《补充矩形单元》PPT课件

矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高的位移模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。矩形单元1234如图3-9所示，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x、y轴。若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。采用3-2节中的方法，同样可以完成对这种单元的力学特性分析。然而，如果我们引入一个局部坐标系、，那么就可以推出比较简洁的结果。,第六节矩形单元,图3-9矩形单元1234,平面问题的有限单元法,返回,平面问题的有限单元法,在图3-9中，取矩形单元的形心为局部坐标系的原点，和轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在有以下的坐标变换关系,(3-48),式中,其中(xi,yi）是节点i的整体坐标，i=1,2,3,4。,返回,平面问题的有限单元法,在局部坐标系中，节点i的坐标是(i,i)，其值分别为1。取位移模式,将节点的局部坐标值代入上式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移模式中的8个未知参数1，2，8，再把这些参数代回(a)式中，便可得到用节点位移表示的位移模式,(a),(b),其中,(c),返回,平面问题的有限单元法,式中0=i，0=i，i=1,2,3,4。若写成与前面一致的形式，有,式中,(d),由几何方程可以求得单元的应变,(e),(f),返回,平面问题的有限单元法,将(b)式代入，得,(g),式中,(i=1,2,3,4)(3-49),由虎克定律我们可以得出用节点位移表示的单元应力，即,(3-50),返回,平面问题的有限单元法,式中,(i=1,2,3,4)(h),对于平面应力问题,(3-51),若将单元刚度矩阵写成分块形式,(3-52),返回,平面问题的有限单元法,则其中的子矩阵可按下式进行计算,(i),如果单元厚度t是常量，则,(i,j=1,2,3,4)(3-53),同样，对于平面应变问题，只要将上式中的E、分别换成E/1-2和/1-即可。,返回,平面问题的有限单元法,四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为,(j),其中载荷列阵Re与上节中的(c)式相同，仍可按（3-33）、（3-34）、（3-35）式计算等效节点力。但是，需要注意的是，矩形单元有四个节点（1，2，3，4），所以Re具有8个元素，即,这里给出两种常见载荷的结果：,对于单元的自重W，移置于每个节点的载荷都等于四分之一的自重，其载荷列阵为,(k),(3-54),返回,平面问题的有限单元法,如果单元在一个边界上受有三角形分布的表面力，且在该边界上的一个节点处为零，而另一个节点处为最大，那么可将总表面力的三分之一移置到前一个节点上，而将其三分之二移置到后一个节点上。,和常应变三角形单元一样，将各单元的k、e和Re都扩充到整个弹性体自由度的维数，再进行叠加，即可得到整个弹性体的平衡方程。即,K=R(l),由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式(a)比常应变三角形单元所采用的线性位移模式增添了项（即相当于xy项），我们把这种位移模式称为双线性模式。在这种模式下，单元内的应变分量将不再是常量，这一点可以从B的表达式中看出。另外，位移模式(a)中的1、2、3、5、6、7与三角形单元相同，它反映了刚体位移和,返回,平面问题的有限单元法,常应变，而且在单元的边界上(=1或=1)，位移是按线性变化的，显然，在两个相邻单元的公共边界上，其位移是连续的。,由单元的应力矩阵表达式还可以看出，矩形单元中的应力分量也都不是常量。其中，正应力分量x的主要项（即不与相乘的项）沿y方向线性变化，而正应力分量y的主要项则是沿x方向线性变化、剪应力分量xy沿x及y两个方向都是线性变化。正因为如此，若在弹性体中采用相同数目的节点时，矩形单元的精度要比常应变三角形单元的精度高