高考数学总复习三角函数公式及应用(基础)

高考冲刺 三角函数公式及应用编稿：孙永钊 审稿：张林娟【高考展望】高考对三角恒等式部分的考查仍会是中低档题，无论是小题还是大题中出现都是较容易的主要有三种可能：（1）以小题形式直接考查：利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简；（2）以小题形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式；（3）以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查，对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题，主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力复习时，要注重对问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，还要重视相关的思想方法，如数形结合思想、特值法、构造法、等价转换法等的总结和应用，这有利于缩短运算程序，提高解题效率【知识升华】1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在（1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；（2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围（3）证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如， 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式；三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。3.三角函数恒等变形的基本策。常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。项的分拆与角的配凑。如分拆项：;配凑角(常用角变换):、等.降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。4. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos= coscos（-）- sinsin（-） ，1= sin2+cos2，=tan（450+300）等。【典型例题】类型一、三角函数的化简与求值【例1】利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）【思路点拨】利用两角和与差的三角公式逆用可得。【解析】（1）；（2）；（3）【总结升华】解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.【例2】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)(2)(3)(4)(5) 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 根据()的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.【思路点拨】因为(2)中角为15，二倍后为特殊角，所以本题利用由特殊到一般思想选择(2)式进行计算。【解析】(1)选择(2)式计算如下 (2)证明: 【思路点拨】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.举一反三：【变式】利用和、差角余弦公式求、的值. 【思路点拨】把、构造成两个特殊角的和、差. 【解析】 【总结升华】把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用. 【例3】化简【思路点拨】此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ 【解析】思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的. 【总结升华】注意辅助角公式的灵活运用f(x)=asinx+bcosx=sin(x+)(其中cos=,sin=)的形式【例4】求值：.【思路点拨】先切割化弦，再通分后转化为特殊角三角函数求解。【解析】原式的分子，原式的分母，所以，原式【总结升华】（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们打到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。（2）根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负号；（3）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：化为特殊角的三角函数值；化为正、负相消的项，消去求值；化分子、分母出现公约数进行约分求值。（4）化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂，和差化积、积化和差等。举一反三：【变式】已知，求的值【解析】解得=-3或=.类型二、三角函数的给值求值问题【例5】已知函数(其中)的最小正周期为.()求的值;()设、,求的值.【思路点拨】【解析】(),所以. (),所以.,所以.因为、,所以,所以. 【总结升华】1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形举一反三：【变式】已知，且，则的值是 【解析】将两边平方得，所以，则，又，所以，所以，故【例6】已知，求的值。【思路点拨】比较题设中的角与待求式中的角，不难发现或将变化为，再由求解。【解析】方法一：，又。又又方法二：【总结升华】三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。（3）常见的配角技巧类型三、三角函数的给值求角问题BAxyO【例7】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为（1）求tan()的值；（2）求的值【解析】由条件的，因为,为锐角，所以=因此（1）tan()= （2） ，所以为锐角，=。举一反三：【变式】已知向量（）若，求的值； （）若求的值。 【解析】（） 因为，所以于是，故（）由知，所以从而，即，于是.又由知，所以，或.因此，或 类型四、三角恒等式的证明【例8】【思路点拨】一个条件等式的证明，应仔细观察条件与结论的差异，从解决差异入手，结论中为+与的函数，而已知是与2+的函数，将、2+用+、表示解决本题的正确方向。【解析】【总结升华】证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出引进结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。举一反三：【变式1】求证：【证明】左边右边【变式2】求证：tan()tan()2tan2【证明】()()2tan()()tan2tan()tan()2tan2类型五、三角形中的三角函数问题【例9】已知ABC中，A，,求【思路点拨】可通过设一参数k(k0)使,证明出【解析】设 则有，从而=又，所以=2【总结升华】ABC中，等式恒成立。（1）定理的表示形式：；或，（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角例10.(2015 内江三模)已知向量，(1) 当时，求的值；(2) 设函数，已知在中，内角的对边分别为，若，求的取值范围.【思路点拨】利用向量平行的坐标公式和三角变换公式求解即可.【解析】(1) (2) 由正弦定理可得为锐角时，取得最小值由可得：当时取最大值1.【思路点拨】本题主要考查了向量平行的坐标关系，三角恒等变换，解三角形等有关知识。这类题型属于基础题，只要记住公式就能应付自如.举一反三：【变式1】(2015 广州校级二模)在中，内角对边的边长分别是，已知，(1) 若的面积等于求.(2) 若，求的面积.【解析】(1) ，由余弦定理可得: 又解得.(2) 由(1)知解得：的面积为【变式2高清视频三角函数公式及应用 例题5 ID 369144】在ABC中，A、B、C所对的边分别为a,b,c，若b2=ac，求的取值范围.【解析】类型六、三角函数公式的综合应用举一反三：【变式】已知：（1）请说明函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到；（2）设函数图象位于y轴右侧的对称中心从左到右依次为A1、A2、A3、A4、，试求A4的坐标【解析】（1） 所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到（2）函数图象的对称中心为，由得函数的对称中心为， 依次取1，2，3，4可得A1、A2、A3、A4各点，A4的坐标为【总结升华】若函数f(x) 的解析式通通过三角恒等变换可转化为y=asinx