高二数学椭圆（二）人教版知识精讲

高二数学高二数学椭圆（二）椭圆（二）人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 椭圆二 二. 重点、难点： 1. 椭圆的参数方程1 2 2 2 2 b y a x （为参数） sin cos by ax 2. 椭圆的第二定义 到 F（c，0）的距离和到直线 ：的距离之比为常数（）的点的l c a x 2 a c 0 ca 轨迹为。1 2 2 2 2 b y a x 3. 焦半径 P（，）在椭圆上，F1（，0）、F2（，0）为焦点 0 x 0 y1 2 2 2 2 b y a x cc 02 01 exaPF exaPF 【典型例题典型例题】 例 1 点 P 在圆上运动，点 Q 在椭圆上运动，求最 4 1 )2( 22 yx44 22 yxPQ 大值。 解：解： 圆心 A（0，2） Q（，）cos2sin 8sin4sin3)2(sin)cos2( 222 2 AQ 3 28 ) 3 2 (sin3 2 21 3 2 3 28 max QA 2 1 21 3 2 max PQ 例 2 已知椭圆内部一点 A（4，）过 A 作弦 PQ，使 A 恰为 PQ 中点，M 为1 1040 22 yx 1 椭圆上任一点，求的最大值。 MPQ S 解：解： 中点弦公式 ： PQ l05 yx24 05 1 1040 22 PQ yx yx 设 M（，）cos40sin10 2/5sin10cos40),(lMd5)sin(50 2 2 1)sin(2 2 5 5 max d ) 12(10)2 2 5 5(24 2 1 max S 例 3 椭圆上有不同三点 A（，）B（4，）C（，）与焦点1 925 22 yx 1 x 1 y 5 9 2 x 2 y F（4，0）的距离成等差数列。 （1）求证：8 21 xx （2）若 AC 的垂直平分线与轴交于 T，求x BT k 解：解： A、B、C 到右准线成等差数列 )4(2)()( 2 2 2 1 2 c a x c a x c a AC 中点（4，） AC 中垂线：8 21 xx 2 21 yy )4( 2 21 2121 x yy xxyy y 令 T（，0）0y4 )(2 21 2 2 2 1 xx yy x4 )(2 21 2 2 2 1 xx yy A、C 在椭圆上 T（，0）)( 25 9 2 2 2 1 2 2 2 1 xxyy 25 64 4 5 BT k 例 4 椭圆 C：，定点 A（，2）F 为左焦点，P 为椭圆上一点，求1 1625 22 yx 2 3 5 PA 的最小值。PF 解：解： 5 3 e 5 3 ),( lPd PF PFlPd 3 5 ),( P（）),( 3 5 lPdPAPFPA 3 19 ),(lAd2,3 2 5 例 5 P 为椭圆上一点，且 PF1PF2，求 P。1 925 22 yx ) 4 9 ,7 4 5 ( 16 1 925 22 22 P yx yx 2 2 2 2 1 4cPFPF64) 5 4 5() 5 4 5( 2 0 2 0 xx7 4 5 0 x 例 6 P 为椭圆（）上一点，F1、F2为焦点，求的最值，1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 21 PFPF 及相应的 P 点坐标。 解：解： 设 P（，） F1（，0） F2（，0） 0 x 0 ycc 01 exaPF 02 exaPF 2 0 22 21 xeaPFPF 时， 此时 P（0，）0 0 x 2 max 21 aPFPFb 时， 此时 P（，0）ax 0 2 min 21 bPFPFa 例 7 P、Q 为椭圆上两点，O 为原点，求证：1 416 22 yx 4 1 OQOP kk 20 22 OQOP 解：解： P（，）Q（，）cos4sin2cos4sin2 4 1 OQOP kk 4 1 coscos16 sinsin4 即 0sinsincoscos0)cos( 2 2 k 20)sin(sin4)cos(cos16 2222 22 OQOP 例 8 过椭圆的左焦点 F 作直线 交椭圆于 P、Q，F2为右焦点，求1 34 22 yx l 的最值。 22 QFPF 解：解： 直线为参数 P、Q 为 与椭圆交点l sin0 cos1 ty tx l 1 3 )sin( 4 )cos1( 22 tt 2 21 cos4 cos6 tt 2 21 cos4 9 tt )4()4( 1122 QFPFQFPFz 1111 )(416QFPFQFPF 2121 416tttt 222 cos4 39 16 cos4 9 cos4 12 416 时， 时，1cos23 min z0cos2 4 25 max z 例 9 椭圆（）与直线交于 P、Q 且 OPOQ（O 为原1 2 2 2 2 b y a x 0 ba01 yx 点） （1）求证：为定值 22 11 ba （2）若求，长轴的取值范围 2 2 , 3 3 e 解：解： （1）0)1 (2)( 01 1 222222 2 2 2 2 baxaxba yx b y a x 01 22 ba 0 )1 ( 2 2121 22 22 21 22 2 21 yyxx ba ba xx OQOP ba a xx 2222 2baba2 11 22 ba （2） a c e 2222 eaab)1 (22 222 eae )1 (2 1 2 1 2 2 e a 2 2 , 3 3 e6,52 a 例 10 P 为上一点，P 到两焦点的距离立方和为 298，求 P。1 925 22 xx 解：解： 02 01 eyaPF eyaPF 298) 5 4 5() 5 4 5( 3 0 3 0 yy 四解 2 10 0 y 10 109 0 x 【模拟试题模拟试题】 1. 椭圆1 的焦距为 2，则（ ） 4 22 y m x m A. 5 B. 8 C. 5 或 3 D. 20 2. P 为椭圆上一点，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的 2 倍，则 P1 1625 22 yx 点坐标为（ ） A.（1，） B.（，） C.（1，） 6 9 8 9 25 14 9 8 6 9 8 D.（，） 9 25 14 9 8 3. 为使与椭圆有两个公共点，m 的取值范围是（ ）mxy1 25144 22 yx A.（，） B.（，） C.（，） D.（，）55121213131515 4. 椭圆（）的焦点为（ ）0 22 mnnymx0 nm A.（0，） B.（，0） nmnm C.（0，） D.（，0）mn mn 5. 椭圆焦点为 F1（0，），F2（0，2）P 为椭圆上一点，且是的2 21F F 21 PFPF 等差中项，则椭圆方程为（ ） A. B. 1 6412 22 yx 1 1216 22 yx C. D. 1 1216 22 xy 1 124 22 yx 6. 过椭圆的焦点 F1的直线交椭圆于 A、B 两点，F2为另一焦点，则44 22 yx 的周长是（ ） 2 ABF A. 6 B. 8 C. 4 D. 7 7. 若椭圆的两焦点和短轴两端点构成正方形，则它的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 2 2 1 2 3 3 1 8. 从椭圆（）上一点 M，向轴作垂线，垂足为左焦点 F1，且1 2 2 2 2 b y a x 0 bax 它的长轴端点 A 及短轴端点 B，连线 ABOM。 （1）求离心率 （2）P 为椭圆上一点，PF2AB 交椭圆于 Q，若，求椭圆方程320 1 PQF S 9. AB 为椭圆（）的中心的弦，为左焦点，求1 2 2 2 2 b y a x 0 ba)0,( 1 cF 的最大值及相交。 BAF S 1 AB l 试题答案试题答案 1. C 2. D 3. C 4. C 5. C 6. B 7. A 8. 解： （1）M（，） OMABc a 2 b ac b kOM 2 a b kAB a b ac b 2 cb 2 2 e 由（1）椭圆