高二数学理专题三：直线与曲线人教版知识精讲VIP

高二数学理高二数学理专题三：直线与曲线专题三：直线与曲线人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 专题三：直线与曲线 二. 重点、难点： 直线与曲线的位置关系一直是高考热点。尤其是解答题更是以它为主要素材，这类问 题常涉及圆锥曲线的定义，性质的运用和直线的基本知识点，线段的中点、弦长、平行垂 直的问题，因此分析常利用数形结合的思想、函数、方程的思想。等价转化的思想。 【典型例题典型例题】 例 1 设 A、B 是双曲线1 2 2 2 y x上的两点，点 N（1，2）为 AB 中点。 （1）求直线 AB； （2）若 AB 的垂直平分线交双曲线于 C、D 两点，那么 A、B、C、D 是否四点共圆？ 为什么？ 解：解： （1）设 A（ 1 x， 1 y） ，B（ 2 x， 2 y） 1 2 1 2 2 22 2 2 12 1 y x y x )()(2 21212121 yyyyxxxx 1 AB k AB l：) 1(2xy 01 yx （2）)4,3()0,1( 1 2 1 2 2 BA y x xy AB l中垂线：) 1(2xy 即：3xy 22 3 22 yx xy 526 523 y x 或 526 523 y x CD 中点 M（3，6） 40MDMCMBMA A、B、C、D 四点共圆。 例 2 已知椭圆1 7 3 22 yx及点 P（1，0）过 P 的直线l交y轴于 Q，交椭圆于 A、B，AP 在线段 BQ 上，且BPAQ ，求l。 解：解： 设l的方程：) 1( xky 07714)37( 0 1 7 3 2222 22 kxkxk kykx yx 设两根为 1 x， 2 x BPAQ APBPAPAQ ABPQ 37 77 4) 37 14 (11 2 2 2 2 2 2 21 2 k k k k kxxkAB 0111 22 kxxkPQ QP PQAB 7 105 k l：) 1( 7 105 xy 例 3 矩形 ABCD 顶点 A、B 在直线mxy 2上，C、D 在抛物线xy4 2 上，矩形外 接圆为04 22 tyxyx。 （1）求 ABCD 对角线交点 M 的坐标； （2）求 ABCD 的边长及 m、t 的值。 解：解： （1） 4 17 )2() 2 1 ( 22 tyx M（ 2 1 ，2） （2） ABCD CD l：nxy 2 022 4 2 2 2 nyy xy nxy CD 中点 N（ 22 1n ，1） MNCD 1 CDMN kk 2 1 2 1 22 1 21 n 4n N（ 2 5 ，1） N 关于 M 对称点 N （ 2 3 ，3）在 AB l上 6m 5311 21 2 xxkCD 522MNAB 4 65 ) 2 () 2 ( 222 ABCD r 4 65 4 17 t 12t 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：90 分钟） 一. 选择题： 1. 直线23 yx的倾斜角是（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 2. 椭圆132 22 yx的焦点坐标是（ ） A.（0，1） （0，1） B.（1，0） ， （1，0） C.（0， 6 6 ） ， （0， 6 6 ）D.（ 6 6 ，0） ， （ 6 6 ，0） 3. 双曲线33 22 yx的渐近线方程是（ ） A. xy3 B. xy 3 1 C. xy3 D. xy 3 3 4. 在下列不等式中，与不等式0 2 3 x x 同解的是（ ） A. 0)2)(3(xxB. 0)2lg(x C. 0 3 2 x x D. 0)2)(3(xx 5. 如果不等式2 1 x 和 3 1 x同时成立，那么x满足（ ） A. 2 1 3 1 x B. 2 1 x或 3 1 x C. 2 1 x D. 3 1 x或 3 1 x 6. 直线2cossintytx与圆2 22 yx的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 以上都有可能 7. 已知 p 是抛物线xy16 2 上的一点，它到 x 轴的距离是 12，则 p 点到该抛物线的焦 点的距离是（ ） A. 13 B. 12 C. 17 D. 16 8. 若椭圆两焦点为 F1（4，0） ，F2（4，0） ，点 P 在椭圆上，且 21F PF的面积最大值 为 12，则此椭圆的准线方程是（ ） A. 4 9 y B. 4 25 y C. 4 9 x D. 4 25 x 9. 如果不等式ax1成立的充分条件是40 x，则a的取值范围是（ ） A. 1a B. 3a C. 1a D. 3a 10. 圆024 22 cyxyx与y轴交于 A，B 两点，圆心为 P，若90APB， 则c的值是（ ） A. 3 B. 3 C. 225 D. 22 11. 过抛物线yx4 2 的焦点作直线交抛物线于 A（ 1 x， 1 y） ，B（ 2 x， 2 y）两点，若 6 21 yy，则 AB 的中点到 y 轴的距离为（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 12. 