2018年第01讲 全等三角形的性质与判定

BACDEF第01讲全等三角形的性质与判定考点方法破译1能够完全重合的两个三角形叫全等三角形全等三角形的形状和大小完全相同；2全等三角形性质全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高、角平分线、中线相等；全等三角形对应周长相等，面积相等；3全等三角形判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等经典考题赏析【例】如图，ABEFDC,ABC90,ABCD，那么图中有全等三角形（）A5对B4对C3对D2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形这种逐步推进的方法常用到解ABEFDC,ABC90DCB90在ABC和DCB中ABCDCB（SAS）ADABDC在ABE和DCE中ABEDCEBECEAEDCB在RTEFB和RTEFC中EFRTEFBRTEFC（HL）故选C【变式题组】01（天津）下列判断中错误的是（）A有两角和一边对应相等的两个三角形全等B有两边和一角对应相等的两个三角形全等C有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等AFCEDBD有一边对应相等的两个等边三角形全等02（丽水）已知命题如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且ADBE，AFDE，则ABCDEF判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明03上海已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）添加条件AD，OEFOFE，求证ABDC；分别将“AD”记为，“OEFOFE”记为，“ABDC”记为，添加、，以为结论构成命题1；添加条件、，以为结论构成命题2命题1是_命题，命题2是_命题（选择“真”或“假”填入空格）【例】已知ABDC，AEDF，CFFB求证AFDE【解法指导】想证AFDE，首先要找出AF和DE所在的三角形AF在AFB和AEF中，而DE在CDE和DEF中，因而只需证明ABFDCE或AEFDFE即可然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件证明FBCEFBEFCEEF，即BECF在ABE和DCF中,ABDCEFABEDCF（SSS）BC在ABF和DCE中,ABFDCEAFDEFE【变式题组】01如图，AD、BE是锐角ABC的高，相交于点O，若BOAC，BC7，CD2，则AO的长为（）A2B3C4D5ABCDOFEACEFBDAE第1题图ABCDEBCDO第2题图02如图，在ABC中，ABAC，BAC90，AE是过A点的一条直线，AECE于E，BDAE于D，DE4CM，CE2CM，则BD_03（北京）已知如图，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，点E在AC上，CEBC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F求证ABFCAFECBD【例】如图，ABCDEF，将ABC和DEF的顶点B和顶点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O当DEF旋转至如图位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是_当DEF继续旋转至如图位置时，中的结论成立吗请说明理由_B（E）OCF图FABCDEFABECDDA图图【解法指导】AFDDCAAFDDCA理由如下由ABCDEF，ABDE，BCEF,ABCDEF,BACEDFABCFBCDEFCBF,ABFDEC在ABF和DEC中,ABDEFCABFDECBAFDECBACBAFEDFEDC,FACCDFAODFACAFDCDFDCAAFDDCA【变式题组】01（绍兴）如图，D、E分别为ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处若CDE48，则APD等于（）A42B48C52D5802如图，RTABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到DEF，下列结论中错误的是（）AABCDEFBDEF90CACDFDECCFEFBABPDEC第1题图ACDG第2题图03一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上求证ABED；若PBBC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明BFACENMPDDACBFE【例】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD的延长线，BPAC，点Q在CE上，CQAB求证APAQ；APAQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等经观察，证APAQ,也就是证APD和AQE，或APB和QAC全等,由已知条件BPAC，CQAB，应该证APBQAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角12即可证APAQ，即证PAQ90，PADQAC90就可以证明BD、CE分别是ABC的两边上的高，BDACEA90,1BAD90，2BAD90，1221ABCPQEFDABCDFE在APB和QAC中,APBQAC，2ABQCP1APAQAPBQAC，PCAQ,PPAD90CAQPAD90，APAQ【变式题组】01如图，已知ABAE，BE，BAED，点F是CD的中点，求证AFCD02（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为AM，此时梯子的倾斜角为75，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为BM，梯子倾斜角为45，这间房子的宽度是（）ABCBMDAM2ABM2ABAECBA75C45BNM第2题图第3题图D03如图，已知五边形ABCDE中，ABCAED90，ABCDAEBCDE2，则五边形ABCDE的面积为_演练巩固反馈提高01（海南）已知图中的两个三角形全等，则度数是（）A72B60C58D50第3题图第1题图CAODBP第2题图ACA/BB/ACCA50B725802如图，ACBA/C/B/，BCB/30，则ACA/的度数是（）A20B30C35D4003（牡丹江）尺规作图作AOB的平分线方法如下以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