(1)2 22. mmm kkk kkkk mm k kk kk kkk mmn mn 所以 22 22 313 2,22,4,6,8. 22 nn kk kk kk nnn ana 从而 (2)当 n 为奇数时，设 n=2m+1（） * mN 2 222 2 22 21 (21)31(21) 4 222 (1) nm kk kkm kkmm m aaamm m 1131 42 22(1)21 mn mn 所以从而 2 2 31 2, 21 n k k k n an 2 2 3 22,3,5,7 2 n k k k nn a 综合（1） （2）可知，对任意,有2n nN 2 2 3 22 2 n k k k n a 证法二：（i）证明：由题设，可得 212222 (1), kkkkkkkk daaq aaaq 所以 2 12221222 (1), kkkkkkkkkk daaq aq aa q q 1kkk dq d 232211 1 2 222222 1 111 kkkkkk k kkkkkkk aadddq q aaq aq aq 由可知。可得， 1 1q 1,* k qkN 1 111 1 1111 k kkkk q qqqq 所以是等差数列，公差为 1。 1 1 k q （ii）证明：因为所以。 12 0,2,aa 121 2daa 所以，从而，。于是，由（i）可知所以是 321 4aad 3 1 2 2 a q a 1 1 1 1q 1 1 k q 公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。 1 1 k q 11kk 1 k k q k 从而。 1 1 k k k dk q dk 所以，由，可得 12 1121 12 . 121 kkk kk ddddkk k ddddkk 1 2d 。2 k dk 于是，由（i）可知 2 212 21 ,2,* kk ak kakkN 以下同证法一。 1717、(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知数列中， . n a 11 1 1, n n aac a （）设，求数列的通项公式； 51 , 22 n n cb a n b （）求使不等式成立的的取值范围 . 1 3 nn aa c 1818、 （本小题满分 12 分）w_w w. k#s5_u.c o*m 已知等差数列的前 3 项和为 6，前 8 项和为-4。 n a （）求数列的通项公式；w_w w. k#s5_u.c o*m n a （）设，求数列的前 n 项和 1* (4)(0,) n nn ba qqnN n b n S 1919、本小题满分 12 分） 已知等差数列满足：，的前n项和为 n a 3 7a 57 26aa n a n S （）求及； n a n S （）令bn=(nN*)，求数列的前n项和 2 1 1 n a n b n T 【解析】 （）设等差数列的公差为 d，因为，所以有 n a 3 7a 57 26aa ，解得， 1 1 27 21026 ad ad 1 3,2ad 所以；=。321)=2n+1 n an（ n S n(n-1) 3n+2 2 2 n +2n （）由（）知，所以2n+1 n a bn=， 2 1 1 n a 2 1 = 2n+1)1（ 11 4 n(n+1) 111 (-) 4n n+1 所以=， n T 111111 (1-+-) 4223n n+1 11 (1-)= 4n+1 n 4(n+1) 即数列的前n项和=。 n b n T n 4(n+1) 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和， 熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 2020、 （本小题满分 13 分） 数列中，是函数的 * () n anN 3222 11 ( )(3)3 32 nnn fxxanxn a x 极小值点 （）当 a=0 时，求通项； n a （）是否存在 a，使数列是等比数列？若存在，求 a 的取值范围；若不存在， n a 请说明理由。 21、 （） 111n 1ln nn 232 nn 证明：（+1）+（1） （+1） 22、 （本小题满分 12 分） 设数列中的每一项都不为 0。 12 , n a aa 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有 n anN 。 1223111 111 nnn n a aa aa aa a 2323、 （本小题满分 16 分） 设各项均为正数的数列的前 n 项和为，已知，数列是公差为 n a n S 312 2aaa n S 的等差数列。d （1）求数列的通项公式（用表示） ； n adn, （2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式cnmknm且3knm, 都成立。求证：的最大值为。 knm cSSSc 2 9 解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分 析及论证的能力。满分 16 分。 （1）由题意知：， 11 (1)(1) n SSndand0d ， 21323213 233()aaaaSSSS 222 111 3()(2 ) ,adaad 化简，得： 22 1111 20,aaddad ad ， 22 (1), nn Sdndnd Sn d 当时，适合情形。2n 22222 1 (1)(21) nnn aSSn dndnd 1n 故所求 2 (21) n and （2） （方法一） ， 恒成立。 222222222 mnk SScSm dn dc k dmnc k 22 2 mn c k 又，nmknm且3 22 2222 2 9 2()()9 2 mn mnmnk k 故，即的最大值为。 9 2 c c 2 9 （方法二）由及，得，。 1 ad 1 (1) n Sand0d 22 n Sn d 于是，对满足题设的，有knm,mn 。 2 222222 ()99 () 222 mnk mn SSmn ddd kS 所以的最大值。c max 9 2 c 另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条 9 2 a k 33 1,1 22 mknkknm, 件，且。 22222222 331 ()(1)(1) (94) 222 mn SSmn ddkkdk 于是，只要，即当时，。 22 942kak 2 29 k a 22 1 2 2 mnk SSdakaS 所以满足条件的，从而。 9 2 c max 9 2 c 因此的最大值为。c 9 2 高考文科数学试卷中的数列题浅析