高二数学组合人教版知识精讲VIP

高二数学高二数学组合组合人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 组合 二. 教学重、难点： 1. 组合、组合数 2.（1） ! ) 1()2)(1( m mnnnn A A C m m m nm n （2） )!( ! ! mnm n C m n 3. 性质： （1） mn n m n CC （2） 1 1 m n m n m n CCC 【典型例题典型例题】 例 1 求证： 1 1 k n k n nCkC 证明：证明：左 k n Ck ! ) 1()2)(1( k knnnn k )!1( ) 1()2)(1( k knnnn )!1( 1) 1() 1()2)(1( k knnn n 右 1 1 k n Cn 原式成立 例 2 求证： 1 1 m n m n C mn m C 证明：证明： )!( ! ! mnm n C m n 右边 )!( ! ! )!1)( ! )!1( 1 mnm n mnmn n m m 1 1 m n m n C mn m C 例 3 计算：（1） 2 100 2 5 2 4 2 3 CCCC （2） 2 100 2 5 2 4 2 3 AAAA 解：解： （1） 2 100 2 5 2 4 2 3 CCCC 3 3 2 100 2 5 2 4 2 3 3 3 )(CCCCCC 3 3 2 100 2 5 2 4 3 4 )(CCCCC 166649 3 3 3 101 CC （2） 2 100 2 5 2 4 2 3 AAAA 3332981666492)( 2 100 2 4 2 3 2 2 CCCA 例 4 高二（1）班共有 35 名同学，其中男生 20 名，女生 15 名，今从中取出 3 名同学参 加活动。 （1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？ （2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？ （3）恰有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？ （4）至少有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？ （5）至多有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？ 解：解： （1）从余下的 34 名学生中，选取 2 名有（种）561 2 34 C 答：答：不同的取法有 561 种。 （2）从 34 名可选学生中，选取 3 名，有种，或者（种） 3 34 C5984 3 34 2 34 3 35 CCC 答：答：不同的取法有 5984 种。 （3）从 20 名男生中选取 1 名，从 15 名女生中选取 2 名，有（种）2100 2 15 1 20 CC 答：答：不同的取法有 2100 种。 （4）选取 2 名女生有种，选取 3 名女生有种，共有选取方式 2 15 1 20C C 3 15 C （种）25554552100 3 15 2 15 1 20 CCCN 答：答：不同的取法有 2555 种。 （5）选取 3 名的总数有，因此选取方式共有 3 35 C （种）60904556545 3 15 3 35 CCN 答：答：不同的取法有 6090 种。 例 5 10 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出 4 只，试求各有多少种情况 出现如下结果： （1）4 只鞋子没有成双的； （2）4 只鞋子恰成两双； （3）4 只鞋子中有 2 只成双，另 2 只不成双。 解：解： （1）从 10 双鞋子中选取 4 双，有种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有 2 4 10 C 种取法。根据乘法原理。选取种数为（种）336024 4 10 CN 答：答：有 3360 种不同取法。 （2）从 10 双鞋子中选取 2 双有种取法。即有 45 种不同取法。 2 10 C 答：答：有 45 种不同取法。 （3）解法一：解法一：先选取一双有种选法，再从 9 双鞋中选取 2 双有种选法，每双 1 10 C 2 9 C 鞋只取一只各有 2 种取法。根据乘法原理，不同取法为（种）114022 2 9 1 10 CCN 解法二：解法二：先选取一双鞋子有种选法，再从 18 只鞋子中选取 2 只鞋有种，而其 1 10 C 2 18 C 中成双的可能性有 9 种，根据乘法原理，不同取法为（种）1140)9( 2 18 1 10 CCN 答：答：有 1140 种不同取法。 例 6 某出版社的 11 名工人中，有 5 人只会排版，4 人只会印刷，还有 2 人既会排版又会 印刷。现从这 11 人中选出 4 人排版、4 人印刷，有几种不同的选法？ 解：解：设排版，B=印刷，如图。A 对中的四人进行分类。AB （1）4 人全部选出，此时完成这件事还需从其余 7 人中选出 2 人排版。这相当于从 4 人中选出 4 人印刷，从 7 人中选出 4 人制版，故有种选法。35 4 7 4 4 CC （2）4 人中选出 3 人，此时还需从中选出一人去印刷，然后再从剩下的 6 人中BA 选出 4 人制版，故有种取法。120 4 6 1 2 3 4 CCC （3）4 人中选出 2 人，此时还需从中选出两人去印刷，然后再从中选出BABA 4 人制版，故有种取法。30 4 5 2 2 2 4 CCC 根据分类计数原理，共有 35+120+30=185 种不同的选法。 例 7 有 6 本不同的书。 （1）分给甲、乙、丙三人，如果每人得 2 本有多少种方法？ （2）分给甲、乙、丙三人，如果甲得 1 本，乙得 2 本，丙得 3 本，有多少种分法？ （3）分给甲、乙、丙三人，如果 1 人得 1 本，1 人得 2 本，1 人得 3 本，有多少种分 法？ （4）分成三堆，其中一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，有多少种分法？ （5）平均分成三堆，有多少种分法？ （6）分成四堆，其中 2 堆各 1 本，2 堆各 2 本，有多少种分法？ （7）分给 4 人，其中 2 人各 1 本，2 人各 2 本，有多少种分法？ 解：解： （1）甲先取 2 本有种方法，乙再从余下的 4 本书中取 2 本有种方法，丙取最 2 6 C 2 4 C 后 2 本书有种方法。因此总共有种方法。 2 2 C90 2 2 2 4 2 6 CCC （2）同（1）有种分法。60 3 3 2 5 1 6 CCC （3）三人中没有指明谁是甲、乙、丙，而三人中谁是甲、乙、丙可有种方法，所 3 3 A 以共有种分法。360 3 3 3 3 2 5 1 6 ACCC （4）同（2）有种分法。