高考数学选修知识讲解 排列（理）(2)

排 列 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1理解排列的概念.2能利用计数原理推导排列数公式3能利用排列数公式解决简单的实际问题【要点梳理】要点一、排列的概念1. 排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列要点诠释:（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列要点二：排列数1.排列数的定义从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.要点诠释: （1）“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；（2）排列数是指“从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数比如从3个元素a、b、c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一列，有如下几种：ab，ac，ba，bc，ca，cb，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号表示排列数，在此题中2排列数公式 ，其中n，mN+，且mn要点诠释:(1)公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数。(2)公式含义：的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。第一步：在第一个空位填一个元素，有种方法；第二步：在第二个空位填一个元素，有种方法；由分步计数原理完成上述填空共有种填法，=.求可以理解为：从个元素中任取个不同的元素去填空（不能重复），第一步：在第一个空位填一个元素，有种方法；第二步：在第二个空位填一个元素，有种方法；第三步：在第三个空位填一个元素，有种方法；第步：在第个空位填一个元素，有种方法；依据分步记数原理，共有种方法。要点三：阶乘表示式 1全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列。全排列.2阶乘的概念：把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘.表示：，即.规定：3. 排列数公式的阶乘式： 所以要点四：排列的常见类型与处理方法1. 相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素2. 相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的空隙及两端位置3. 元素分析法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素。4. 位置分析法：以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置。要点诠释：当用以上方法正面求解，情况较复杂时，可考虑用排除法。即：直接考虑情况较多，但其对立面情况较少，先不考虑附加条件，计算出排列数，再减去不合要求的排列数。【典型例题】类型一、与排列数有关的运算例1计算：（1）；（2）；（3）【解析】（1）（2）（3）【总结升华】利用排列数公式要准确把握公式的结构特征就是从n起，依次减“1”的m个正整数之积。举一反三：【变式1】若nN，将(55n)(56n)(68n)(69n)用排列数符号表示【答案】先确定最大数，即69n，再确定因式的个数为(69n)(55n)+1=15 则由排列数公式得【变式2】解方程：3 【答案】由排列数公式得：， ，即，解得 或，且，原方程的解为类型二、排列的定义及其理解例2 判断下列问题是否是排列问题： （1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除）可得到多少个不同的结果？ （2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘）可得到多少个不同的结果？ （3）某班有50名同学，约定每两人通一次信，共需写信多少封？ （4）某班有50名同学，约定相互握手一次，共需握手多少次？ （5）平面内有10个点，无任何三点共线，由这些点可连射线多少条？ 【思路点拨】 判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系，具体问题中取出的元素与顺序有无关系，由问题的条件和性质决定，认清问题的性质是作出正确判断的前提与关键 【解析】根据排列的定义可知：（1）、（3）、（5）是排列问题【总结升华】 判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有序还是无序，有序则是排列；否则不是排列 举一反三：【变式1】从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？【答案】这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素。【变式2】判断下列问题是否是排列问题： （1）从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ （2）从10名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的选取方法？【答案】（1）由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题 （2）因为任何一种从10名同学中选取两人去学校开目谈会的方式不需要考虑两人的顺序，所以这不是排列问题 综上，（1）是排列问题，（2）不是排列问题例3某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？【思路点拨】本题是从14个队中选出2个安排比赛，因为有主客场，所以有次序问题，属于排列问题。【解析】 任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列因此，比赛的总场次是=1413=182. 【总结升华】当根据题意判断出问题是排列问题，则可根据排列数公式进行计算。举一反三：【变式1】从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？【答案】20；问题可以看作5个元素中任取2个元素的一个排列；【变式2】 某小组6个人排队照相留念，若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？【答案】分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第36个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题(种)【变式3】由1，2，3，4，5这五个数字，能够组成多少个没有重复数字的三位数？能够组成多少个三位数？【答案】 从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个分别排在百位、十位、个位上有：（个）能组成60个无重复数字的三位数。 可分三步完成，第一步从1，2，3，4，5这五个数字中任选一个排在百位有种不同的排法；由于允许重复，所以第二步排十位也有种不同的排法；第三步排个位也有种不同的排法，由分步计数原理有：（个）能够组成125个三位数。类型三、简单排列应用题的解法例4.（1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（2）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（3）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？