已知变量x，y满足 02553 034 1 yx yx x 则12yxz的最大值是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二. 填空题： 13. 顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（3，2）的抛物线方程是 14. 函数1 1 1 )( x xxf（1x）的最小值是 15. 已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的离心率为 3，则双曲线1 2 2 2 2 a x b y 的离心率为 16. 已知三个不等式： 0ab； b d a c ， adbc ，以其中两个作为条件，余 下一个作结论，则可组成 个正确命题。 三. 解答题： 17. 解不等式 1 4 4 x x 18. 如果双曲线1 3664 22 yx 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 8，求点 P 到左准线的距 离。 19. 已知圆 C 过定点 A（0，a） （0a） ，且在x轴上截得的弦 MN 的长为a2。 （1）求圆 C 的圆心的轨迹方程； （2）若圆 C 的圆心的轨迹与直线1 xy相交弦长为62，求a的值。 20. 某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦每千克为a元，二等小麦每千克为b（ ab ）元，现有一等小麦x千克，二等小麦y千克，若以两种价格的平均数收购，是否 公平合理？证明你的结论。 21. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点x在轴上，一条准线的方程是1x，倾斜角为 4 的直线l交椭圆 C 于 A、B 两点，且线段 AB 的中点为（ 2 1 ， 4 1 ） 。 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 P、Q 为椭圆 C 上的两点，O 为原点，且满足 4 322 OQOP，求证：直 线 OP 和 OQ 的斜率之积的绝对值 OQOP kk为定值。 【试题答案试题答案】 一. 1. C 2. D 3. C 4. B 5. B 6. A 7. A 8. D 9. B 10. A 11. D 12. C 二. 13. xy 3 4 2 14. 4 15. 4 23 16. 3 三. 17. 解： 移项通分得：0 1 4)4)(1( x xx 0 1 5 2 x xx 0) 1)(5(xxx 0x 0) 1)(5(xx且0x 51 x 不等式的解集为15|xx或51 x 18. 解： 由双曲线方程知8a，6b 10 22 bac 由双曲线的第一定义知aPFPF2 21 即1681 1 PF 24 1 PF 设 P 到左准线的距离为d，由双曲线的第二定义得： a c d PF 1 8 1024 d 5 96 d 19. 解： （1）设圆 C 的圆心坐标为 C（x，y） 半径为r，则 2 22 22 )( yar ayxACr 消去r得： 2222 )(yaayx ayx2 2 为所求的轨迹方程 （2）由 ayx xy 2 1 2 得022 2 aaxx 084)2(44 22 aaaa 设两个交点坐标为（ 1 x， 1 y） （ 2 x， 2 y）则axx2 21 ，axx2 21 由62)()( 2 21 2 21 yyxx得62)(2 2 21 xx 124)( 21 2 21 xxxx，1284 2 aa 1a或3a（舍去） 所求a值为 1 y x A C MN0 20. 解： 若以两种价格的平均数收购，则收购站应付款)( 2 (yx ba 元，分等级收购时应付 款为byax 元，下面比较两个款数的大小 2 22 2 )( )( aybxbyaxbyaxyxba byax )( 2 1 2 )()( 2 yxba ybaxbaaybxbyax ab 0ba 当yx 时，0)( 2 1 yxba 当yx 时，0)( 2 1 yxba 当yx 时，0)( 2 1 yxba 当yx 时，就公平合理，否则就不合理 21. 解： （1）设椭圆 C 的方程为1 2 2 2 2 b y a x （0 ba） 直线l的方程为l： 2 1 4 1 xy 即 4 3 xy 由 222222 4 3 bayaxb xy 得0 16 9 2 3 )( 2222222 baaxaxba 设 A（ 1 x， 1 y） ，B（ 2 x， 2 y）则1 )(2 3 22 2 21 ba a xx 22 2ba 由准线方程得1 2 c a 又 222 cba 解得 2 1 2 a， 4 1 2 b 椭圆 C 的方程为142 22 yx （2）设 P（ 3 x， 3 y） 、Q（ 4 x， 4 y）则有142 2 3 2 3 yx，142 2 4 2 4 yx 两式相加得2)(4)(2 2 4 2 3