高二数学期末复习之距离与角 新课标 人教版VIP

高二数学期末复习之距离与角高二数学期末复习之距离与角 一一. .典型例题典型例题 例例 1 1：已知是边长为 4 的正方形，、分别是、的中点，垂直于ABCDEFABADGC 所在平面，且，求点到平面的距离。ABCD2GCBEFG 一、直接通过该点求点到平面的距离一、直接通过该点求点到平面的距离 直接作出所求之距离，求其长。直接作出所求之距离，求其长。 解法解法 1 1如图 1，为了作出点到平面的距离，延长交的延长线于， BEFGFECBM 连 结，作，交于，则有，作GMBCBN GMNCGBN /ABCDBN平面 ，交于，易证。作，垂足为，则EMBP EMPEFGBPN平面平面PNBQ Q 。于是是点到平面的距离。易知，EFGBQ平面BQBEFG 3 2 BN2BP ，由得。 3 22 22 BNBPPNBNPBPNBQ 11 112 BQ 不直接作出所求之距离，间接求之不直接作出所求之距离，间接求之 （）利用二面角的平面角 课本第 4 题，第 2 题、第 4 题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、42P46P 到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系” 如图 2，二面角的大NCDM 小为，点到平面的距离， 则有，MACDAB aAB ANdAO sinad 即为二面角的大小，而并不强求要作出经过的二面角的平面角。AB 解法解法 2 2如图 3，过作，交的延长线于，易知，这就是点BEFBP EFP2BP 到二面角的棱的距离。连结交于，连结，易证BGEFCEFACEFHGH 就是二面角的平面角。GHCGEFC ，2GC24AC2AH ，23CH22GH 22 2 sinGHC 。 11 112 22 2 2sinGHCBPd （）利用斜线和平面所成的角 如图 4，为平面的一条斜线，与所成的角为，到平OPOPAlOAOPA 面的距离为，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有。经过与垂直dsinld OP 的平面与相交，交线与所成的锐角即为，这里并不强求要作出点在上的射影OPA ，连结得。BOB 解法解法 3 3如图 5，设为与的延长线的交点，作，为垂足。又MFECBGMBR R ，易得，为它们的交线，所以就是与平面EBGM EFGBER平面平面ERREBEB 所成的角。由可得，在中，EFGMRBMCG 10 2 BRREBRt 0 90B ，所以，于故所求距离为。 10 2 BR2EB 11 11 sin ER BR 11 112 d 解法解法 4 4如图 6，设点到平面的距离为，则三棱锥的体积BEFGdEFGB 。另一方面又可得这个三棱锥的体积，可求得dSV EFG 3 1 CGSV FEB 3 1 ，所以有，解得。2 4 1 DABFEB SS112 EFG S22 3 1 112 3 1 d 11 112 d 二、不经过该点间接确定点到平面的距离二、不经过该点间接确定点到平面的距离 利用直线到平面的距离确定利用直线到平面的距离确定 解法解法 5 5如图 7，易证，所以上任意一点到平面的距离就是点EFGBD平面/BDEFG 到平面的距离由对称思想可知，取中点，求点到平面的距离较简BEFGBDOOEFG 单。交于，交于易证，作，为垂ACEFHBDOEFGGHC平面平面HGOK K 足，为所求之距离。 11 112 OK 利用平行平面间的距离确定利用平行平面间的距离确定 如图 8，把平面补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面EFG 之间的位置关系更加明朗面是正四棱柱经过、的截面GMT 111 GDBAABCDFEG 所在的平面。交于，交于，作，交于，连结，MG 1 BBNTG 1 DDQMGBP/CGPDP 则有它们之间的距离就是所求之距离于是可以把点平移到平PDBGTM平面平面/B 面上任何一个位置，哪里方便就在哪里求。PDB 这两个平行平面的距离又同三棱柱的体积有关，所以也可以利用三棱dPDBGQN 柱的体积确定所求之距离据此可得解法 解法解法 6 6三棱柱的体积，另一方面又有，可求得PDBGQN dSV PDB BNSV CDB ，所以 3 2 BN 3 4 CP 3 104 PDPB24BD 3 118 PDB S8 CDB S 3 2 8 3 118 d 解得为所求之距离。 11 112 d 例例 2 2在正四面体 ABCD 中，E、F 分别为 AD、BC 的中点，求异面直线 AF、CE 所成角的大小。 