线性代数二次型及其标准形ppt课件

.,第六章二次型及其标准形,.,1.二次型的定义,定义含有个变量的二次齐次函数,称为二次型.(二次齐次多项式),当系数为复数时，称为复二次型；当系,数为实数时，称为实二次型.,.,3.二次型的矩阵表示式,令，则,于是,.,.,记,.,其中为对称阵：.,二次型的矩阵表示式,说明,对称阵与二次型一一对应；,若，,二次型的矩阵满足：,的对角元是的系数；,的元是系数的一半.,则对称阵称为二次型的矩阵；二次型称为对称阵的二次型；,3.二次型的矩阵表示式,.,例如：二次型,的矩阵为,于是,.,二、二次型的标准形,二次型研究的主要问题是：,寻找可逆变换，使,这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形(法式).,特别地，如果标准形中的系数只在三个数中取值，那么这个标准形称为二次型的规范形.,标准形的矩阵是对角阵.,.,三、化二次型为标准型,1.经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：,因为有,所以与的关系为：,.,2.矩阵的合同关系,定义设和是阶矩阵，,若有可逆矩阵，使,则称矩阵与合同.,说明,合同关系是一个等价关系.,设与合同，若是对称阵，则也对称阵.,对称阵一定合同相似于一个对角阵.,若与合同，则.,经可逆变换后，二次型的矩阵由变为与合同的矩阵,且二次型的秩不变.,.,3.化二次型为标准形,相当于对对称阵作合同变换；,即寻找可逆阵,使.,定理8任给二次型,总,其中是的矩阵的特征值.,即任何二次型都可用正交变换化为标准形.（主轴定理，P262Th6.1）,存在正交变换，使化为标准形,.,推论任给二次型，总,有可逆变换，使为规范形.,即任何二次型都可用可逆变换化为规范形.,.,证设有二次型,由定理8知，存在正交变换，使,设二次型的秩为，则特征值中恰有个不为0，不妨设不等于0，,于是，令,其中,则可逆，且变换把化为,.,记，,则可逆变换能把化为规范形,.,推论任给二次型，总,有可逆变换，使为规范形.,即任何二次型都可用可逆变换化为标准形.,4.用正交变换化二次型为标准形的步骤：,写出二次型的矩阵；,求出的特征值；,求出的两两正交的单位特征向量；,用表示在中求得的特征向量构成的矩阵，写出所求的正交变换和二次型的标准型.,.,4.用正交变换化二次型为标准形的步骤：,写出二次型的矩阵；,求出的特征值；,求出的两两正交的单位特征向量；,用表示在中求得的特征向量构成的矩阵，写出所求的正交变换和二次型的标准型.,将对称阵正交相似对角化的步骤：,(1)求特征值；,(2)求两两正交的单位特征向量；,(3)写出正交矩阵和对角阵.,.,例1已知二次型,用正交变换把二次型化为标准形，并写出相应的正交矩阵.,解析：此题是一道典型例题.目的是熟悉用正交变换化二次型为标准形的“标准程序”.,写出二次型对应的矩阵,二次型对应的矩阵为,.,求的特征值,由，求得的特征值为,.,求的两两正交的单位特征向量,对应，解方程，由,得基础解系为,将其单位化，得,.,对应，解方程，由,得基础解系为,将其单位化，得,.,对应，解方程，由,得基础解系为,将其单位化，得,.,写出正交矩阵和二次型的标准形,令矩阵,则为正交阵，于是，经正交变换,原二次型化为标准形,.,例1+：求一个正交变换x=Py，把二次型f=2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形（规范形）,.,例1+：求一个正交变换x=Py，把二次型f=2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形解：二次型的矩阵有正交阵使得于是正交变换x=Py把二次型化为标准形f=2y12+y22+y32,.,如果要把f化为规范形，令，即可得f的规范形：f=z12+z22+z32