高考数学总复习知识讲解高考冲刺：选择题的解题策略

高考冲刺：怎样解选择题编稿：辛文升 审稿：孙永钊 【高考展望】1.数学选择题在高考试卷中，不但题目数量多，且占分比例高。考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为得分的关键，并且直接影响到解答题的答题时间及答题的情绪状态.2.高考中数学选择题属小题，具有概括性强、知识覆盖面宽、小巧灵活，有一定的综合性和深度的特点。解题的基本原则是：“小题不能大做.”因而答题方法很有技巧性，如果题题都严格论证，个个都详细演算，耗时太多，以致于很多学生没时间做后面会做的题而造成隐性失分，留下终生遗憾。3.夺取高考数学试卷高分的关键就是：“准”“快”“稳”地求解选择题。准确是解答选择题的先决条件。选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。迅速是赢得时间获取高分的必要条件.高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”（也叫“隐形失分”）是造成低分的一大因素.【方法点拨】【高清课堂：选择题的解题策略409101 知识要点】1.选择题的结构特点选择题有题干和个可供挑选的选择项（其中一个正确答案，三个诱误项）。选择题的结构中包含着我们解题的信息源（特别注意个选择支也是已知条件）2.选择题的求解策略充分利用题设和选择项两方面所提供的信息作出判断，一般来说，能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，也不必采用常规解法；能使用间接解法的，也不必采用直接解法；对于明显可以否定的选择项，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜于选择最简解法等等.一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择项联合考虑或从选项出发探求是否满足题干条件。3.选择题的常用方法由于选择题提供了备选答案，又不要求写出解题过程，因此出现了一些特有的解法，在选择题求解中很适用，结合数学选择题的结构特点及近几年的高考题，有以下几种常用解法：直接法；排除法；特例法；图解法（数形结合法）；代入法。【典型例题】类型一：直接法直接从题设条件出发，运用有关，运用有关的概念、定义、公理、定理、性质、公式等，使用正确的解题方法，经过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论，然后对照题目中给出的选择项“对号入座”，作出相应的选择，这种方法称之为直接法。是一种基础的、重要的、常用的方法，一般涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法。【高清课堂：选择题的解题策略409101 例1】例1【解析】【总结升华】直接法解选择题，它和解解答题的思路、程序方法是一致的，不同之处在于解选择题不需要书写过程，这就给我们创造灵活解答选择题的空间，即在推理严谨、计算准确的前提下，可以简化解题的步骤，简化计算。再就是在考查问题的已知条件和选择项的前提下，洞察问题的实质，找寻到最佳的解题方法，这样才会使问题解得真正的简洁、准确、迅速。举一反三：【变式一】（2015 安徽高考）已知函数（，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A） （B） （C） （D）【解析】依题意，所以，则，又时，解得.所以令解得令解得即在上单调递增在单调递减.所以为的一条对称轴又 所以 ， 因为所以比更接近对称轴，所以因为所以所以故选.【变式2】设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF2=90，则F1PF2的面积为（ ）A1 B C2 D【解析】 。选A。【变式3】设函数f(x)=Asin(x+j)（其中A0，0，xR），则f(0)=0是f(x)为奇函数的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【解析】若f(0)=0，即sinj=0, j=k（kZ）.f(x)=Asinx或f(x)=-Asinx, f(x)为奇函数，则充分性成立.若f(x)为奇函数，则f(-x)+f(x)=0恒成立，f(0)+f(0)=0, f(0)=0，则必要性成立.选C.类型二：排除法从已知条件出发，通过观察分析或推理运算各选项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论，这种方法称为排除法。排除法常常应用于条件多于一个时，先根据一些已知条件，在选择项中找出与其相矛盾的选项，予以排除，然后再根据另一些已知条件，在余下的选项中，再找出与其矛盾的选项，再予以排除，直到得出正确的选项为止。