第2讲 概率、随机变量及其分布列

第2讲概率、随机变量及其分布列,高考定位1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”.随着新一轮课程改革，“数据分析、数据建模”将会不断加大考查力度，概率统计命题将呈现“压轴”的格局.,1.(2019全国卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和“阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(),真题感悟,答案A,2.(2018全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则(),A.p1p2B.p1p3C.p2p3D.p1p2p3,答案A,4.(2019全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.,(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0，1，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1，2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1).假设0.5，0.8.证明：pi1pi(i0，1，2，7)为等比数列；求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.,(1)解X的所有可能取值为1，0，1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1).所以X的分布列为,(2)证明由(1)得a0.4，b0.5，c0.1，因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1).又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0，1，2，7)是公比为4，首项为p1的等比数列.解由可得,1.概率模型公式及相关结论,考点整合,2.独立重复试验与二项分布,3.超几何分布,4.离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量的分布列为,热点一古典概型与几何概型【例1】(1)(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(),(2)(2019雅礼中学模拟)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，在正方形ABCD内随机取一个点Q，则点Q取自阴影部分的概率等于(),答案(1)C(2)D,探究提高1.求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.2.计算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.,【训练1】(1)现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球任意排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为(),热点二条件概率及相互独立事件的概率【例2】(1)(2019全国卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是_.(2)(多填题)(2019长郡中学模拟)如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形OEF(阴影部分)内”，则P(AB)_，P(B|A)_.,解析(1)记事件M为甲队以41获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)0.6(0.620.5220.60.40.522)0.18.,【训练2】(2019全国卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X2)；(2)求事件“X4且甲获胜”的概率.,解(1)X2就是某局双方1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分.因此P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)X4且甲获胜，就是某局双方1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分.因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.,热点三随机变量的分布列、均值与方差角度1超几何分布【例31】(2019天津调研)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.,解(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.,所以，随机变量X的分布列为,【训练3】(2019哈尔滨调研)4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查.各组人数统计如下：,(1)从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；(2)在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X表示抽得甲组学生的人数，求X的分布列和数学期望.,解(1)由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，,(2)由(1)知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2.,则随机变量X的分布列为,角度2二项分布及其均值与方差,(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.,k0，1，2，3.所以，随机变量X的分布列为,由题意知事件X3，Y1与X2，Y0互斥，且事件X3与Y1，事件X2与Y0均相互独立，从而由(1)知P(M)P(X3，Y1X2，Y0)P(X3，Y1)P(X2，Y0)P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0),【训练4】为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”战略的号召，进一步优化能源消费结构，某市决定在地处山区的A县推进光伏发电项目.在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得以下统计表.以样本的频率作为概率.,(1)在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；(2)已知该县某山区自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？,则该自然村年均用电约300500150000度.又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益1500000.8120000元.,热点四概率与统计的综合问题【例4】(2019衡水质检)为了迎接2019年全国文明城市评比，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民有且仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示：,(1)由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(，210)，近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求P(36Z79.5)；(2)在(1)的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：()得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；()每次获赠的随机话费和对应概率为：,解(1)根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，得350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.050.8756.751116.2516.8758.54.7565，,变量X的分布列为：,探究提高1.本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.2.以统计图表为背景的随机变量分布列求解的关键：(1)根据频率(数)分布表、频率分布直分图、茎叶图等图表准确求出随机事件的频率，并用之估计相应概率.(2)出现多个随机变量时，应注意分析随机变量之间的关系，进而由一个随机变量的分布列推出另一个随机变量的分布列.,【训练5】(2019西安模拟)随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表(单位：人).,解(1)由题设，得22列联表：,能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关.,将频率视为概率，所以从我市所有参与调查的市民中任意抽取1人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6.由题意XB(10，0.6)，E(X)100.66，D(X)100.60.42.4.,2.相互独立事件与互斥事件的区别,相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)P(A)P