,.,例2已知二次型,的秩为2.,求参数以及此二次型对应矩阵的特征值；,指出表示何种曲面.,解,二次型的矩阵,因为的秩为2，,所以的秩也为2，因而,.,当时，的特征多项式为,.,于是，的特征值为,由定理8知，必存在正交变换,其中为正交矩阵(不必具体求出)，使二次型,于是，曲面,这表示准线是平面上椭圆、母线平行于轴的椭圆柱面.,在新变量下称为标准形,.,.,一、情形1,配方法,例3用拉格朗日配方法化二次型,成标准形，并求所用的变换矩阵.,解,.,用到的线性变换为,即,用到的线性变换为,即,配方法,.,配方法,.,33,所用的变换矩阵为,于是，的标准形为,配方法,.,二、情形2,例4用拉格朗日配方法化二次型,成规范形，并求所用的变换矩阵.,解,先用下面可逆变换，使二次型中,即,配方法,.,用到的线性变换为,即,配方法,.,用到的线性变换为,即,配方法,.,配方法,.,配方法,.,于是，,配方法,.,于是，,所用的变换矩阵为,因此，的规范形为,配方法,.,三、惯性定理,设有二次型，它,的秩为，有两个可逆变换,及,使,及,则,正数的个数相等.（证明：P275Th6.3）,中正数的个数与,中,.,说明,二次型的标准形正系数的个数称为二次型的,负系数的个数称为负惯性指数.,正惯性指数；,若二次型的正惯性指数为，秩为，则,的规范形变可确定为,只有用正交变换把二次型化为标准形，标准形的系数才是二次型矩阵的特征值.,.,例5下列矩阵中，与矩阵,合同的矩阵是哪一个？为什么？,.,解析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性定理解题.,容易求得的特征值，,于是可知，所对应的二次型的正惯性指数,为；负惯性指数为.,合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，,故选(B).,应选(B)，理由是:,.,例5下列矩阵中，与矩阵,合同的矩阵是哪一个？为什么？,.,一、正定二次型的概念,定义设有二次型，,如果对任何，都有,如果对任何，都有，则称为负定二次型，并称对称阵是负定的；,阵是正定的；,(显然,0)，,则称为正定二次型，,并称对称,.,说明,按定义，当变量取不全为零的值时，二次型若是正定()二次型，则它的对应值总是正数().,负定,负数,若是正定二次型，则,就是负定二次型.,.,二、正定二次型的性质与判别法,定理10二次型为正定的充要条件,是：它的标准形的个系数全为正数，即它的,正惯性指数等于.,推论1正定二次型(正定矩阵)的秩为.,推论2对称阵为正定矩阵的充要条件是：,的特征值全为正.,证明,.,定理10的证明,证已知，有可逆变换，使,先证充分性：,设，任给，,则，故,再证必要性:,用反证法.,假设有，,取(单位坐标向量)，,这与为正定相矛盾.,这就证明了.,则有，且,.,定理11(霍尔维茨定理),对称阵为正定的充要条件是：的各阶主子式都为正.即,对称阵为负定的充要条件是：的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正.即,.,正定,的正惯性指数,的个特征值全为正,的规范形为,合同于单位阵,的各阶主子式全为正,.,例6判定二次型,的正定性.,解析：此题的目的是熟悉定理11，用定理11判定二次型的正定性.,的矩阵为,1阶主子式：,2阶主子式：,.,3阶主子式：,根据定理11知，,为负定.,.,三、本章小结,个变量的二次齐次函数称为二次型.,只含平方项的二次型称为二次型的标准形，,将二次型化为标准形相当于把二次型的矩阵合同对角化.,对于任何一个二次型一定存在正交变换将它化为标准形.,配方法是化二次型成标准形(或规范形)的一种较方便的方法；惯性定理.,如果，总有(或)，则称二次型是正定(或负定)的，并称的矩阵是正定(或负定)的.,.,矩阵的三大关系：,它们的定义,存在阶可逆阵和阶可逆阵，使