函数的极值及其求法PPT课件VIP

.,1,第十节函数的极值与最值一、函数的极值及其求法,.,2,定义,使得,有,则称为的一个极大值点(或极小值点),极大值点与极小值点统称为极值点.,极大值与极小值统称为极值.,1)函数的极值是函数的局部性质.,2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点(称为可疑极值点).,称为的一个极大值(或极小值),注意,.,3,函数极值的求法,定理1(函数取得极值的必要条件)(费马定理),定义,注意:,例如,设,在点,处具有导数,且在,处取得极值,则,.,4,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),设,在点,处连续,(1)若,时,而,时,则,在点,处取得极大值;,(2)若,时,而,时,则,在点,处取得极小值;,(3)若,时,的符号相同,则,在点,处无极值.,.,5,求极值的步骤:,(不是极值点情形),.,6,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,.,7,图形如下,.,8,例2,解,.,9,的极值.,解,得驻点,不可导点,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,例3求函数,不存在,.,10,定理3(第二充分条件),证,同理可证(2).,二阶导数,且,则在点取极大值;,则在点取极小值.,设函数f(x)在点x0处具有,.,11,例4,解,图形如下,.,12,注意:,.,13,的极值.,解:,令,得驻点,因,故为极小值;,又,故需用极值的第一充分条件来判别.,例5.求函数,.,14,则,1)当为偶数时,2)当为奇数时,为极值点,且,不是极值点,证,定理4,设f(x)在点x0处具有n阶导数，且,则在点取极大值;,则在点取极小值.,点为拐点。,.,15,故,1)当为偶数时,由极限的保号性,知,又,得,故在点取极大值。,则在点取极小值.,同理可证，,2)当为奇数时,可证在点邻近两,侧异号,故在点不取极值。,.,16,故,当为奇数时,可证在点邻近两侧异号,故点为拐点。,.,17,设,其中a为常数.,证明:,时,f(0)为f(x)的极小值;,时,f(0)为f(x)的极大值.,证,时,f(0)为f(x)的极小值;,时,f(0)为f(x)的极大值;,时,例6,.,18,f(0)为f(x)的极大值.,.,19,函数图形的描绘,步骤:,1.确定函数,的定义域,期性;,2.求,并求出,及,3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;,4.求渐近线;,5.确定某些特殊点,描绘函数图形.,为0和不存在,的点;,并考察其对称性及周,.,20,例7,解,非奇非偶函数,且无对称性.,定义域（-，+）0,.,21,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,.,22,作图,.,23,小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点是可疑极值点.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),.,24,思考与练习,1.设,则在点a处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性.,.,25,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D,提示:利用极限的保号性.,2.设,.,26,是方程,的一个解,若,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,3.设,.,27,设f(x)连续，且f(a)是f(x)的极值，问f2(a)是否是f2(x)的极值.,证,则,得f2(a)是f2(x)的极小值;,不妨设f(a)是f(x)的极小值,有,.,28,由f(x)在x=a处连续，得,f2(a)是f2(x)的极大值.,同理可讨论f(a)是f(x)的极大值的情况.,由极限的保号性,知,由,得