高二数学高考中由递推关系求通项公式的常见方法最后稿新人教版

由递推关系求通项公式的类型与方法 递推公式是给出数列的基本方式之一，在近几年高考题中占着不小的比重。2020年高考数学19份理科试卷，共19道数列部分的解答题，其中有17道涉及递推数列，（福建卷理科有两道题涉及数列问题，江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推），说每卷都有数列问题，数列必出递推也不为过。不能不感受到高考数学试题中“递推”之风的强劲。为此本文主要以2020年试题为例重点研究由递推关系求数列通公式的类型与求解策略。一、递推关系形如：的数列利用迭加或迭代法得：，（）例1（08天津文20）在数列中，且（）（）设（），证明是等比数列；（）求数列的通项公式；（）略 （）证明：由题设（），得，即，又，所以是首项为1，公比为的等比数列（）解法：由（），（）所以当时， 上式对显然成立二、递推关系形如：的数列利用迭乘或迭代法可得： ，（）例2 （2020天津理22）在数列与中，数列的前项和满足,为与的等比中项，.（）求的值；（）求数列与的通项公式；解：（）易得，（）由题设 （）时 式减去式，整理得， 即，所以时，此式对也成立 由题设有，所以，即，令，则，即由得，所以，即，三、递推关系形如：（p,q为常数且，）的数列（线性递推关系）利用不动点求出的根，递推关系可化为，利用等比数列求出的表达式，进而求出例3（2020安徽文21）设数列满足其中为实数，且（）求数列的通项公式解 ： 当时，是首项为，公比为的等比数列。 ，即 。当时，仍满足上式。 数列的通项公式为 。四、递推关系形如：（, 为常数且，）的数列令与比较解出系数x，y构造等比数列例4（08湖北理21）已知数列和满足,其中为实数，为正整数，求数列、的通项公式（稍加改编）解： 令整理后与式比较对应项系数得 , ,五、递推关系形如：的数列（为常数且）常化为 ，利用第三种类型求出后解出；例5 （2020四川理20） 设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式解：由题意知，且两式相减得即 （）略（）当时，由（）知，即 当时，由得因此 得六、递推关系形如：（为常数且）的数列可化为=求出的表达式，再求例6（2020年山东理19）将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数构成的数列为，为数列的前项和，且满足（）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；解：（）证明：由已知，当时，又，所以，又所以数列是首项为1，公差为的等差数列由上可知，所以当时，因此七、递推关系形如：或的数列 可采用取倒数方法转化成为形式利用前面的第三类方法解决。例7 （2020年高考陕西理22）已知数列的首项，（）求的通项公式；解：（），又， 是以为首项，为公比的等比数列，八、Sn法 求与前n项和Sn有关的数列通项时，通常用公式作为桥梁，将Sn转化为的关系式求或将转化为Sn的关系式先求Sn进而求得。 例8、（2020年全国20）设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；解：（）依题意，即，由此得因此，所求通项公式为，九：数学归纳法例9、（2020辽宁理21）在数列中,且成等差数列,成等比数列.求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;解析：（）由条件得 由此可得 猜测用数学归纳法