2.（2015 陕西高考）对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A是的零点 B1是的极值点C3是的极值 D. 点在曲线上【解析】若选项A错误时，则选项B、C、D正确.，因为1为的极值点，3是的极值，所以即解得因为在曲线上，所以，即解得：，.所以，所以，所以-1不是的零点，所以选项A错误.排除B、C、D. 故选A.【总结升华】排除法一般是适用于不易用直接法求解的问题。排除法的主要特点就是能较快的限制选择的范围，从而目标更加明确，这样就可以避免小题大做，小题铸错。认真而又全面的观察，深刻而又恰当的分析，是解好选择题的前提，用排除法解题尤其注意，不然的话就有可能将正确选项排除在外，导致错误。当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法， 举一反三：【变式1】如图是周期为2的三角函数的图象，那么可以写成（ ）A=sin(1+x) B=sin(1x) C=sin(x1) D=sin(1x)【解析】选图象上的特殊点（1，0），易排除A、B，又x=0时，y0，排除C。应选D。【变式2】钝角三角形的三边分别为a，a+1，a+2，其最大角不超过120，则a的取值范围是（ ）A B C D【解析】令a=1，则三边为1，2，3，不能构成三角形。排除A、D。令a=3，则三边为3，4，5，三角形应为直角三角形，排除C，故选B。如果该题用直接法解，设最大角为C，则，这样解起来较麻烦。【变式3】给定四条曲线：，,其中与直线仅有一个交点的曲线是( )A. B. C. D. 【解析】分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中是一个面积最大的椭圆，故可先看，显然直线和曲线是相交的，因为直线上的点在椭圆内，对照选项故选D。【变式4】不等式ax2+ax+b0(a,bZ且a0)的解集是区间(-2,1)，满足这个条件的绝对值最小的a和绝对值最小的b值分别是（ ）A、a=1,b=-2 B、a=-1,b=2 C、a=1,b=2 D、a=-1,b=-2【解析】首先，二次不等式ax2+ax+b0的解集为（-2，1），由二次函数的图象易知，必有a0即x2+x+2b0)的渐近线夹角为，离心率为e,则等于（ ）AeBe2CD【解析】本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为=1，易得离心率e=,cos=，故选C。【总结升华】本题是采用设特殊值的方法进行检验得解的。用特例法解决问题时要注意以下两点：（1）所选取的特殊值或特殊点一定要简单，且符合题设条件；（2）有时因问题需要或选取数值或点不当可能会出现两个或两个以上的选择项都正确，这时应根据问题的题设再恰当地选取一个特殊值或点进行检验，以达到选择正确选项的目的。举一反三：【变式1】函数的定义域为（ ）A B C D【解析】取，代入，无意义，否定C取，代入，无意义，否定A取，代入，有意义，否定B应选D【变式2】如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线对称，则a等于（ ）A B C1 D1【解析】找满足题意的两个特殊位置：和时的函数值相等，故有，解得a=1。应选D。【变式3】如图，过抛物线y=ax2（a0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长别是p、q，则等于（ ）A2a B C4a D【解析】由y=ax2，得，于是抛物线的焦点，取过F且平行于x轴的直线交于P、Q两点，根据抛物线的对称性，得PF=QF，即p=q，且2p等于抛物线的通径，故。应选C。【变式4】函数（0），在区间a，b上是增函数，且，则函数在a，b上（ ）A是增函数 B是减函数C可以取得最大值M D可以取得最小值M【解析】设，则M=1，=1，=0，从而在上不是单调函数且最小值为0而非1。应选C。类型四：数形结合法数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是使抽象思维和形象思维有机结合，通过“以形助数”或“以数解形”，达到使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。例4. （2016 北京高考）设函数若a=0，则f(x)的最大值为_；若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_【答案】2，(-，-1)【解析】如图作出函数g(x)=x3-3x与直线y=-2x的图象，它们的交点是A(-1，2)，O(0，0)，B(1，-2)，由，知x=1是函数g(x)的极大值点，当a=0时，因此f(x)的最大值是f(-1)=2；由图象知当a-1时，f(x)有最大值是f(-1)=2；只有当a-1时，由a3-3a-2a，因此f(x)无最大值， 所求a的范围是(-，-1)，故填：2，(-，-1)【总结升华】用数形结合法解题，图示鲜明直观，形象一目了然，从而便于判定选项，因此用其来解某些问题能起到事半功倍的效果。