2018年奥林匹克数学竞赛第24讲 数据的分析

奥林匹克数学竞赛第24讲数据的分析考点方法破译一、数据的代表1“算”出来的平均数反映的是一组数据中各个数据的平均大小，作为“一般水平”的代表，平均数可以通过计算得到平均数一般地，对于N个数X1，X2，X3XN，（X1X2XN）叫做这N个数的平均数加权平均数如果X1出现F1次，X2出现F2次，XK出现FK次（F1F2F3FKN），则叫做X1，X2XK个K个数的加权平均数NFXK212“排”出来的中位数中位数是将数据按大小顺序排列（即使相等的数也应全部参加排序）后找到的，当数据的个数是奇数时中位数就是最中间的那个数，当数据的个数是偶数时，最中间的两个数的平均数为中位数3“数”出来的众数众数就是数据中出现次数最多的那个数据，有时一组数据中的众数不唯一二、数据的波动1极差一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差2方差设有N个数据X1，X2，X3XN，我们把叫做这组数据的方差，方差越大，数据的221XS波动越大；数据越小，数据的波动越小3标准差2221SXXNN经典考题赏析【例】（包头）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位后选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用，三位候选人的各项测试成绩如下表所示测试成绩测试项目甲乙丙教学能力857373科研能力707165组织能力647284如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，请说明理由；根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试的分按532的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由【解法指导】甲的平均成绩为（857064）373，乙的平均成绩（737172）372，丙的平均成绩为（736584）374，候选人丙将被录用甲的测试成绩为（855703642）（532）763，乙的测试成绩为（735713722）（532）722，丙的测试成绩为（735653842）（532）728，候选人甲将被录用【变式题组】01（内江）某人为了了解他所在地区的旅游情况，收集了该地区2005年至2008年每年旅游收入的有关数据，整理并绘成图，根据图中信息，可知该地区2005年到2008年四年的旅游平均收入是_亿元02（齐齐哈尔）A、B、C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位分）分别用了两种方式进行统计，如表一和图一请将表一和图一中的空缺部分补充完整；竞选的最后一个程序时由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图二（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），请计算出每人的得票数若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按433的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选【例2】数学老师将本班学生的身高数据（精确到1厘米）交给甲、乙两同学，要求他们各自独立地绘制一幅频数分布直方图，甲绘制的如图1所示，乙绘制的如图2所示，经确认，甲绘制的图是正确的，乙在整理数据与绘图过程中均有个别错误请回答下列问题该班学生有多少人甲同学身高165厘米，他说“我们班上比我高的人不超过”，他的说法正确吗41说明理由写出乙同学在整理或绘制过程中的错误（写出一个即可）设该班学生的身高数据中位数为A，试写出A的值【解法指导】该班学生有50人正确，因为身高165厘米及以上的人数为10515（人），所以说超过了41在整理数据是漏了一个数据，这个数据在16551695范围内；或绘制的图中表一ABC笔试859590口试808515751615这个矩形的高度不正确由图1知中位数小于1595，而大于1545，所以中位数是155，156，157，158或159【变式题组】01（吉林身）某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）A中位数B众数C平均数D极差02（天津）为参加2009“天津市初中毕业生升学体育考试”，小刚同学进行了刻苦的练习，在投掷实心球时，测得5次投掷的成绩（单位M）为8，85，9，85，92这组数据的众数、中位数依次是（）A85，85B85，9C85，875D864，903（遂宁）“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”，在今年的慈善一日捐活动中，济南市某中学八年级三班50名学生自发组织献爱心活动，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图，根据下图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（）A20，20B30，20C30，30D20，3004（台湾）图为某班35名学生投篮成绩的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完整，已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据图形，下列哪一选项中的数值无法确定（）A3球以下（含3球）的人数B4球以下（含4球）的人数C5球以下（含5球）的人数D6球以下（含6球）的人数05（陕西省）王老师为了了解本班学生课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是（单位小时）15，2，2，2，25，2525，253，35则这10个数据的平均数和众数分别是（）A24，25B24，2C25，25D25，2【例3】（福建南平）某商场家电销售部有营业员20名，为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月的销售额目标，根据目标完成情况对营业员进行适当的奖惩，为此，商场统计了这20名营业员在某月的销售额，数据如下（单位万元）2526211728262025263020212026302521192826请根据以上信息完成下表销售额（万元）1719202125262830频数（人数）1133上述数据中，众数是_万元，中位数是_,平均数是_万元；如果将众数作为月销售额目标，能否让至少一半的营业员都能达到目标请说明理由【解法指导】3，5，2，226，25，24不能因为此时众数26万元中位数25万元（或因为从统计表中可知20名营业员中，只有9名达到或超过目标，不到半数）【变式题组】01（呼和浩特）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月销售目标，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖惩，为了确定一个适当的目标，商场统计了每个营业员在某月的销售额，并整理得到了如下统计图（单位万元），请分析统计数据完成下列问题月销售额在那个值的人数最多中间的月销售额是多少平均的月销售额是多少如果想让一半左右的营业员都能达到目标，你认为越销售额定位多少合适并说明理由02某校为了了解九年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后做出如下统计图，甲同学计算出前两组的频数和是012，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为41715结合统计图回答下列问题这次共抽调了多少人若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人【例4】（江西）经市场调查，某种优质西瓜质量为（50，25）KG的最为畅销，为