高考数学总复习排列组合、二项式定理(基础)

高考冲刺 排列组合、二项式定理编稿：孙永钊 审稿：张林娟【高考展望】命题角度：该部分的命题就是围绕两个点展开第一个点是围绕排列，组合展开，设计利用排列组合和两个基本原理求解的实际计数问题的试题，目的是考查对排列组合基本方法的掌握程度，考查分类与整合的思想方法，试题都是选择题或者填空题，难度中等或者偏易；第二点是围绕二项式定理展开，涉及利用二项式的通项公式计算二项式中特定项的系数、常数项、系数和等试题，目的是考查对二项式定理的掌握程度和基本的运算求解能力，试题也都是选择题或者填空题，难度中等预计高考对该部分的考查基本方向不变，即考查简单的计数问题、二项式定理的简单应用，但由于排列，组合试题的特点，也不排除出现难度稍大的试题的可能复习建议：该部分的复习以基本问题为主，要点有两个：一个是引导学生掌握解决排列，组合问题的基本思想，即分类与分步的思想，使学生在解题时有正确的思维方向；一个是掌握好二项展开式的通项公式的应用，这是二项式定理的考查核心【知识升华】一、排列与组合1、分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.2、排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.3、排列与组合的主要公式排列数公式： (mn)A=n! =n(n1)(n2) 21.组合数公式：(mn).组合数性质：(mn). 4、分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并能完成事项.5、界定“元素与位置”要辩证地看待，“特殊元素”、“特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理. 6、解排列组合综合问题注意先选后排的原则，复杂的排列、组合问题利用分类思想转化为简单问题求解.7、常见的解题策略有以下几种：（1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；（8）分排问题直排处理的策略；（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10）构造模型的策略.二、二项式定理1、二项式定理(a +b)n =Can +Can1b+Canrbr +Cbn，其中各项系数就是组合数C，展开式共有n+1项，第r+1项是Tr+1 =Canrbr.2、二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项Tr+1=Canrbr(r=0,1,n)叫做二项展开式的通项公式。3、二项式系数的性质在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C= C(r=0,1,2,n).若n是偶数，则中间项(第项)的二项公式系数最大，其值为C；若n是奇数，则中间两项(第项和第项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C= C.所有二项式系数和等于2n，即C+CC+C=2n.奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C+C+=C+C+=2n1.4、二项式定理解题：四大热点，四条规律：（1）四大热点：通项运用型；系数配对型；系数和差型；综合应用型.（2）四条规律：常规问题通项分析法；系数和差赋值法；近似问题截项法；整除（或余数）问题展开法. 【典型例题】类型一、分类计数原理与分步计数原理【例1】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？【思路点拨】颜色可以反复使用，即说明在不相邻的小方格内可以使用同一种颜色，首先确定第一个小方格的涂法，再考虑其相邻的两个小方格的涂法【解析】如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法1234当第2、第3个小方格涂不同颜色时，有12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法由分步计数原理可知，有5123180(种)不同的涂法；当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知，有54480(种)不同涂法由分类加法计数原理可得，共有18080260(种)不同的涂法【总结升华】涂色问题的解决方法(1)涂色问题没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个原理与排列组合的知识灵活处理，其难点是对相邻区域颜色不同的处理，解决的方法往往要采用分类讨论的方法，根据“两个原理”计算(2)本题也可以考虑对使用的颜色的种数进行分类，如果使用2种颜色，则只能是第1,4涂一种、第2,3涂一种，方法数是20；若是使用3种颜色，若第1,2,3方格不同色，第4个方格只能和第1个方格相同，方法数是60，如果第1,2,3方格只用两种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，方法数是3260；如果使用4种颜色，方法数是120.根据加法原理总的涂法种数是260.举一反三：【变式】某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_(用数字作答)【答案】7 200【解析】其中最先选出的一个有30种方法，此时这个人所在的行和列不能再选人，还剩一个5行4列的队形，选第二个人有20种方法，此时该人所在的行和列不能再选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是3020127 200.