高考数学 专题训练 圆锥曲线 椭圆 新人教A版VIP

椭圆1、已知椭圆上的动点到焦点距离的最小值为。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（）求椭圆的方程；（）若过点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，为椭圆上一点， 且满足（为坐标原点）。当 时，求实数的值解：（）由题意知；又因为，所以，故椭圆的方程为3分（）设直线的方程为，由得5分，又由，得， 7分可得 8分又由，得，则，10分故，即，得，即 12分 2、在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点,且. （）求直线与交点的轨迹的方程； （）已知点()是轨迹上的定点，是轨迹上的两个动点，如果直 线的斜率与直线的斜率满足，试探究直线的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.解：（）依题意知直线的方程为： 2分直线的方程为： 3分设是直线与交点，得由整理得 不与原点重合点不在轨迹M上5分轨迹M的方程为（）6分（）点()在轨迹M上解得，即点A的坐标为7分设，则直线AE方程为：，代入并整理得9分 设, 点在轨迹M上， , 11分又得，将、式中的代换成，可得，直线EF的斜率13分 即直线EF的斜率为定值，其值为15分3、已知椭圆的离心率为，其左、右焦点为点是坐标平面内一点，且其中为坐标原点。（1）求椭圆的方程；（2）如图，过点的动直线交椭圆于两点，是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解: （）点代入得 4分（）故所求椭圆方程为 6分（）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点。当AB轴时，以AB为直径的圆的方程为： 当AB轴时，以AB为直径的圆的方程为： 由，知定点M 下证：以AB为直径的圆恒过定点M。设直线，代入消去得设，则 8分又， 在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点 12分4、如图，已知圆经过椭圆的右焦点F及上顶点B过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于C、D两点（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求的取值范围解：（1）圆G：经过点F、BF（2，0），B（0，）， ，故椭圆的方程为5分 （2）设直线的方程为由消去得由=，解得又，设，则，= =点F在圆G的外部，即，解得或又， 15分5、设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且（1）求椭圆的离心率；（2）若过、三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由。（1）解：设Q（x0，0），由（c，0），A（0，b）知 ，由于 即为中点故， 故椭圆的离心率 （3 分） （2）由知得于是（，0） Q，AQF的外接圆圆心为（-，0），半径r=|FQ|=，所以，解得=2，c =1，b=，所求椭圆方程为 （6 分） （3）由（）知 ：代入得 设， 则， （8分）由于菱形对角线垂直，则 故 则 （10分）由已知条件知且 故存在满足题意的点P且的取值范围是 （12 分）6、如图，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。（）求C1，C2的方程；（）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E证明：MDME;解 ：（）由题意知故C1，C2的方程分别为（）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为由得设是上述方程的两个实根，于是又点M的坐标为（0，1），所以故MAMB，即MDME7、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，（）求椭圆C的标准方程；（）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值解：（I）设椭圆C的方程为，因为抛物线的焦点坐标是 所以由题意知b = 1又有 椭圆C的方程为4分（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知右焦点的坐标为（2，0） 6分将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得9分 12分方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为（2，0）显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得8分又12分8、 A、B为双曲线上的两个动点，满足.（）求证：为定值；（）动点P在线段AB上，满足，求证：点P在定圆上证：（）设点A的坐标为，B的坐标为，则，A在双曲线上，则 所以 5分由得，所以，同理，所以10分 （）由三角形面积公式，得，所以 ，即 即 于是， 即P在以O为圆心、为半径的定圆上 15分9（本小题满分18分）过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结 （1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点； （2）当时，定点平分线段证明：（1）设. 则椭圆过点的切线方程分别为，.（3分）因为两切线都过点，则有，.这表明均在直线 上.由两点决定一条直线知，式就是直线 的方程，其中满足直线的方程.（6分）（1）当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为代入消去得 对一切恒成立. （9分）变形可得对一切恒成立.故有，c由此解得直线恒过定点.（12分）（2）当时，由式知 解得代入，得此时的方程为 将此方程与椭圆方程联立，消去得（15分）由此可得，此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标，即代入式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标，即这就是说，点平分线段.（18分） 故所求椭圆方程为 （II）（方法1）当直线l垂直于x轴时，把x=1代入，得整理得恒为钝角，则恒成立 14、已知抛物线的焦点是椭圆一个顶点，椭圆的离心率为，另有一圆圆心在坐标原点，半径为.（1）求椭圆和圆的方程；（2）已知是圆上任意一点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，求证：.