高中数学第二章解三角形2.3解三角形的实际应用举例测量中的正余定理素材北师大版必修52_第1页
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文档简介

测量中的正、余定理正、余定理在实际生活中有着极其广泛的应用，对经过抽象、概括最终转化为三角形中的边、角问题的实际应用题的求解十分有效，本文谈谈用正、余定理处理测量问题几例；供参考：1、测量距离例1、我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面和处，已知，目标出现于地面处，测得，（如图）若准确炮击该目标，炮弹的落点距我炮兵阵地至少多少？解析：由，得在中，由正弦定理，得同理在中，得又由于，则故炮弹的落点距我炮兵阵地至少；点评：距离问题是测量问题中最为常见的问题之一，常用的测量工具是测角仪及可量长度的绳子；处理的问题多数是无法达到，比如，在河的一边测量出河的宽度、敌阵地与我阵地的距离等，这些问题通常都是转化为三角形问题，通过正、余弦定理获解；2、测量高度例2、如图，AB是立于山顶上的电视塔，现借助升降机CD测量塔高，当在升降机底部C时，测得点A的仰角为、点B的仰角为；当升降机上升10米至D时，测得点A的仰角为，求塔高；解析：在中，得，又，由正弦定理，得，得又在中，由正弦定理，得，得故塔高为米。点评：高度的测量是测量问题中的另一类问题，通过对问题的适当转化，将已知量转化到三角形中，利用正、余弦定理进行求解；3、测量方位例3、在海岸处，发现北偏东方向，距为海里的处有一艘走私船。在处沿北偏西方向，距为海里的处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以海里/小时的速度，从处向北偏西方向逃窜，问缉私船沿什么方向航行，才能最快追上走私船？解析：由已知，得在中，由余弦定理得由，得，从而，因此，缉私船在走私船的正西方向，设小时缉私船追上走私船，由于那么由，得即故缉私船沿北偏东的方向能最快追上走私船。点评：利用正、余弦定理可以求距离，也可以求三角形中的角；当我们面对一个实际应用问题时，可以将方位角转化为三角形的内角，利用正、余弦定理产生结论；4、测量速度例4、某观测站在目标的南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得与相距的公路上有一个人正沿着此公路向走去，走到达，此时测得距离为，若此人从处必须在20分钟内处，求此人的最小速度？解析：由已知得，那么，于是在中，在中，即解得或（舍去），因此，故此人在处距处还有；点评：由于路程、速度、时间三者之间存在差关系，在时间与路程已知的前提下，可以产生速度；因此，可以建立在正、余定理的基础上测量速度；5、综合问题例5、在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，台风中心位于城市（如图）的东偏南方向的海面P处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解析：设小时该城市开始受到台风的侵袭此时由于及故12小时后该城市开始受到台风的侵袭点评：实际问题是多种多样的，求解一个实际问题，不一定就能按我们预先设定的程序进行；因此，综合应用知识的能力非常
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