【例2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种 B10种 C9种 D8种【思路点拨】先安排教师、再配之学生即可，再根据分步乘法计数原理求之【答案】A 【解析】分别从2名教师中选1名，4名学生中选2名安排到甲地参加社会实践活动即可，则乙地就安排剩下的教师与学生，故不同的安排方法共有12种故选A.【总结升华】两个基本原理是解决计数问题的根据，在计数问题中一般是先根据不同情况进行分类，然后对于每一类的计数问题再分步完成，根据分步乘法计数原理求出每类的数目，最后使用分类加法计数原理得到结果举一反三：【变式1】在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有()A34种 B48种C96种 D144种【答案】C【解析】先实施A，有2种编排方法；再将程序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个程序全排列共有2种编排方法；故实验顺序的编排方法共有2296种故选C.【变式2】某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_(用数字作答)【答案】1200【解析】其中最先选出的一个有30种方法，此时这个人所在的行和列共10个位置不能再选人，还剩一个5行4列的队形，选第二个人有20种方法，此时该人所在的行和列不能再选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是1200种类型二、排列与组合【例3】(1)从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是A12B24C36D48(2)值域为2,5,10，其对应关系为yx21的函数的个数为A1 B27 C39 D8【思路点拨】(1)分“选甲”与“不选甲”两类进行讨论；(2)根据函数的值域，求出函数定义域中可能包含的元素，分类讨论确定其定义域【答案】(1)D(2)B【解析】(1)若选甲，则有种排法；若不选甲，则有A种排法，则共有48(种)(2)分别由x212，x215，x2110解得x1，x2，x3，由函数的定义，定义域中元素的选取分四种情况：取三个元素：有8(种)；取四个元素：先从1，2，3三组中选取一组C，再从剩下的两组中选两个元素，故共有12(种)；取五个元素：6(种)；取六个元素：1种由分类计数原理，共有8126127(种)【总结升华】排列、组合问题的解法：解排列组合综合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手“分析”就是找出题目的条件、结论哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决举一反三：【变式1】某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A14 B24 C28 D48【答案】A【解析】选1名女生的方案有：种；选2名女生的方案有：种；故至少选1名女生共有：14种方案【变式2】用0,1,2,3,4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是A36 B32 C24 D20【答案】D【解析】0,1,2,3,4五个数字，偶数字相邻，奇数字也相邻的排法共有种排法，其中0在首位的排法有种，所以共有20个五位数【例4】一排9个座位坐了3个三口之家若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33! B3(3！)3 C(3！)4 D9!【思路点拨】将一家三口作为为一个集团，三个集团全排列 ，再根据分步乘法计数原理得解；【答案】C【解析】由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列，而后每个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为(3！)4.【总结升华】本题是元素相邻的排列，只要把相邻元素看作一个整体即可举一反三：【变式】 (1)某市端午期间安排甲、乙等6支队伍参加端午赛龙舟比赛，若在安排比赛赛道时不将甲安排在第一及第二赛道上，且甲和乙不相邻，则不同的安排方法有()A96种 B192种C216种 D312种(2)从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有_种【答案】(1)D(2)96【解析】(1)若甲在第三、四、五道，则乙的安排方法有三种，此时方法数是33216；若甲在第六道，则乙的安排方法有四种，此时的方法数是496.故总数为21696312.(2)选出的4名学生如果不含甲，则方法数为24；选出的5名学生如果含甲，选法为，甲的参赛方法数是3，其余3个学生全排列，方法数是372.根据分类加法计数原理，总的方法数是247296.【例5】在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且女医生不安排在同一乡医院工作，则不同的分配方法总数为()A78 B114 C108 D120【思路点拨】先分组后分配，然后减去两名女医生在一个医院的情况【答案】B【解析】五人分组有(1,1,3)，(1,2,2)两种分组方案，方法数是25，故分配方案的总数是25150种当仅仅两名女医生一组时，分组数是C，当两名女医生中还有一名男医生时，分组方法也是，故两名女医生在一个医院的分配方案是636.符合要求的分配方法总数是15036114.