数学物理方法chp51傅里叶级变换

1,留数定理复习,一、留数概念：存在奇点的区域中，函数以奇点为中心展开为双边幂级数洛朗级数，,其中系数a-1称为函数f(z)在奇点z0的留数，记为Resf(z0)=a-1,2,设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点b1,b2,bn外解析，在闭区间B上除b1,b2,bn外连续，则留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点（有限远点）的留数之和。推论：函数在全平面上所有各奇点（有限远和无限远点）的留数和为零。,二、留数定理,3,三、留数的计算方法：1）级数法将函数围绕奇点展开为洛朗级数，,从而得到函数f(z)在奇点z0的留数Resf(z0)=a-1,4,2）单极点留数,即可以用来判断z0是否是单极点，也可用来求函数在单极点的留数公式,（1）,（2）,5,3）m阶极点的留数,假设z0为f(z)的n阶极点，则,第五章傅里叶变换,重点,1、傅立叶（Fourier）级数的展开方法；,2、傅立叶（Fourier）积分与变换；,7,傅里叶生平,1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数的级数表示”1822年发表“热的分析理论”，首次提出“任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示”,5.1傅里叶（Fourier）级数,一.周期函数的傅里叶展开,在工程计算中,无论是电学、力学、光学,经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:,9,最常用的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(t+)，其中=2/T,具有性质fT(t+T)=fT(t)的函数称为周期函数。,t,工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.,10,方波,4个正弦波的逼近,100个正弦波的逼近,数学表示为,11,则函数f(x)可在-l,l展为傅里叶级数,1、傅里叶级数,满足狄里希利(Dirichlet)条件,即在区间-l,l上,12,说明,基矢量,1)函数以傅立叶级数展开是在函数空间中以三角函数为基进行分解,13,说明,2)三角函数族是两两正交的,14,3)可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；,称为傅里叶系数,说明,15,2、傅立叶展开的意义：理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。,在连续点上级数和等于,解函数满足狄氏条件，它在x=k（k=0，1，-1，2，-2)第一类间断点，级数和且只有有限个极值点,16,因为T=2，所以=2/T=1则,17,二、奇函数和偶函数的傅里叶展开,若f(x)是奇函数，则ak为0，展开式为,叫做傅里叶正弦级数，特点：f(0)=f(l)=0,奇奇=偶奇偶=奇偶偶=偶,叫做傅里叶正弦级数，特点：f(0)=f(l)=0,18,若f(x)是偶函数，则bk为0，展开式为,叫做傅里叶余弦级数,特点：,19,解首先，所给函数满足狄氏条件，在,处不连续，因此，f（x）的傅立叶级数在级数和,在连续点处级数和f（x）。,20,则,函数是周期为2,且是奇函数。,21,1、定义在（0,l）上的函数f(x)展开；,三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开,工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的.,方法,将函数f（x）解析延拓到（-l，l）区间，再做周期延拓，构成函数g（x），其周期为2l。,f(x),然后将g(x)做傅里叶展开，其级数和在区间（0，l）上代表f(x).,22,例3定义在（0，l）上的函数f（x）=a（1-x/l），将该函数展开为傅立叶级数。,解,函数曲线如图,先将函数延拓到（-l，l）后再周期延拓，,23,所以,如图对函数做偶延拓至（-l，l）后做周期延拓：,24,如图做奇延拓：,-a,25,延拓的方式有无数种，因而展开式也有无数种，但他们在(0,l)上均代表f(x)，且函数值相等。,有时，对函数f(x)边界的限制就决定了延拓的方式。如要求f(0)=f(l)=0，则应延拓成奇周期函数，如要求，则应延拓成偶的周期函数。,四复数形式的傅立叶级数,而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:,有些时候利用三角函数和复指数函数的关系，将函数以复指数函数展开讨论函数的性质更方便。,26,cosz=(eiz+e-iz)/2sinz=(eiz-e-iz)/2i,-k换成k,则k的取值范围扩大,27,28,例4把锯齿波f（x）在（0，T）这个周期上可表示为f（x）=Hx/T，试把它展为复数形式的傅立叶级数。,解,函数曲线如图,所以，复数形式的傅立叶级数是以为基展开的级数。,29,周期为,30,小结,一、周期函数的傅里叶展开函数在区域（-T/2,T/2）上的解析式为f(x),周期为T，则1）可展为以三角函数为基矢的傅里叶级数：2）可展为以指数为基矢的复数形式的傅里叶级数,傅里叶系数,31,3）奇偶函数的傅里叶展开,特点：f(0)=f(l)=0,（1）若周期函数f(x)是奇函数，周期T（=2/T），则ak为0，展开式为傅里叶正弦级数,（2）若周期函数f(x)是偶函数，周期T（=2/T），则bk为0，展开式为傅里叶余弦级数,特点：f(0)=f(l)=0,32,定义在（0,l）上的函数f(x)的傅里叶展开,二、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开,方法,将函数f（x）解析延拓到（-l，l）区间，再做周期延拓，构成函数g（x），其周期为2l。,f(x),然后将g(x)做傅里叶展开，其级数和在区间（0，l）上代表f(x).,如果函数f(x)在边界的有限制：如要求f(0)=f