【思路点拨】 本题主要考查有限制条件的排列问题注意对特殊元素的处理【解析】(1)问题可以看作：余下的6个元素的全排列=720(2)根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有种；第二步 余下的5名同学进行全排列有种，所以，共有=240种排列方法(3) 解法1（直接法）第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法，所以一共有2400种排列方法解法2（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有=2400种 【总结升华】 本题是有限制条件的排列问题，某元素只能在某个位置时，可先把这个元素排在这个位置上；不能在某个位置时，可先让其他元素排在这个位置上，或先把这个元素排在其他位置上举一反三：【变式1】7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？【答案】方法一：直接法第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种，所以共有2400种方法。方法二：排除法若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，所以，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有2=2400种。【变式2】某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同排课程表的方法？【答案】解法一：6门课总的排法是，其中不符合要求的排法为：体育排在第一节，有种排法，如图1-2-1中；数学排在最后一节，有种排法，如图中但这两种方法，都包括体育排在第一节且数学排在最后一节这种情况，如图中，有种排法因此符合条件的排法应是： 解法二：根据要求，课表安排可分为4种情况： 体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有种； 数学排在第一节，但体育不排在最后一节，有排法种； 体育排在最后一节，但数学不排在第一节，有排法种； 数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法种 这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：（种）例5.七位同学站成一排，下列情况有多少种不同的排法？（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？（4）甲、乙同学之间隔一人的排法共有多少种？（5） 甲、乙两同学必须相邻，且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？【思路点拨】本题显然为相邻和不相邻问题。【解析】（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法所以这样的排法一共有种（2）方法同上，一共有720种（3）先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有1440种 （4）先从其余5人中选1人有5中选法，放在甲、乙之间，将三人看成一个人有种，然后甲乙互换位置以种，共有51200种（5）解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法所以这样的排法一共有960种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有960种方法【总结升华】（1）某些元素相邻或不相邻，相邻的可“捆绑”成一个新元素，参与整体排列，然后这些相邻元素再内排；不相邻的元素去插前者元素之间的空俗称“插空法”（2）某些元素顺序一定，可先求总的排列数，再求这些特殊元素的排列数，则符合条件的排列数为前者的排列数除以后者的排列数举一反三：【变式1】(2014 北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种【答案】根据题意，分3步进行分析：、产品A与产品B相邻，将AB看成一个整体，考虑AB之间的顺序，有A222种情况，、将AB与剩余的2件产品全排列，有A336种情况，、产品A与产品C不相邻，C有3个空位可选，即有3种情况，故不同的摆法有12336种，故答案为：36【变式2】三本不同的化学书，四本不同的数学书在书架上排成一排，不使同类书分开的排法有多少种？【答案】由于不使同类书分开，则把三本不同的化学书捆在一起，四本不同的数学书捆在一起，使七本不同书转化为两捆不同的书的排列有种不同的排法，再把三本不同的化学书在它们相邻的位置全排列有种不同的排法，由乘法原理得：总数（种）。【高清课堂：排列 389320例3 练习】【变式3】用、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共有_个（用数字作答）【答案】将与，与，与捆绑在一起排成一列有种，再将、插入4个空位中的两个有种，故有种【变式4】（2016 山东二模）为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全战略部署，农业部把铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上。山东省某种植基地对编号分别为1，2，3，4，5，6的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验，其中编号1，3，5的三个品种有且只有两个邻邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种方法的种数为（ ）A432 B456 C534 D720【答案】第一类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把2号品种，插入在中间空中，再把4号插入到1，2，3，5所形成的4个空的中的一个，然后把6号再插入到其中，故有种，第二类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把4或6号，插入到中间空中，再把剩下的一个插入到所形成的4个空的中的一个，然后把2号插入前面所成的3个空（不包含两端）的1个，故有种，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个排列，把2，4，6号捆绑在一起并插入到其中，有种，故编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为240+28872=456种，故选B。例6 用0，1，2，3，4，5这六个数字： （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ （2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ （3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？ 【思路点拨】 该例中的每个小题都是有限制条件的排列问题除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题 【解析】（1）符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时有个； 第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个 由分类计数原理知，共有四位偶数：（个） （2）五位数中5的倍数的数可分为两类：个位上的数字是0的五位数有个；个位上的数字是5的五位数有个 故满足条件的五位数共有 （3）比1325大的四位数可分为三类： 第一类：形如2，3，4，5，共个； 第二类：形如14，15，共有个； 第三类：形如134，135，共有个； 由分类计数原理知，比1325大的四位数共有：（个）【总结升华】不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽举一反三：【变式1】用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有