2018年奥林匹克数学竞赛第15讲 分式的化简 求值 与证明

奥林匹克数学竞赛第15讲分式的化简求值与证明考点方法破译1分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果2分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化经典考题赏析【例1】（湖南常德）先化简代数式,然后选取一个使原式有1X221X意义的X的值代入求值【解法指导】本题化简并不难，关键是所取的值的选择，因为原式的分母为X1，X21，要是原式有意义，则X10且X210故X1，因而可取的值很多，但不能取X1解221X1X11XXX122XX21当X0时，原式1【变式题组】01（黄石）先化简，再求值，其中A222365105106AA02（荆门）已知X2,Y2，计算代数式的值321XYXY03（齐齐哈尔）先化简A，当B1时，请你为A任选一个2B2适当的数代入求值04（咸宁）先将代数式X1化简，再从3X3的范围内选取一1X21个合适的整数X代入求值【例2】已知5，求的值1XY23XY【解法指导】解法1由已知条件，知XY0将所求分式分子、分母同除以15XYXY，用整体代入法求解解法2由已知条件5，求得XY5XY，代入求值解方法15，X0,Y0，XY0将待求分式的分子、分母同除以XY原式123XYX123Y25方法2由5知X0,Y0，两边同乘以XY，得XY5XY1X故123XY2XY253XY7XY【变式题组】01（天津）已知4，则的值等于（）1AB27ABA6B6CD15202若XY12，XY9,求的值23XY03若4X3Y6Z0,X2Y7Z0,求的值223657XYZ【例3】（广东竞赛）已知1，求的值23X2491X【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果解1X31X4213X2又X29X2111611542214291X5【变式题目】01若X4，求的值241X02若A24A10，且5求M4231A【例4】已知，求的值AB13C4AC15ABC【解法指导】将已知条件取倒数可得3，4，5，进而可求B的值，将所求代数式也取倒数即可求值1ABC解由已知可知AC、BC、AB均不为零，将已知条件分别取倒数，得，即三式相加可得6，将所求代数式取倒数345BCA13415ABAC1ABC得6，BCBCBA16【变式题组】01（四川联赛试题）实数A、B、C满足，则3BC4AC15ABBCAC02（天津初赛试题）已知2，3，4，求7X5Y2Z的值XYZYZ【例5】若，求的值ABCACBCBA【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有AB,CB,AC这些比较复杂的式子，若设K，用含K的式子表示AB,CB,AC可使计算简化CA解设K，则ABCK,CBAK,ACBK，三式相加，得BC2ABCACBK当ABC0时，K2；当ABC0时，ABC，K1当K2时，K38；当K1时，CK31ABC【变式题组】01已知X、Y、Z满足，则的值为（）2X3YZ5X2YZA1BCD1102天津竞赛题已知A、B、C为非零实数，且ABC0，若ABC，求的值AB【例6】已知ABC1，求证11ABBCCA【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加证明1ABACCCC1BAB1C1ACB【变式题组】01（四川省初二数学联赛试题）已知,ABC则A2B2C2（1ABC）A5BC1D72202（四川省初二数学联赛试题）已知不等于零的三个数满足ABC、求证A、B、C中至少有两个数互为相反数1ABC03若A、B、C都不为0，且ABC0，求的值22222111C演练巩固反馈提高01已知X3，那么多项式X3X27X5的值是（）1A11B9C7D502若MAB,NAB,则式子的值是（）MNABCD022BA2AB03（内江）已知5X23X50，则5X22X215X04（烟台）设AB0,A2B26AB0，则AB05已知A12N,B1，则用含A的式子表示B是N06AB2,AB5,则07若A,B,C，试把A、B、C用“”连接起来为534553408已知，求的值为1NM2MNN09若2X,81，则XY的值为3Y10化简为2424CBCAA11（桂林）先化简，再求值，其中X,Y321XYXY212（思施）求代数式的值，其中X22214XX13（重庆）先化简，再求值，其中X32114X14已知，求常数A、B的值23531XAX15若A3,求2A35A23的值121培优升级奥赛检测01（全国初中数学竞赛试题）若20,10，则的值为（）ABCABCABCD12110221002（浙江竞赛试题）已知XYX1Y10，则XY的值为（）A1B0C1D203（天津初赛试题）已知X70X1，则的值为（）X1ABCD757504（四川联赛试题）已知正实数A、B满足ABAB，则（）ABA2BCD211205（荆州市八年级数学联赛试题）已知1，则的值为（）AAABCD5351或06已知ABC0，并且ABC0，则ABC的值为（）CBAA0B1C1D307设X、Y、Z均为正实数，且满足，则X、Y、Z三个数的大小关系ZXYZ是（）AZXYBYZXCXYZDZYX08（南昌八年级竞赛试题）如果A是方程X23X10的根，那么分式的值是5432261A09（南昌八年级竞赛试题）甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点101米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多10若A1,B1，求C的值AA11已知A、B、C、X、Y均为实数，且满足,AB341XYBC3XA341YY（其中）求X的值1234X12（全国联赛）当分别取值,，1,2，2007,2008,2009X120981207时，分别计算代数式的值，将所得的结果相加，其和是多少