60 3 3 2 5 1 6 CCC （5）同（2）有种分法，下面对其正确性进行研究：设六 2 2 2 4 2 6 CCCfedcba, 本书，则中有可能为可能为可能为，即有一分堆方法： 2 6 C 2 4 ,Cba 2 2 ,Cdcfe, ；同时中也有可能的中可能为可能为，显然这种分fedcba, 2 6 C 2 4 ,Cdc 2 2 ,Cfeba, 组方法同上，故种方法中有重复，应剔除，注意到的所有排列 2 6 C 2 2 2 4 CC fedcba, 只对应一种分堆方法，故分堆方法应为种方法。15 3 3 2 2 2 4 2 6 A CCC 本题还可用下面的方法处理： 设每堆 2 本的分法为。分给甲、乙、丙每人两本，则可分步进行，先平均分成 3 堆，x 有种方法，再将 3 堆不同的书送给 3 位同学，有种方法，所以，x 3 3 A 2 2 2 4 2 6 3 3 CCCAx 所以。15x （6）同（5） ，同种方法。45 2 2 2 2 2 2 2 4 1 5 1 6 AA CCCC （7）同（5） （6） ，有种方法。1080 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 1 5 1 6 A AA CCCC 例 8 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？ （2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？ （3） （1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ （4） （1）中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？ 解：解： （1）分步完成：第一步在 4 个偶数中取 3 个，可有种情况； 3 4 C 第二步在 5 个奇数中取 4 个，可有种情况； 4 5 C 第三步对 3 个偶数，4 个奇数进行排列，可有种情况； 7 7 A 所以符合题意的七位数有（个）100800 7 7 4 5 3 4 ACC （2）上述七位数中，3 个偶数排在一起的有（个）14400 3 3 5 5 4 5 3 4 AACC （3）上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一起的有 （个）5760 2 2 4 5 3 4 2 2 4 4 3 3 4 5 3 4 AAAAAACC （4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 个奇数排好，再将 3 个偶数分别插入 5 个空当，共有（个）28800 3 5 4 4 4 5 3 4 AACC 例 9 用 0，1，2，3，9 这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶 数数字的五位数有多少个？ 解法一：解法一：考虑 0 的特殊要求，如果对 0 不加限制，应有种，其中 0 居首位的 5 5 2 5 3 5 ACC 有种，故符合条件的五位数共有个。 3 5 C 4 4 1 4A C11040 4 4 1 4 3 5 5 5 2 5 3 5 ACCACC 解法二：解法二：按元素分类：奇数字有 1，3，5，7，9；偶数字有 0，2，4，6，8。 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类： 不含 0 的； 含 0 的。 不含 0 的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有个； 5 5 2 4 3 5 ACC 含 0 的：这时 0 只能排在除首位以外的四个数位上，有种排法，再选三个奇数 1 4 A 数字与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有种排法。 1 4 4 4 1 4 3 5 AACC 综合和，由分类计数原理得符合条件的五位数共有 11040 个。 1 4 4 4 1 4 3 5 5 5 2 4 3 5 AACCACC 【模拟试题模拟试题】 一. 选择： 1. 若，则等于（ ） 3 1010 CC m m A. 3 B. 7 C. 10 D. 3 或 7 2. 已知、，且，则、的关系是（ ）x * Ny y n x n CCxy A. B. yx xny C. 或D. yx nyxyx 3. 假设在 200 件产品中有 3 件是次品，现在从中任意抽取 5 件，其中至少有 2 件次品的 抽法有（ ） A. B. 2 197 3 3 3 197 2 3 CCCC 3 198 2 3 CC C. D. 5 197 5 200 CC 4 197 1 3 5 200 CCC 4. 从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一 人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A. 300 种 B. 240 种 C. 144 种 D. 96 种 5. 在由数字 1，2，3，4，5 组成的所有没有重复数字的五位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有（ ） A. 56 个 B. 57 个 C. 58 个 D. 60 个 6. 四个不同的球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有（ ） A. 288 B. 144 C. 96 D. 24 二. 解答题： 1. 平面上有 9 个点，其中有 4 个点共线，除此外无 3 点共线。 （1）经过这 9 个点可确定多少条直线？ （2）以这 9 个点为顶点，可确定多少个三角形？ （3）以这 9 个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 2. 小李有 10 个朋友，其中两人是夫妻，他准备邀请其中 4 人到家中吃饭，这对夫妻或 者都邀请，或者都不邀请，有几种请客方法？ 3. 求证： 1 121 n mn n mn n n n n n n CCCCC 参考答案参考答案 http/ 一. 1. D 2. C 3. A 4. B 5. C 6. B 二. 1. 解法一：（直接法） （1）可确定直线（条）31 2 5 1 5 1 4 4 4 CCCC （2）可确定三角形（个）80 3 5 2 5 1 4 1 5 2 4 CCCCC （3）可确定四边形（个）105 4 5 3 5 1 4 2 5 2 4 CCCCC 解法二：（间接法） （1）可确定直线（条）311 2 4 2 9 CC （2）可确定三角形（个）80 3 4 3 9 CC （3）可确定四边形（个）105 1