对于所给出的问题，利用它们所反映的函数图象或者方程的图形以及其他相关的图形直观地表示出来，然后借助图形的直观性和有关概念、定理、性质作出正确的判断，这是数形结合法解选择题的一般规律。举一反三：【变式1】已知an是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和Sn最小的n是（ ）357OnA4B5C6D7【解析】等差数列的前n项和Sn=n2+(a1-)n可表示为过原点的抛物线，又本题中a1=-90, S3=S7,可表示如图，由图可知，n=,是抛物线的对称轴，所以n=5是抛物线的对称轴，所以n=5时Sn最小，故选B。【变式2】如果实数x、y满足(x2)2+y2=3，那么的最大值是（ ）A B C D【解析】圆(x2)2+y2=3的圆心为（2，0），半径，如图：设，则k为直线y=kx的斜率，显然k的最大值在直线y=kx与圆相切时得到，即直线OM的斜率k为最大值，又，|OA|=2，则MOA=60，于是。应选D。【变式3】在圆xy4上与直线4x3y12=0距离最小的点的坐标是（ ）A（，） B(，) C(，) D(，)【解析】在同一直角坐标系中作出圆xy4和直线4x3y12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，应选A.类型五：代入法将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案.例5.（2016 衡阳校级模拟）函数零点所在的一个区间是（ ）A. (-1，0) B. (0，1) C. (1，2) D. (2，3)【答案】C【解析】因为，所以f（1）f（2）0，所以函数零点在区间（1,2）上，选C。【总结升华】代入检验法，适用于题设复杂，选项中的数值较小，结论比较简单的选择题. 检验时，若能据题意，从整体出发，确定代入先后顺序，则能较大提高解题速度.但要注意当选择项中含有关系“或”时，应对关系式中的所有情况代入验证之后，方能确定。举一反三：【变式1】若不等式01的解集是单元素集，则a的值等于（ ）A0 B2 C4 D6 【解析】当a=0时，不等式01的解集显然不是单元素集，排除A，当a=2时，不等式01的解集为1，是单元素集，应选B。【变式2】设集合A=B=N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是（ ）A4 B3 C2 D5【解析】令2n+n=20，把选项逐一代入检验，求得n=4满足，选A。【变式3】已知在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是（ ） A（0，1） B（1，2） C（0，2） D2，+）【解析】由题设知函数为在0，1上的x的减函数，故有a1，可排除A、C。再将a=2代入函数式有，其定义域为（，1），其不满足题设条件，D被排除。应选B。类型六：极限法例6.椭圆的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（ ）A BC D【解析】先考虑极端情况：F1PF2=90由观察可得|PF1|=4，|PF2|=2时，F1PF2为直角。如图，此时可算得P点的横坐标。又由对称性易得符合条件的P点横坐标的取值范围是。应选B。【总结升华】用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案.举一反三：【变式1】不等式组的解集是（ ）A（0，2） B（0，2.5） C（0，） D（0，3）【解析】不等式的“极限”即方程，则只需验证x=2，2.5，和3哪个为方程的根即可，逐一代入，得为方程的根，应选C.【变式2】在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）A（，） B（，）C（0，） D（，）【解析】当正n棱锥的顶点无限趋近底面正多边形的中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻的侧面所成的二面角，且；当棱锥高无穷大且底面相对固定不变时，或者底面无穷小而棱锥高相对固定不变时，正n棱锥又是另一种极限状态，此时，且，应选A. 类型七：一题多解，多角度思考问题例7.若a，b是任意实数，且ab，则（ ）Aa2b2 B Clg(ab)0 D【解析一】直接法ab，由指数函数的单调性可知。应