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验，现从这两种技术种植的西瓜中个随机抽取20颗，记录他们的质量如下（单位KG）A4148544947504948585250485249525048525150B4549484552515045474954554653485052535053若质量为（50，25）KG的为优等品，根据以上信息完成下表优等品数量（颗）平均数方差请分别从优等品数量、平均数与方差三个方面对A、B两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种技术种植技术较好【解法指导】依次为16颗，10颗从优等品的数量的角度看因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好；从平均数的角度看，因A技术的种植的西瓜质量的平均数更接近5KG，所以A技术较好；从方差的角度看，因B技术种植的西瓜质量方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为稳定；从市场销售的角度看，因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量更多，且平均质量更接近5KG，因而更适合推广A种技术【变式题组】01（娄底）我市统计局发布的统计公报显示，2004年到2008年，我市GDP增长率分别为96，102，104，106，103经济学家评论说，这5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的_比较小A中位数B平均数C众数D方差2（黄冈）为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如下表（单位秒）计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数；计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；根据经验，走时稳定性的电子钟质量更优，若两种类型的电子钟价格相同，请问你买哪种电子钟为什么A49900103B49750093演练巩固反馈提高01（绍兴）跳远比赛中，所有15位参赛者的成绩互不相同，在已知自己成绩的情况下，要想知道自己是否能进入前8名，只需要最多参赛者成绩的（）A平均数B众数C中位数D方差02（佳木斯）已知5个正数A1，A2，A3，A4，A5的平均数是A，且A1A2A3A4A5，则数据A1，A2，A3，0，A4，A5的平均数和中位数是（）AA，A3BA，CD43263，643，03（台湾）某篮球队队员共有16人，下表为其投进球数的次数分配表，若该队投进球的中位数是25，则众数是（）投进球数0123456次数（人）22AB321A2B3C4D604（荆门）某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如折线图所示，那么这6天的平均用水量是（）A30吨B31吨C32吨D33吨05如图所示是光明中学兵乓球队队员年龄分布的条形图，这些年龄的众数、中位数依次分别是（）A15，15B15，155C14515D145，14506（金华）如图十我市某景点6月份内110日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天的最高气温的中位数是_07（青岛）某市广播电视局欲招聘播音员一名，对A、B两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如下表所示，根据实际需要，广播电视局将面试，综合测试的得分按32的比例计算两人的总成绩，那么_（填A或B）将被录用08甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图1、如图2的统计图在图2中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况；已知甲队五场比赛成绩的平均分90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分甲X乙X根据这五场比赛，分别计算两队成绩的极差如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、这显得走势、获胜场次和极差四个方面分别进行简单分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好的成绩09（日照）某中学对全校学生60秒跳绳的次数进行了统计，全校平均次数是100次，某班体育委员统计了全班50名学生60秒跳绳的成绩，列出频数分布直方图如下（每个分组包括左端点，不包括右端点）求该班60秒胎生的平均次数至少是多少是否超过全校平均次数该班一个学生说“我的跳绳成绩在我班是中位数”，请你给出该生跳绳成绩的所在范围测试成绩测试项目AB面试9095综合知识测试858001（烟台）某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）请你根据图中的信息，回答下列问题求出扇形统计图中的A的值，并求出该校初一学生总数；分别求出活动时间为5天、7天的学生人数，并补全频数分布直方图；求出扇形统计图中“活动时间为4天”的扇形所对的圆心角的度数；在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少（5）如果该市共有初一学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天”大约有多少02（河北）如下右图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图，组规定体能测试成绩70分以上）（包括70分）为合格请根据右图中所提示的信息填写表格请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙，_的体能测试成绩较好；依据平均数与中位数比较甲和乙，_的体能测试成绩较好依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好03（河北）在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如图是其中的平均数中位数体能测试成绩合格次数甲65乙60甲、乙段台阶路得示意图请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题两段台阶路有哪些相同点和不同点/哪段台阶路走起来更舒服为什么为了方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修意见04（安徽）某校九年级学生共900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1MIN的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息甲将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）乙跳绳次数不少于105次的同学占96丙第、两组的频率之和为012，且第组和第组频数都是12丁第、组的频数之比为41715根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题这次跳绳测试共抽取多少名学生各组多少人如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1MIN跳绳次数的平均值05（山东泰安）为了解某品牌A、B两种型号的冰箱的销售情况，王明对其专卖店开业以来连续七个月的销售情况进行可统计，并将得到的数据制成如下的统计表图中的数字表示每一阶的高度（单位CM）并且数15，16，16，14，14，15的方差S2甲，数据11，15，18，17，10，19的方差32S2乙5月份一月二月三月四月五月六月七月A型销售量（单位台）10141716131414B型销售