分析：分析：求异面直线所成的角，可通过过某一点作异面直线的平行线，转化为求相交直线所 成的角。这里因为 E 为 AD 的中点，故可取 FD 的中点 G，由三角形的中位线定理知 EG/AF，从而求 AF、CE 所成的角。 解：解：如图 1，连 DF，取 DF 的中点 G，连 GE、GC，E 为 AD 的中点， EG/AF， GEC 即为 AF、CE 所成的角。 设正四面体的棱长为 a, 则 CE=AF=DF=a, 2 3 EG=FG=a,在 RtGFC 中,CG=a. 4 3 22 FCFG 4 7 在 ECG 中，由余弦定理可得：cosGEC=, ECGE GCECGE 2 222 3 2 GEC=arccos，即异面直线 AF、CE 所成的角为 arccos。 3 2 3 2 例例 3 3已知平面 平面 。且 =AB，直线 AC、AD 分别在平面 和 内， BAC=45，BAD=60，且 CDAB。求：直线 AB 与平面 ACD 所成的角。 解：解：如图 2，过 C 作 CEAB 于 E，连接 DE。 平面 平面 ，CDAB，由三垂线定理的逆定理可知：DEAB，AB平面 CDE。 过 E 作 EFCD 于 F，连接 AF，ABCD，CD平面 AEF 又 CD平面 ACD，平面 ACD平面 AEF， 过 E 作 EHAF 于 H，则 EH平面 ACD，设 AE=1， CAE=45， CE=1， ADE=60，DE=，CD=2，3 EF=， 在 RtAEF 中，tgEAF=, CD DECE 2 3 AE EF 2 3 EAF=arctg. 2 3 即直线 AB 与平面 ACD 所成的角为 arctg 2 3 例例 4 4在直角梯形 ABCD 中，AD/BC，A=90，AD=AB=1，BC=2，将 ABD 沿 BD 折叠， 与平面 BCD 成 120的二面角，试求折叠后：（1）A 和 C 的距离；（2）求 AC 与 BD 所 成角的正切值 解：解：（1）如图 6，作 AEBD 于 E，在平面 BCD 内作 EGBD，CG/BD，EG、CG 交于 G，则AEG 为二面角 A-BD-C 的平面角， AEG=120，而 AE=，EG=， 2 2 2 在 AEG 中，由余弦定理，得：AG2=()2+()2-2cos120=. 2 2 2 2 2 2 2 7 又 BDAE，BDEG，BD平面 AEG，CG/BD， CG平面 AEG， CGAG，在 RtACG 中， AC=2，故 A 和 C 的距离为 2。 22 CGAG 2 1 2 7 （2）由 CG/BD 得ACG 为 AC 与 BD 所成的角，在 RtACG 中，tgACG= CG AG 2 1 2 7 .7 故 AC 与 BD 所成角的正切值为。7 二二. .巩固练习巩固练习 (一)选择题 1二面角的大小为，直线，且，与不相交且所成角lablab 为，则（ B ） A B 当时，当时， 0 90 0 90 C D 与的大小不能确定 2已知，到的距离为，则在平面内与直线的距离等于的直线/aa0ddad2 有（ C ）b A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 无数条 3已知长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线 BC1和平面 DBB1D1所成角的正 弦值等于（ C） A、 B、 C、 D、 2 3 2 5 5 10 10 10 4已知 ABC 中，AB=2，BC=4，ABC=45，BC 在平面 内，ABC 所在平面与平面 成 30角，则 ABC 在平面 内的射影面积是（ D） A、 B、3 C、2 D、 2 6 666 5所在平面，在直线上的射影为，若点在线段的延长线上，ABCPAPBCMMBC 则满足（D ）ABC A 为钝角或为直角 B 为直角 BCA C 为钝角 D 为钝角或为钝角ABC 6边长为的正四面体，是棱的中点，则与底面所成角的正弦aBCDAMABCMBCD 值为（ D ） A B C D 2 1 2 3 3 22 3 2 7为平行四边形，以为边将翻折；若翻折前、ABCDBCAC 0 45BACABC 翻折后与平面分别夹、角，则、间的距离之比是（ C ）ACD 0 90 0 60BD A B C D 2:3:53:2:52:3:53:2:5 8已知、是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，则直线PAPBPCP 0 60 与平面所成角的余弦值是（ D ）PCPAB A B C D 2 1 2 2 2 3 3 3 9已知、分别是平面的垂线和斜线，在平面内过引一条直线，若AOABPPBBC 与平面成角，与成角，与成角，且知，ABPBCOBBCAB 0 30 4 3 cos 则角应为（ A ） A B C D 以上均不对 0 30 0 45 0 60 10 （2002 年全国）正六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为 1，侧棱长为，则这个2 棱柱的侧面对角线 E1D 与 BC1所成的角是（ ） 。 