解（1）由可得抛物线焦点坐标为（0，1），由已知得，又得 椭圆的方程为，圆的方程为（2）若点的坐标为，则过这四点分别作满足条件的直线，若一条直线斜率为则另一条斜率不存在，则若直线斜率都存在，则设过与椭圆只有一个公共点的直线方程为由得即则 化简得又设直线的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，所以满足 15、如图,直线与椭圆：（）交于两点,与轴和轴分别交于点和点,点是点关于轴的对称点,直线与轴交于点（1）若点为（6,0）,点为（0,3）,点,恰好是线段的两个三等分点求椭圆的方程；过坐标原点引外接圆的切线,求切线长；（2）当椭圆给定时,试探究是否为定值？若是,请求出此定值；若不是,请说明理由解: （1）设点，由题意知，则有,解得,即,又点为、中点，可得点1分，解得：，椭圆的方程为3分由点，可求得线段的中垂线方程为，令，得设外接圆的圆心为,半径为,可知,4分切线长为9分（2）设点，则所以直线的方程为，令，得，即点，同理13分,又，得，得，两式相减得,即,当椭圆给定时,为定值16分16、已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C（）求曲线C的方程；（）过点D（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l， 使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由因为，所以四边形OANB为平行四边形，假设存在矩形OANB，则即，所以， 10分设N（x0，y0），由，得，即N点在直线，所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为17、已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线的离心率求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；如图，已知过点的直线：与过点的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求的面积。解：（1）设C的标准方程为在由题意，因此，则曲线C的标准方程为，曲线C的渐近线方程为。（2）解法一：由题意点在直线，因此有故点M,N均在直线上，因此直线MN的方程为，设G,H分别是直线MN与渐近线，由方程组解得，设MN与轴的交点为,则在直线中令，得（易得），注意到，得解法二：设，由方程组得，因为，则直线MN的斜率，故直线MN的方程为注意到因此直线MN的方程为下同解法一，18、直线与椭圆交于，两点，已知，若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；（3）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 解：（1） 椭圆的方程为 3分（2）依题意，设的方程为，由 4分显然,5分 由已知得： ,解得 7分（3）当直线斜率不存在时，即，由已知，得又在椭圆上，所以 ,三角形的面积为定值9分当直线斜率存在时：设的方程为，必须 即，得到， 11分，代入整理得：10分 所以三角形的面积为定值 12分19、椭圆的中心在原点，过点，且右焦点与圆的圆心重合（1）求椭圆C1的方程；（2）过点的直线交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线，使得以MN为直径的圆过椭圆的左焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由；解：（1）依题意得（1，0），所以c=1，又过点，所以b=因此 故所求的椭圆 的方程为：（5分）（2）由（1）知（-1，0）. 以MN为直径的圆过0 若直线的斜率不存在。易知N （1, ），M （1,） 不合题意（7分）若直线的斜率k存在，可设直线为y=k（x-1） ， ，= （9分）联立 消去y得： 代入（11分）得： 由得： (13分)20、已知椭圆经过点，一个焦点是（）求椭圆的方程；（）设椭圆与轴的两个交点为、，点在直线上，直线、分别与椭圆交于、两点试问：当点在直线上运动时，直线是否恒经过定点？证明你的结论（I）方法1：椭圆的一个焦点是 ，（II）当点在轴上时，、分别与、重合，若直线通过定点，则必在轴上，设，（6分）当点不在轴上时，设，、，直线方程，方程，代入得，解得， （9分）代入得解得， ， （11分），当点在直线上运动时，直线恒经过定点（15分）21、设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即，,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 22、图，已知圆是椭圆的内接的内切圆, 其中为椭圆的左顶点. （1）求圆的半径;（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，证明：直线与圆相切解: （1）设，过圆心作于,交长轴于由得,即 (1) 而点在椭圆上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3)则,即 (4) 解得将(3)代入得,则异于零的解为设,，则则直线的斜率为：于是直线的方程为: 即则圆心到直线的距离 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故结论成立.23已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，与共线（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上任意一点，且（），证明为定值解：（1）设椭圆方程为（），则直线的方程为代入，化简得，设，则，由，与共线，得，又，所以，所以，即，所以，所以，故离心率（2）由（1）知，所以椭圆可化为设，由已知得，所以，因为在椭圆上，所以，即由（1）知，所以所以又，代入得故为定值，定值为124、已知椭圆：的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，是以为直径的圆.（）当的面积为时，求所在直线的方程；（）当与直线相切时，求的方程；（）求证：总与某个定圆相切. 解：（）易得，设点P，则，所以又的面积为，解得，所在直线方程为或（）因为直线的方程为，且到直线的距离为化简，得，联立方程组，解得或 当时，可得，的方程为；当时，可得，的方程为（）始终和以原点为圆心，半径为（长半轴）的圆（记作）相切证明：因为，又的半径，和相内切25已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为-4分（2）设联立 得，则-5分-8分又因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，即-解得：，且均满足-9分当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为-12分27、已知椭圆为其左焦点，A为右顶点，l为左准线，过F1的直线l与椭圆交于异于A的P、Q两点.（1）求的取值范围；（2）若求证：M、N两点的纵坐标之积为定值9解：（1）当直线PQ的斜率不存在时，PQ方程为得（2）AP的方程为28、 设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4,点M（2，）在椭圆上。