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文档简介
.,1,3.4基本不等式:,.,2,学习目标:1.探索并了解基本不等式的证明过程.2.用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.,.,3,在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,一、新知引入,取材于中国古代数学家赵爽的弦图,.,4,思考:会标中含有哪些几何图形?,思考:你能否在这个图中找出一些相等关系或不等关系?,二、探究新知,.,5,a,b,探究,那么它们有相等的情况吗?,1.正方形ABCD的面积S=.,.四个直角三角形的面积和S=.,.结合图形S与S有什么样的不等关系?,即,.,6,思考:对于任意实数成立吗?你能证明吗?,.,7,当且仅当时,等号成立.,一般地,对于任意实数,我们有当且仅当时,等号成立.,.,8,如果,我们用代替上式中的,可得到什么结论?,通常我们把上式写作,当且仅当时,等号成立.,问题1:,.,9,显然,是成立的.当且仅当时,中的等号成立.,这样我们又一次得到:,你能否利用不等式的性质,直接推导出这个不等式呢?,问题2:,所以成立.,.,10,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,A,B,C,D,E,a,b,O,如图,AB是圆的直径,O为圆心,点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a,b表示CD?CD=_,如何用a,b表示半径OD?OD=_,当且仅当点C与圆心重合,即当时,等号成立.,圆的半径OD与CD的大小关系怎样?,问题3.,.,11,基本不等式可以叙述为:,两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.,当且仅当时,等号成立。,基本不等式,.,12,例1.用篱笆围一个面积为的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短?最短的篱笆是多少?,三、新知应用,.,13,练习1:若,求函数的最小值.,归纳:两个正数积为定值,则和有,最小值.,.,14,例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园面积最大?最大面积是多少?,.,15,练习2.已知,求函数的最大值.,最大值.,归纳:两个正数和为定值,则积有,.,16,a与b为正实数,一正,二定,三相等,积定和最小和定积最大,当且仅当时,等号成立,运用基本不等式求最值的限制条件为:,.,17,达标检测,1.下列结论正确的是(),当,且,时,,当,时,,当,时,的最小值为,当,时,,的最小值为,2.(1)已知,则,的最小值是.,(2)已知,的最大值是.,3.(1)当,时,求函数,的最小值.,则,(2)当,时,求函数,最值.,.,18,课堂小结,(1)本节课的主要学习内容是什么?(2)在应用基本不等式求最值时,需要注意哪几点?(3)在本节课学习中,运用了哪些数学思想方法?,一正,二定,
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