高考数学必修知识讲解函数模型的应用举例提高

函数模型的应用实例【学习目标】1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.【要点梳理】【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】要点一：解答应用问题的基本思想和步骤1.解应用题的基本思想2.解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).要点二：解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.【典型例题】类型一、已建立函数模型的应用题例1. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：，其中x是仪器的月产量。（1）将利润表示为月产量的函数f (x)。（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）【思路点拨】这里已有函数模型，只需对分段讨论，写出利润的表达式即可【答案】（1）；(2) 每月生产300台仪器时，利润最大。最大利润为25000元。【解析】（1）设每月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而。（2）当0x400时，当x=300时，有最大值25000；当x400时，f (x)=60000100x是减函数，f (x)6000010040025000。当x=300时，f (x)的最大值为25000。每月生产300台仪器时，利润最大。最大利润为25000元。【总结升华】 由题目可获取以下主要信息：总成本=固定成本+100x；收益函数为一分段函数。解答本题可由已知总收益=总成本+利润，利润=总收益总成本。由于R (x)为分段函数，所以f (x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题。分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者。分段函数应用题是高考命题的热点。举一反三：【变式1】 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。【答案】0.943105.【解析】 这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01105 Pa和x=1000 m时y=0.90105 Pa可求。将x=0，y=1.01105，x=1000，y=0.90105分别代入函数关系式y=cekx中，得，。将c=1.01105代入0.90105=ce1000k中得0.90105=1.01105e1000k，。由计算器算得k=1.15104，。将x=600代入上述函数关系式得，由计算器算得y=0.943105 Pa。答：600 m高空的大气压强约为0.943105 Pa。【总结升华】 函数y=cakx（a、c、k为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数即可。类型二、自建函数模型的应用问题例2.某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8 m，最大装水量为72 ，池底和池壁的造价分别为2a元、a元，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值。【答案】另一边和长方体高都设计为3m时，总造价最低，最低造价为114a元【解析】设池底一边长为x，水池的高为y，总造价为z，由最大装水量知8xy=72， 当且仅当即时，总造价最低，答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为3m时，总造价最低，最低造价为114a元 【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数在（0，+）上的单调性求最值，请同学们自己试解举一反三：【变式1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f (x)的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价成本）【答案】（1）当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元。（2）（3）当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000。【解析】（1）设零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则。因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元。（2）当0x100时，P=60。当100x550时，。当x550时，P=51。（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000。因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个时，利润是11000元。【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例3】例3在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为，每个工作台上有若干名工人现要在与之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值【答案】（1）；（2）【解析】设供应站位置坐标为，则各工人到零件供应站距离之和为。（1）故当且仅当时，此时。答：当供应站修建在时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为（2） =由于函数单调递减所以时，又当时，故当时，均有答：当供应站修建在时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为。【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例4】例4提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数（）当时，求函数的表达式；（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度与车流速度v之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。【答案】（）（）100 3333【解析】（）由题意：当；当再由已知得故函数的表达式为 （）依题意并由（）可得当为增函数，故当时，其最大值为6020=1200；当，所以，当时，在区间20，200上取得最大值综上，当时，在区间0，200上取得最大值即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时举一反三：【变式1】（2016 黄浦区模拟）有一块铁皮零件，其形状是由边长为40 cm的正方形截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，其中AF=12 cm，BF=10 cm，如图所示现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN，使得矩形相邻两边分别落在CD，DE上，另一顶点P落在边CB或BA边上设DM=x cm，矩形DMPN的面积为y （1）试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于x的函数解析式，并写出定义域（2）试问如何截取（即x取何值时），可使得到的矩形DMPN的面积最大？【答案】（1），定义域D=（0，40；（2）当时，y的最大值为【解析】（1）依据题意并结合图形，可知：10当点P在线段CB上，即0x30时，y=40x；20当点P在线段BA上，即30x40时，由，得于是，所以，定义域D=（0，40（2）由（1）知，当0x30时，0y1200；当30x40时，当且仅当时，等号成立因此，y的最大值为答：先在DE上截取线段，然后过点M作DE垂线交BA于点P，再过点P作DE的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为类型三、拟合函数模型的应用问题这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）。为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法。例5.某县20062011年财政收入情况：年份200620072008200920102011收入(万元)258993050437997488986680085000(1)请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2012年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性【解析】(1)利用描点法，过A(1，2.59)，B(2，3.05)，C(3，3.80)，D(4，4.89)，E(5，6.68)，F(6，8.50)画一条光滑的曲线，如图所示，其中年份第一年为2006年，第二年为2007年，其它依次类推通过直观判断函数图象，它可以和前面已学过的两种函数模型进行比较：模型一：设(a0，a1)，将A、B、C三点的坐标代入，得.计算得4.57，5.73，7.30，它们与实际的误差分别为0.32，0.95，1.20模型二：设(a0，x1)，将A、B、C三点的坐标代入，得计算得4.84，6.17，7.79，它们与实际的误差分别为0.05，0.51，0.71对两个函数模型进行对比，发现与实际的误差较小，所以用函数模型(x1)较好（2）设年财政收入平均增长率为a，由2006年和2011年财政收入，则有2.59(1+a)5=8.5，解得a26.83%从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型：用和分别预测2012年的财政收入是：=9.7(亿)，=10.78(亿)从该县经济发展趋势看，两种预测都有可能，但是选择模型比较稳妥【总结升华】在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型举一反三：【变式1】某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标。2006年，某汽车年销量8万辆；2007年，某汽车年销量18万辆；2008年，某汽车年销量30万辆。如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a0），指数函数型g (x)=abx+c（a0，b1，b0），哪个模型能更好地反映该公司年销