（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且，求OAB的面积的取值范围。解:（1）因为椭圆E: （ab0）过M（2，） ，2b=4故可求得b=2,a=2 椭圆E的方程为 2分（2）设P（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2），当直线L斜率存在时设方程为，解方程组得,即,则=,即（*） 要使,需使,即,所以, 即 7分将它代入（*）式可得，P到L的距离为，又将及韦达定理代入可得10分当时由 故12分当时, 当AB的斜率不存在时, ,综上S13分29、已知定圆圆心为A，动圆M过点，且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C（）求曲线C的方程；（）（理）若点为曲线C上一点，探究直线与曲线C是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由解：（） 圆A的圆心为， 1 分设动圆M的圆心为 2分由|AB|=，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r1-r2，即|MA|+|MB|=4， 4分所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由故曲线C的方程为 6分（）当， 8分消去 10分由点为曲线C上一点，于是方程可以化简为 解得， 12分13分综上，直线l与曲线C存在唯一的一个交点，交点为 14分30、设F1、F2分别为椭圆C:1(a0,b0)的左、右两个焦点.(1) 若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程；(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPMKPN是与点P位置无关的定值. 试对双曲线1写出具有类似特性的性质，并加以证明.解：(1)由题意得:2a4,a2则椭圆的方程为1 点A(1,)在椭圆C上, 1 b23所求椭圆方程为1(2)由(1)知椭圆C的左焦点为F1(1,0)设F1K的重点为M(x,y)，则K点的坐标为K(2x1,2y) K点在椭圆C上， 1即线段F1K的中点轨迹方程为(x1(3)若M、N是双曲线1上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，则当直线PM、PN的斜率KPM、KPN都存在时，KPMKPN是与点P位置无关的定值，其证明如下：设M(x1,y1),则N(x1,y1),设P(x,y)则KPMKPN (*)由M、P都在双曲线1上得y2 x2b2,y12 x12b2,将它们代入(*),可得KPMKPN 为定值故原结论成立31、已知椭圆的左、右两个顶点分别为、曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点（1）求曲线的方程；（2）设、两点的横坐标分别为、，证明:；（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围（1）解：依题意可得，设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，即所以双曲线的方程为3分（2）证法1：设点、（，），直线的斜率为（），则直线的方程为，联立方程组5分整理，得，解得或所以 6分同理可得，所以 8分证法2：设点、（，），则， 4分因为，所以，即 5分因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，即，所以，即所以证法3：设点，直线的方程为，联立方程组5分整理，得，解得或 6分将代入，得，即所以 8分（3）解：设点、（，），则，因为，所以，即 9分因为点在双曲线上，则，所以，即因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以 10分因为， 所以 11分由（2）知，即设，则，设，则，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减因为，所以当，即时， 12分当，即时，所以的取值范围为 14分33、已知椭圆的左焦点是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线轴时，求的值；（2）求的值。（）解：由题意椭圆的离心率，所以， 所以8分 故 由，及，10分得，将代入上式得，13分注意到，得，所以为所求15分34、 已知离心率为的椭圆过点，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于不同的两点。（1）求椭圆的方程。（2）证明：若直线的斜率分别为、，求证：+=0。解：（）设椭圆的方程为:由题意得: 椭圆方程为（）由直线,可设，将式子代入椭圆得: 设,则设直线、的斜率分别为、，则 下面只需证明：，事实上，。35、 设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点。（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标； （2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；（3）过点F（1，0）作直线l与（）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（1）中的点）的取值范围。解：（1）由题，得，设则由又在双曲线上，则 联立、，解得 由题意， 点T的坐标为（2，0） （2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）由A1、P、M三点共线，得 由A2、Q、M三点共线，得 联立、，解得 在双曲线上，轨迹E的方程为 （3）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为中，得 设 则由根与系数的关系，得 有将式平方除以式，得 由 又故令 ，即 而 ， 36、已知椭圆的左、右焦点为，是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且的周长为（）求椭圆的方程；（）设直线是圆：上动点处的切线，与椭圆交与不同的两点，证明：的大小为定值解（）因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以，可得，又因为的周长为，可得，所以，可得，所求椭圆的方程为5分（）直线的方程为 ，且，记，联立方程，消去得， 8分，从而 是定值 13分37、已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与轴交于点（1）求证:，成等比数列；（2）设，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由解：（1）设直线的方程为：，联立方程可得得: 设，则， ，