Chap.2-标量衍射理论2-角谱及其传播

2-2复振幅分布的角谱及角谱的传播1、复振幅分布的角谱AngularSpectrumofComplexAmplitudeDistribution,即:把U(x,y,z)看作不同空间频率的一系列基元函数expj2p(fxx+fyy)之和,各分量的叠加权重是A(fx,fy,z).,称为x-y平面上复振幅分布的频谱,对在z处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换:,物理上,expj2p(fxx+fyy)代表传播方向余弦为cosa=lfx,cosb=lfy的单色平面波在xy平面的复振幅分布,U(x,y,z)是不同平面波分量分布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx,fy,z)决定.,其逆变换为：,2-2复振幅分布的角谱及角谱的传播1、复振幅分布的角谱,根据,可将频谱函数A(fx,fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量：,称为xyz平面上复振幅分布的角谱,表示不同传播方向(a,b)的单色平面波的振幅(|A|)和初位相(argA),复振幅分布的角谱：例,在x-y平面上,光场复振幅分布为余弦型:,可以分解为:,U(x,y)的空间角谱函数:,复振幅分布的角谱练习:P48,2.2,第一步:写出屏的透过率函数t(x,y):,第二步:写出入射波的复振幅分布U0(x,y,0)单位振幅的单色平面波垂直入射照明,U0(x,y,0)=1,第三步:写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U(x,y,0)U(x,y,0)=U0(x,y,0)t(x,y)=t(x,y),第四步:求出U(x,y,0)的频谱A(fx,fy,0),作业：P47:2.1,2.2,2.3,2-2复振幅分布的角谱及角谱的传播2、平面波角谱的传播PropagationofPlane-WaveAngularSpectrum,光场分布U0(x,y,0),光场分布U(x,y,z),孔径平面（z=0）P(x,y,0),观察平面（z=z）P(x,y,z),U0(x,y,0)与U(x,y,z)的关系如何？传播的问题,先找到相应的角谱A(fx,fy,0)和A(fx,fy,z)之间的关系角谱的传播,角谱是xy平面上复振幅分布U(x,y)的空间频谱,其空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示,按角谱的观点:孔径平面和观察平面上的光场,均看成许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合.每一平面波的相对振幅和位相取决于相应的角谱,2、平面波角谱的传播角谱是传播距离z的函数,在孔径平面(x,y,0)的光场U0(x,y,0):,传播距离z后到达z=z平面,光场变化为U(x,y,z),传播的效应体现为角谱由变化为.,2、平面波角谱的传播思路:找出并求解A满足的对z的微分方程,从而得到角谱随z变化的函数关系,对任何x,y,z均应成立,故,代入亥姆霍兹方程(2+k2)U(x,y,z)=0,并交换积分和微分的顺序,将U(x,y,z)的表达式,2、平面波角谱的传播角谱沿z传播遵循的规律,方向余弦cos2a+cos2b1:代表倏逝波,初始条件:z=0时,A=(孔径平面).微分方程的解为:,2、平面波角谱的传播传播现象作为线性空不变系统,表征系统频谱特性的传递函数：,系统的传递函数:,2、平面波角谱的传播传播现象作为线性空不变系统,系统的传递函数:,把光波的传播现象看作一个带宽有限的空间滤波器。在频率平面上的半径为1/l的圆形区域内，传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响。但要引入与频率有关的相移。在这一圆形区域外，传递函数为零。,对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于1/l的信息，在单色光照明下不能沿z方向向前传递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。,2-2复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用EffectofDiffractionApertureonAngularSpectrum,由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入衍射孔径使入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。,2-2复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用,例:单位振幅平面波垂直入射照明一矩孔,求角谱的变化,孔径限制了入射波面的范围,展宽了入射角谱,故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。,(2),衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P的复振幅U(P)能否用光场中各源点的复振幅表示出来。,2-3标量衍射的角谱理论,衍射现象,2-3标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式,1.惠更斯包络作图法(1678):从某一时刻的波阵面求下一时刻波阵面的方法.把波阵面上每一面元作为次级子波的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面.,衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P的复振幅U(P)能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。,2-3标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式,2.菲涅耳子波干涉说(1818):子波间应当互相干涉,并且应当考虑不同方向子波的差异.惠更斯-菲涅耳原理,惠更斯-菲涅耳原理:波阵面上任意未受阻挡的点,产生一个与原波频率相同的子波.此后空间任何一点的光振动是这些子波叠加的结果.其数学表述为:,2-3标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式,原波阵面,源点处的面元法线,场点,源点到场点的距离,所考虑的传播方向与面元法线的夹角,源点,成功:可计算简单孔径的衍射图样强度分布.,惠-菲原理,基尔霍夫衍射公式,2-3标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式,在单色点光源照明平面孔径的情况下:,2-3标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式,在傍轴近似下,基尔霍夫衍射公式,2-3标量衍射的角谱理论1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳衍射公式,略去(x-x0)/z和(y-y0)/z的二次以上的项,则,在振幅部分取r的一级近似,位相因子用r的二级近似,代入基尔霍夫公式,即得菲涅耳衍射公式,在菲涅耳衍射公式基础上再做远场近似，可得夫琅禾费衍射公式。,2-3标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论,从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题,xyz平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：,注意fx=cosa/l,fy=cosb/l，上式可写为:,这就是衍射现象的频域（角谱）表达式。,衍射现象的传递函数：,2-3标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论,从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题,xyz平面的光场分布按其角谱展开：,xyz平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：,综合得到（注意f