高考数学必修知识讲解直线、平面平行的性质提高

直线、平面平行的性质【学习目标】1.掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；2.掌握两个平面平行的性质定理及其应用；3能综合运用直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理解决相关问题【要点梳理】【高清课堂：线面平行的判定与性质 399459知识讲解2】要点一、直线和平面平行的性质文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.符号语言：若，则.图形语言：要点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”可以用符号表示：若a，则ab这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a；（2）平面和相交，即；（3）直线a在平面内，即三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误【高清课堂：空间面面平行的判定与性质399113知识讲解】要点二、平面和平面平行的性质文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：若，则.图形语言：要点诠释：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）要点三、平行关系的综合转化空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行这三种关系不是孤立的，而是互相联系的它们之间的转化关系如下：证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：空间之中两直线，平行相交和异面线线平行同方向，等角定理进空间判断线和面平行，面中找条平行线；已知线和面平行，过线作面找交线要证面和面平行，面中找出两交线线面平行若成立，面面平行不用看已知面与面平行，线面平行是必然若与三面都相交，则得两条平行线【经典例题】类型一：直线与平面平行的性质例1四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH求证：APGH【解析】如图，连接AC交BD于O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，APOM根据直线和平面平行的判定定理，则有PA平面BMD平面PAHG平面BDM=GH，根据直线和平面平行的性质定理，PAGH【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论举一反三：【高清课堂：线面平行的判定与性质 399459例3】【变式1】已知直线平面，直线平面，平面平面=，求证证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，平面，平面，又平面，平面，平面，又平面，平面平面=，又，【总结升华】证明线线平行的问题，往往可以先证线面平行，由线面平行得出线线平行，这是立体几何中证明线线平行最常用的方法之一例2如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面，且AB、CD在的两侧，若AC、BD与分别交于M、N两点，求证：【解析】如图所示，连接AD交平面于Q，连接MQ、NQMQ、NQ分别是平面ACD、平面ABD与的交线CD，AB，CDMQ，ABNQ于是，【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线MQ和NQ举一反三：【变式1】如图所示，在三棱锥PABC中，PA=4，BC=6，与PA、BC都平行的截面四边形EFGH的周长为，试确定的取值范围【解析】与PA、BC平行的截面四边形EFGH应有二边平行于PA，另二边平行于BC，故它是一个平行四边形，同理，四边形EFGH的周长=2（EF+FG）=+=8+4因为0PF/PB1,截面四边形EFGH的周长l应大于小于12，8l12.类型二：平面与平面平行的性质例3（2015秋 葫芦岛月考）如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF平面ACE（1）求三棱锥DAEC的体积；（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAE 【思路点拨】（1）转化顶点，以平面ADC为底，取AB中点O，连接OE，因为OEAB，OEAD，得到OE面ADC，所以OE为底面上高，分别求得底面积和高，再用三棱锥的体积公式求解；（2）在ABE中过M点作MGAE交BE于G点，在BEC中过G点作GNBC交EC于N点，连MN，证明平面MGE平面ADE，可得MN平面ADE，从而可得结论【答案】（1）；（2）略【解析】（1）取AB中点O，连接OE，因为AE=EB，所以OEAB因为AD面ABE，OE面ABE，所以OEAD，所以OE面ABD因为BF面ACE，AE面ACE，所以BFAE因为CB面ABE，AE面ABE，所以AEBC又BFBC=B，所以AE平面BCE又BE面BCE，所以AEEB所以AEB为等腰直角三角形，所以，所以AB边上的高OE为，所以（2）在ABE中过M点作MGAE交BE于G点，在BEC中过G点作GNBC交EC于N点，连MN，所以因为MGAE，MG平面ADE，AE平面ADE，所以MG平面ADE同理，GN平面ADE，且MG与GN交于G点，所以平面MGE平面ADE又MN平面MGN，所以MN平面ADE所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点举一反三：【变式1】 已知面平面，点A，C，点B，D，直线AB，CD交于点S，且SA=8，SB=9，CD=34（1）若点S在平面，之间，则SC=_；（2）若点S不在平面，之间，则SC=_【答案】（1）16 （2）272【变式2】（2016 辽宁丹东一模）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中点（1）证明：EDPE；（2）在线段PA上确定点G，使得FG平面PED，请说明理由【思路点拨】（1）由PA平面ABCD先证明DEPA连接AE，由勾股定理证明DEAE，通过证明DE平面PAE，即可得证PEED（2）过点F作FHED交AD于点H，再过点H作HGDP交PA于点G，通过证明平面GEH平面PED，然后证明EG平面PFD【答案】详见解析【证明】（1）由PA平面ABCD，得DEPA，连接AE，因为AD=2AB，所以由勾股定理可得DEAE所以DE平面PAE，因此PEED（2）过点F作FHED交AD于点H，则FH平面PED，且有再过点H作HGDP交PA于点G，则HG平面PED，且由面面平行的判定定理可得平面GEH平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG平面PFD，从而确定G点位置类型三：线面平行的判定与性质的综合应用例4如图所示，已知平面平面，AB与CD是两条异面直线，且AB，CD如果E，F，G分别是AC，CB，BD的中点，求证：平面EFG【解析】由已知条件可知EFAB，FGCDEF，FG与CD可确定一个平面，设BM=平面CDGF，由于，故有CDBMFGBMFG如果E，F，G三点共线，则有G平面ABCBG平面ABCD平面ABC，即A，B，C，D共面，与AB，CD是异面直线矛盾故E，F，G三点不共线，即EF与FG是平面EFG内的两条相交直线平面EFG，而，故平面EFG【总结升华】（1）要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意相互转化，使之统一（2）要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题，在作辅助线和辅助平面时，必须有理论依据，也就是要以某一定理为依据，切忌主观臆断，随意地作辅助线、辅助平面例5.如图，已知正方体中，面对角线、上分别有两点E、F，且，求证：EF平面ABCD证明：证法一：过E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN平面ABCD，AB，BC，EM，FN，EMFN，=，=，AE=BF，又=45，RtAMERtBNF，EM=FN四边形MNFE是平行四边形，EFMN又MN平面ABCD，EF平面ABCD证法二：过E作EGAB交于G，连接GF，FGBC又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD又EF平面EFG，EF平面ABCD总结升华：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或直线，并抓住一些平面图形的几何性质举一反三：举一反三：【变式1】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B平面BB1C1C（1）求证：BC平面AB1C1；（2）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由【思路点拨】（1）由BCB1C1，证明BC平面AB1C1；（2）E，F，H，G四点不共面，通过证明点F平面EHG，即F平面AA1C1C，且平面AA1C1C平面EFH即可【证明】（1）在菱形BB1C1C中，BCB1C1，因为BC平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，所以BC平面AB1C1；（2）E，F，H，G四点不共面，理由如下：因为E，G分别是B1C，B1C1的中点，所以GECC1，同理可证：GHC1A1；因为GE平面EHG，GH平面EHG，GEGH=G，CC1平面AA1C1C，A1C1平面AA1C1C，所以平面EHG平面AA1C1C；又因为F平面AA1C1C，所以F平面EHG，即E，F，H，G四点不共面例