高考数学必修知识讲解函数与方程提高

函数与方程【学习目标】(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.【要点梳理】要点一：函数的零点 1.函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；函数的零点就是方程的实数根归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.要点诠释：满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的故在内有零点，不一定有若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点（3）利用数形结合法函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系（1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：当x1x2k时，有；当kx1x2时，有；当x1kx2时，；当x1，x2（k1，k2）时，有；当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有要点诠释：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧设一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个实根为x1，x2，且x1x2；x1=0，x20c=0，且；x10，x2=0c=0，且要点三：二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为.计算和，并判断：如果，则就是的零点，计算终止；如果，则零点位于区间中，令；如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 .计算和，并判断：如果，则就是的零点，计算终止；如果，则零点位于区间中，令；如果，则零点位于区间中，令；继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：区间长度尽量小；、的值比较容易计算且（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根【经典例题】类型一、求函数的零点例1. 求下列函数的零点.(1) ；(2)；（3）【答案】（1）-3，1；（2）-1，1；（3）-2，0，2【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根. (1) 由，令，得，故函数零点是-3，1；(2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是-1，1；(3)令，即，即，得，故函数的零点是-2，0，2【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.【答案】（1）；（2）-3，1，2【解析】(1) 令，即，得(2)方程可化为由知所以函数的零点为；函数的零点为-3，1，2.【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.【变式2】已知函数，当时，函数的零点,则 【答案】2 .【解析】用数形结合法 作出 及的图象，作出 及的图象由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故 类型二、函数零点的存在性定理例2函数的零点所在的大致区间是（ ）A（1，2） B（2，3） C和（3，4） D（e，+）【答案】 B【解析】 从已知的区间（a，b）中，求和，判断是否有，在（1，2）内无零点，A错；又，在（2，3）内有一个零点【总结升华】这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间a，b的端点值的乘积是否满足，还要看函数的图象在a，b上是否是连续曲线即可解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案利用函数零点的存在性定理判定函数的零点（或方程的实根）所在的大致区间，有时比用数形结合（即作出两函数y=ln x与的图象，再确定两图象交点的横坐标所在的大致区间）更简捷，因此要善于灵活运用函数零点的存在性定理来分析解决问题举一反三：【高清课程：函数与方程377543 例3】【变式1】若函数，则下列判断正确的是（ ）A方程f（x）=0在区间0，1内一定有解B方程f（x）=0在区间0，1内一定无解C函数f（x）是奇函数D函数f（x）是偶函数【答案】A【变式2】 根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的最小区间为 -101230.3712.727.3920.09 1 2 3 4 5【答案】【解析】令，由表格中数据知=0.37-1=-0.630,f(0)=1-2=-10,f(1)=2.72-3=-0.280,f(3)=20.09-5=15.090,由于，所以根所在的最小区间为（1，2）【高清课程：函数与方程377543 例5】【变式3】若方程在（0，1）恰好有一解，求a的取值范围【答案】【解析】（1）当时，方程为，不满足题意舍去（2）当时，令，分情况讨论：，不满足题意舍去，若且即，满足题意若且即时，的另一解是综上所述，满足条件的的取值范围是类型三、利用函数图象求函数的零点个数例3已知函数，1是函数F（x）=f（x）+2的一个零点，且对于任意xR，恒有f（x）2x成立，求实数a，b的值【思路点拨】根据1是F（x）的一个零点知F（1）=lgblga+1=0，而由对任意xR，恒有f（x）2x成立可得：恒成立所以，带入lga=lgb+1可得：，所以便得到b=10，a=100【答案】a=100，b=10【解析】由已知条件知，F（1）=0；lgblga+1=0；又f（x）2x恒成立，有恒成立；由将 lgblga+1=0得，lga=lgb+1；故lgb=1，即b=10，则a=100【总结升华】考查函数零点的概念，以及一元二次不等式解的情况和判别式的关系，以及对数的运算举一反三：【变式1】关于x的方程(x21)2|x21|+k=0，给出下列四个命题：存在实数k，使得方程恰有2个不等的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不等的实根；存在实数k，使得方程恰有5个不等的实根；存在实数k，使得方程恰有8个不等的实根 其中假命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】A【解析】 据题意令|x21|=t（t0） ，则原方程化为 t2t+k=0 ，作出函数y=|x21|的图象如图，结合函数的图象可知：当t=0或t1时，方程有2个不等的实根；当0t1时，方程有4个不等的实根；当t=1时，方程有3个不等的实根（1）当时，方程t2t+k=0存在2个不等的小于1的正实根，原方程就存在8个不等的实根；（2）当k=0时，t=0或t=1，原方程存在0，1，1，共5个不等的实根；（3）当时，原方程存在共4个不等的实根；（4）当k0时，一元二次方程t2t+k=0的根为一正一负，且两根之和为1，可知方程t2t+k=0的正根t1，故原方程只有2个不等的实根；（5）当时，方程无实根，故原方程无实根故选A类型四、一元二次方程根的分布例4（2016 广州模拟）已知二次函数，满足f（0）=2，f（x+1）f（x）=2x1（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式f（x）t0在1，2上有解，求实数t的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）mx的两个零点分别在区间（1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围【思路点拨】（1）通过f（0）=2，求出c，利用f（x+1）f（x）=2x1，求出a，b，得到函数的解析式（2）求出函数f（x）的对称轴，然后求解，列出关系式即可求解实数t的取值范围为（，5）（3），若g（x）的两个零点分别在区间（1，2）和（2，4）内，利用零点存在定理列出不等式组求解即可【答案】（1）；（2）（，5）；（3）【解析】（1）由f（0）=2，即c=2，又f（x+1）f（x）=2x1，得2ax+a+b=2x1，故，解得：a=1，b=2，所以（2），对称轴为x=11，2，又f（1）=5，f（2）=2，所以=f（1）=5关于x的不等式f（x）t0在1，2有解，则t=5，所以实数t的取值范围为（，5）（3），若g（x）的两个零点分别在区间（1，2）和（2，4）内，则满足解得：，所以实数m的取值范围为【总结升华】本题考查二次函数的最值的求法，零点存在定理的应用，考查分析问题解决问题的能力例5若二次函数y=x2+mx1的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围【答案】 【解析】 先求出线段AB的方程，之后将图象交点问题转化为方程组解的问题，再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式组求得m范围 线段AB的方程为x+y=3（0x3），由题意得方程组有两组实解代入得x2(m+1)x+4=0（0x3）有两个实根，令因此问题转化为二次函数在x0，3上有两个不同的实根，故有，解得故m的取值范围是【总结升华】本题解法体现了函数与方程的思想：从列方程（组）开始，通过消元得到一元二次方程，对这个方程实根的研究转化为二次函数f(x)在0，3的实根，又转化为二次函数f(x)在0，3上与x轴有两个交点的问题，最后建立m的不等式组求出m的取值范围，整个解题过程充满了对函数、方程和不等式的研究和转化，充分体现了函数方程思想的应用举一反三：【变式1】 关于x的方程ax22(a+1)x+a1=0，求a为何值时：（1）方程有一根；（2）方程有一正一负根；（3）方程两根都大于1；（4）方程有一根大于1，一根小于1【答案】（1）或（2）（3）不存在实数（4）【解析】（1）当a=0时，方程变为2x1=0，即，符合题意；当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得综上可知，当或时，关于的方程ax22(a+1)x+a1=0有一根（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得又解得（3）方程两根都大于1，图象大致如图所以必须满足或两不等式组均无解所以不存在实数，使方程两根都大于1（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图所以必须满足或解得类型五、用二分法求函数的零点的近似值例6.求函数的一个正数零点(精确到0.1).【答案】1.7【解析】由于，可取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值1，21.5-2.6251.5，21.750.23441.5，1.751.625-1.30271.625，1.751.6875-0.56181.6875，1.751.71875-0.1709由上表计算可知，区间1.6875，1.75的长度1.75-1.6875=0.06250.1，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.【总结升华】应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.举一反三：【变式1】根据表格内的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ） x10123ex0.3712.727.3920.08x+212345A（1，0） B（0，1） C（1，2） D（2，3）【思路点拨】令，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置【答案】C【解析】由上表可知，令，则f（1）0.37+120，f（0）=102=10，f（1）2.72120，f（2）7.39220，f（3）20.09320故f（1）f（2）0，故选：C类型六、用二分法解决实际问题例7 学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为107，问30名工人如何分组（一组制作课桌，一组制作椅子）能使任务完成最快？【答案】 13人 、17人【解析】 设x（1x29，xN）名工人制作课桌，（30x）名工人制作椅子一名工人在一个单位时间里可制作7张桌子或10把椅子，所以制作100张课桌所需的时间，制作200把椅子所需要的时间要想任务完成最快，则应求y=maxP(x)，Q(x)的最小值，该函数图象如图3-1-2-5中实线部分所示，则x0即为y取最小值时的x的值此时P(x)=Q(x)，下面用二分法的知识求x0的整数值令，则，所以x0（1，29）；取中点，f(15)0.380，所以x0（1，15）；同理可得x0（8，15），x0（11.5，15），x0（11.5，13.25），x0（12.375，13.25），x0（12.375，12.8125），又因为x0N，所以x0=12或x0=13当x0=12时，y=maxP(x)，Q(x)1.19；当x0=13时，y=maxP(x)，Q(x)1.181.19，所以取x0=13，即用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子，可使任务完成最快【总结升华】首先将问题转化为求函数的最值问题，然后用二分法求方程的解本题也可以直接求方程的解举一反三：【变式1】 某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价