【总结升华】在分配问题中如果待分配的元素数目多余分配的位置数目，就要先分组然后再进行分配举一反三：【变式】2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有_种(用数字作答)【答案】24【解析】把需要相邻的两个元素看做一个整体，然后不相邻的元素外的元素进行排列，在隔出的空位上安排需要不相邻的元素.2件书法作品看做一个整体，方法数是2，把这个整体与标志性建筑作品排列，有种排列方法，其中隔开了三个空位，在其中插入2件绘画作品，有方法数6.根据乘法原理，故共有方法数22624.【例6高清视频：复数 排列组合二项式定理例6 课程ID:369691】在直线中，a，b，c是取自集合中的3个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线有多少条？【思路点拨】把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a，b，c”的情况讨论。【解析】设直线的倾斜角为，并且为锐角。则tan=0,不妨设ab,那么b0当c0时,则a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法,并且其中任意两条直线不重合,所以这样的直线有334=36条当c=0时, a有3种取法,b有3种取法, 其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以这样的直线有33-2=7条故符合条件的直线有7+36=43条类型三、二项式定理例7（1）（2015 漳州二模）设a=，则二项式展开式中的x3项的系数为（）A20B20C160D160(2)（2015 浙江模拟）已知（ax）5=a0+a1x+a2x2+a5x5，若a2=80，则a0+a1+a2+a5=（）利用二项展开式的通项求出通项，令x的指数为2求出a2，列出方程求出a，令二项展开式的x=1求出展开式的系数和A32B1C243D1或243【思路点拨】(1)计算定积分求得a的值，在二项式 展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3项的系数(2) 利用二项展开式的通项求出通项，令x的指数为2求出a2，列出方程求出a，令二项展开式的x=1求出展开式的系数和(1)【答案】C【解析】由于a=（sinx+cosx）=2，则二项式 展开式的通项公式为 Tr+1=x122r=（2）rx123r，令123r=3，解得r=3，故展开式中的x3项的系数为820=160，故选C(2)【答案】B【解析】（ax）5展开式通项为Tr+1=（1）ra 5rC5rxr令r=2得a2=a3C52=80，知a=2令二项展开式的x=1得18=1=a0+a1+a8故选B【总结升华】五招制胜，解决二项式问题二项式定理是一个恒等式，应对二项式定理问题主要有五种方法：(1)特定项问题通项公式法；(2)系数和与差型问题赋值法；(3)近似问题截项法；(4)整除(或余数)问题展开法；(5)最值问题不等式法在二项式定理问题中，常见的误区有：(1)二项展开式的通项Tk1中，项数与k的关系搞不清；(2)二项式系数与各项的系数混淆不清；(3)在展开二项式(ab)n或求特定项时，忽略中间的“”号举一反三：【变式】（2015 成都校级模拟）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A15B20C30D120【答案】A【解析】二项展开式中中间项的二项式系数最大又二项式系数最大的项只有第4项展开式中共有7项n=6展开式的通项为=C6rx123r 令123r=0，r=4，展开式的常数项为T5=C64=15故选A【例8】(1) 的展开式的常数项是()A3 B2 C2 D3(2)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12【思路点拨】(1)要求展开式中常数项需使用多项式乘法法则 ，先求展开式中x2的系数和常数项，再根据多项式乘法法则得结果；(2)要求a值需知512 012被13除所得余数，先变形514131后使用二项式定理得之，再根据余数确定a值【答案】(1)D(2)D【解析】(1)因为，又展开式中的常数项为2，展开式中的常数项为5，故二项式展开式中的常数项为253.(2)512012aa(1341)2 012a(1134)2012a14(134)2 (134)2 012，显然当a113k，kZ，即a113k，kZ时，512 012a13k134 (134)1(134)2 011，能被13整除因为aZ，且0a13, 所以a12.故选D.【总结升华】两个二项式相乘时求其中某项的系数，需要根据多项式乘法法则进行，此时要注意不要漏掉了其中的项，要把各种可能的情况都考虑进去；二项式定理解决整除性问题时，需要构造二项式，基本原则是根据除数对已知式进行变换举一反三：【变式】(1) 展开式中的常数项为()A1 B46 C4245 D4246(2) 的展开式中，含x的非整数次幂的项的系数之和为()A256 B184 C120 D72【答案】(1)D(2)B【解析】 (1)第一个展开式中x的指数依次是0，1，2，第二个展开式中x的指数依次是0，1，2，根据多项式的乘法规则，常数项只能是第一个展开式中x的指数是0,1,2的项与第二个展开式中x的指数是0，1，2的对应项的乘积，根据二项式的通项公式得，展开式中的常数项为14246.正确选项为D.(2)Tr1，当r0,4,8时为含x的整数次幂的项，所以展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为72，展开式所有项的系数之和为28256，故展开式中含x的非整数次幂的项的系数之和为25672184.【例9】设则中奇数的个数为（ ）A2B3C4D