于12C点P，作射线OP，由作法得OCPODP的根据是（）ASASBASACAASDSSS04（江西）如图，已知ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC的是（）ACBCDBBACDACCBCADCADBD90E21NABDC第5题图ABCDEABCD第4题图第6题图M05有两块不同大小的等腰直角三角板ABC和BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）AABECBDBABECBDCABCEBD45DACBE06如图，ABC和共顶点A，ABAE，12，BEBC交AD于M，DE交AC于N，小华说“一定有ABCAED”小明说“ABMAEN”那么（）A小华、小明都对B小华、小明都不对C小华对、小明不对D小华不对、小明对07如图，已知ACEC,BCCD,ABED,如果BCA119，ACD98,那么ECA的度数是_08如图，ABCADE，BC延长线交DE于F，B25,ACB105，DAC10，则DFB的度数为_09如图，在RTABC中，C90,DEAB于D,BCBDAC3，那么AEDE_第10题图ABCDE第9题图EABCDABCDEFOCAEBD第7题图第8题图10如图，BAAC,CDABBCDE，且BCDE，若AB2,CD6，则AE_11如图,ABCD,ABCDBC12CM，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向AEFBDC爬行，P的速度是01CM/S,Q的速度是02CM/S求爬行时间T为多少时，APBQDCDACQPB12如图,ABC中，BCA90，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D求证AECD；若AC12CM,求BD的长13（吉林）如图，ABAC，ADBC于点D，AD等于AE，AB平分DAE交DE于点F,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明14如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线L上，从另两个顶点A、B分别作L的垂线，垂足分别为D、E找出图中的全等三角形，并加以证明；若DEA，求梯形DABE的面积（温馨提示补形法）15如图，ACBC,ADBD,ADBC，CEAB，DFAB，垂足分别是E、F求证CEDF16我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等阅读与证明对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知ABC、A1B1C1均为锐角三角形，ABA1B1，BCB1C1，CC1求证DBACEFAEBFDCBDECLAAEFCDBABCA1B1C1（请你将下列证明过程补充完整）ABCDA1B1C1D1归纳与叙述由可得一个正确结论，请你写出这个结论培优升级奥赛检测01如图，在ABC中，ABAC，E、F分别是AB、AC上的点，且AEAF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（）A4对B5对C6对D7对F第6题图21ABCENM321ADEBCFADECOAEOBFCD第1题图B第2题图第3题图02如图，在ABC中，ABAC，OCOD，下列结论中ABDECE，连接DE,则OE平分AOB，正确的是（）ABCD03如图，A在DE上，F在AB上，且ACCE,123,则DE的长等于（）ADCBBCCABDAEAC04下面有四个命题，其中真命题是（）A两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05在ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BHAC，则ABC_06如图，EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N，EF90，BC,AEAF给出下列结论12；BECFACNABMCDDB，其中正确的结论有_（填序号）07如图，AD为在ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BFAC，FDCD求证BEAC；若把条件“BFAC”和结论“BEAC”互换，这个命题成立吗证明你的判定ABCDEAEBDC08如图，D为在ABC的边BC上一点，且CDAB，BDABAD，AE是ABD的中线求证AC2AEABEDC09如图，在凸四边形ABCD中，E为ACD内一点，满足ACAD，ABAE,BAEBCE90,BACEAD求证CED9010（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放，其中ACBDEB90，AD30，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F求证AFEFDE若将图中DBE绕点B顺时针方向旋转角，且060，其他条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；若将图中DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且60180,其他条件不变，如图你认为（1）中结论还成立吗若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由。11（嵊州市高中提前招生考试）阅读理解课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题在ABC中，AB5，AC13,求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法延长AD到E，使得DEAD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在ABE中，利用三角形的三边关系可得2AE8，则1AD4感悟解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中AFDFCBEDACBEACB图图图ADEGCHB问题解决受到的启发，请你证明下面命题如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF求证BECFEF；问题拓展如图，在四边形ABDC中，BC180，DBDC，BDC120，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明12（北京）如图，已知ABC请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；请你根据使成立的相应条件，证明ABACADAE13如图