A、90 B、60 C、45 D、30 解：解：应选 B。 评注：评注：本题是考查异面直线所成的角。可画一个图形不难看出侧面对角线 E1D 所在平面 EDD1E1与平面 ABB1A1平行。即 A1B/E1D，那么A1BC1就是所求两直线成的角。算出 A1B=BC1=A1C1=， A1BC1=60。3 (二)填空题 11 （2000 年全国）如图，E、F 分别为正方体面 ADD1A1、面 BCC1B1的中点，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是_。 （要求：把可能的图的序号都填上） 。 解：解：在面 A1ADD1和面 B1BCC1上的射影是，在其余面上的射影均为，应选。 12 （2002 年北京）关于直角 AOB 在定平面内的射影有如下判断：可能是 0的角；可 能是锐角；可能是直角；可能是钝角；可能是 180的角。其中正确判断的序号是 _。 （注：把你认为正确判断的序号都填上） 。 解：解：应填。 评注：评注：本题考查空间想象能力。 这里画一图形供参考：在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AOB=90。 直角 AOB 在面 AA1C1C 内的射影是 0 直角 AOB 在面 A1BC1内的射影是锐角 直角 AOB 在面 A1C1内的射影是直角 直角 AOB 在面 ABC1D1内的射影是钝角 直角 AOB 在面 DCC1D1内的射影是 180角 ( (三三) )解答题解答题 13.13.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AD 上的点，已知 AB=4，CD=20，EF=7，。求异面直线 AB 与 CD 所成的角。 3 1 EC BE FD AF 解：解：在 BD 上取一点 G，使得=，连结 EG、FG GD BG 3 1 在 BCD 中，故 EG/CD，并且， GD BG EC BE 4 1 BC BE CD EG 所以，EG=5；类似地，可证 FG/AB，且， 4 3 AD DF AB FG 故 FG=3，在 EFG 中，利用余弦定理可得 cosFGE=-，故FGE=120。 532 753 2 222222 GFEG EFGFEG 2 1 另一方面，由前所得 EG/CD，FG/AB，所以 EG 与 FG 所成的锐角等于 AB 与 CD 所成的角， 于是 AB 与 CD 所成的角等于 60。 1414如图，斜三棱柱 ABC-ABC的底面为一等腰直角三角形，直角边 AB=AC=2cm，侧棱与 底面成 60角，BCAC，BC=2cm。求 BC与底面所成的角。6 分析：分析：本题的关键是找 BC在底面 ABC 上的射影。换句话说，只要找出 C在底面上的射影 位置。 由 ACAB，ACBC，知 AC平面 BCA， 平面 BCA平面 ABC。故 AC在底面 ABC 上的射影即为 AB 所在直线。 过 C作 COAB 交 AB 延长线于 O 点，连 CO，则CBO,CCO 分别是 BC、CC与底 面所成的角， CCO=60，令 CO=x, 则 CO=AO=。 3 x 22 ACCO 4 3 2 x 在 CBO 中，(2+)2+x2=(2)2，得 x=cm, x=2cm(舍4 3 2 x 6156 去) sinCBO=, BC与底面所成的角是 arcsin. 4 10 4 10 1515如图所示，在四棱锥 M-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABCD 的边长为 a，MD面 ABCD，MD=，BAD=60，求 MA 与 BD 之间的距离。 2 a 解：解：如图所示：设点 E 为 MC 的中点，BD 与 AC 的交点为 O，则 ACM 中，OE 为一条中位线， 所以，OE/AM，从而 AM/面 BDE。这样，我们将异面直线 AM 与 BD 的距离转为求直线 AM 与 平面 BDE 的距离，即求点 M 到面 BDE 的距离，也就是点 M 到面 ODE 的距离。 在四面体 M-ODE 中，OE=AM，DE=CM，所以 OE=DE=a， 2 1 2 1 22 ) 2 ( 2 1a a 4 5 取 OD 的中点 F，则 EFOD，所以， EF=a, 22 ) 2 (ODOE 22 16 1 16 5 a