高考数学选修知识讲解_《空间向量与立体几何》全章复习与巩固_提高

空间向量与立体几何全章复习与巩固编稿：李霞 审稿：张林娟【学习目标】1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.【知识网络】空间向量与立体几何空间向量及其运算空间向量在立体几何中的应用空间向量的线性运算空间向量的基本定理两个向量的数量积空间向量的直角坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量分解定理平行与垂直的条件直线的方向向量与直线的向量方程平面的法向量与平面的向量表示直线与平面的夹角二面角及其度量距离【要点梳理】要点一：空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段表示，叫作起点，叫作终点；一种是用小写字母（印刷体）表示，也可以用（而手写体）表示向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或向量的夹角：过空间任意一点作向量的相等向量和，则叫作向量的夹角，记作，规定如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0规定：0与任意向量平行单位向量：长度为1的空间向量，即相等向量：方向相同且模相等的向量相反向量：方向相反但模相等的向量共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合平行于记作，此时=0或=p共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线（3）对于任意一个非零向量，我们把叫作向量的单位向量，记作与同向（4）当=0或p时，向量平行于，记作；当 =时，向量垂直，记作要点二：空间向量的基本运算空间向量的基本运算：运算类型几何方法运算性质向量的加法1平行四边形法则：加法交换率：加法结合率：2三角形法则：向量的减法三角形法则：向量的乘法是一个向量，满足：0时，与同向；0时，与异向；=0时， =0向量的数量积1是一个数：；2，或=0要点三：空间向量基本定理共线定理：两个空间向量、（），/的充要条件是存在唯一的实数，使共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的一对实数，使要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线（2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面空间向量分解定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使.要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念要点四：空间向量的直角坐标运算空间两点的距离公式若，则； 的中点坐标为空间向量运算的的坐标运算设，则 ； ； ； ； ，； 空间向量平行和垂直的条件若，则，；要点诠释：（1）空间任一点的坐标的确定： 过作面的垂线，垂足为，在面中，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，则如图：（）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是（）与任意空间向量平行或垂直要点五：用向量方法讨论垂直与平行图示向量证明方法线线平行（/）/（分别为直线的方向向量）线线垂直（）（分别为直线的方向向量）线面平行（/），即（是直线的方向向量，是平面的法向量）线面垂直（）/（是直线的方向向量，是平面的法向量）面面平行（/）（分别是平面，的法向量）面面垂直（），即（，分别是平面，的法向量）要点诠释：（）直线的方向向量：若、是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量 （）平面的法向量：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量 一个平面的法向量不是唯一的要点六：用向量方法求角图示向量证明方法异面直线所成的角（，是直线上不同的两点，是直线上不同的两点）直线和平面的夹角（其中直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）二面角（平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）要点诠释：当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。要点七：用向量方法求距离图示向量证明方法点到平面的距离（为平面的法向量）与平面平行的直线到平面的距离（是平面的公共法向量）两平行平面间的距离（是平面，的一个公共法向量）要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法要点八：立体几何中的向量方法用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”1建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）2通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）3把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回到图形问题）用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤1建立适当的空间直角坐标系；2写出相关点的坐标及向量的坐标；3进行相关的计算；4写出几何意义下的结论【典型例题】类型一：空间向量的概念及运算例1 如图，在平行六面体中，为与的交点 若，则下列向量中与相等的向量是（ ）A B C D 【思路点拨】本题以向量的加减法为前提，考查了向量相等的概念：（1）相等向量指的是方向相同且模相等的向量；（2）注意向量加法的三角形法则和平行四边形法则、减法的三角形法则的正确运用；注意公式，的灵活应用【答案】A【解析】法一：法二：；故选A【总结升华】类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途 用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等与向量的加减法，考查学生的空间想象能力举一反三：【变式1】如图，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【变式2】在四边形中，且0，则四边形是（ ）A 矩形 B 菱形 C直角梯形 D等腰梯形【答案】B类型二：空间向量的直角坐标运算例2已知空间三点，设，（1）求；（2）求和的夹角的余弦值；（2）若向量+与互相垂直，求的值【思路点拨】根据空间向量直角坐标的相关公式进行运算【解析】，=(1，1，0)， =（1，0，2）（1），（2）=，和的夹角的余弦值为(2)+=（，0）+（1，0，2）（1，2），=（+2，4），(+)（2），(+)（2）=（1，2）（+2，4）或举一反三：【变式1】已知三点坐标分别为，求点的坐标使得=【答案】【变式2】已知向量，若，则的值是（）A或 B或 C D【答案】A由题意可知 解得或【变式3】设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是( )A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定【答案】B 由题意知，过点A的棱两两垂直，设， 则， 故CBD为锐角同理，BCD、CDB均为锐角 所以BCD为锐角三角形类型三：共线和共面向量定理的应用例3 已知平行四边形，从平面外一点引向量， 求证：（1）四点共面；（2）平面/平面【思路点拨】（1）利用共面向量定理证明四点共面；（2）由向量共线得到线线平行，利用平面平行的判定定理证明【证明】（1），由共线向量定理可知，点共面（2），又平面，平面，平面同理平面，平面/平面【总结升华】在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解 若要证明两直线平行，只需判断两直线所在的向量是否满足线性关系即可在本题第（1）题的解析中运用了共面向量定理的推论，其实利用共面向量定理也可以给予证明，同学们试一试举一反三：【变式1】已知，且不共面 若，求的值【答案】由题意列等式：，解得【变式2】(2015秋 辽宁校级月考)下列各组向量共面的是（）A =(1，0，-1)，=(1，1，0)，=(0，1，1)B =(1，0，0)，=(0，1，-1)，=(0，0，1)C =(1，1，1)，=(1，-1，0)，=(1，0，1)D =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)【答案】A类型四：空间向量在立体几何中的应用例4 四棱锥中，底面是矩形，平面， 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求点到平面的距离【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，将立体几何问题转化为空间向量问题，再通过向量运算判断向量的平行、垂直及计算向量的夹角，最后再翻译成图形语言（1）将证明平面平面转化为证明平面的法向量与平面的法向量垂直；（2）直线与平面的夹角的正弦值就是直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值；（3）由于点坐标不确定，故将求点到平面的距离，转化为求求点到平面的距离【解析】（1）方法一：是所作球面的直径，。又平面，平面，平面，平面平面方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，设平面的法向量为，则 即取，则，平面的一个法向量，同理可得平面的一个法向量，即，平面平面（2）设平面的一个法向量，由可得：，令，则。设所求角为，则， 所以所求角的正弦值为（3）由题意可得，在中，,则, ，所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为，则，所求距离为【总结升华】在空间图形中，如果线段较多，关系较为复杂（如平行、垂直、角和距离等均有涉及），常常需要多种方法灵活使用，合理结合，才能达到较为理想的效果，在建立坐标后，应根据条件确定相应点的坐标，然后通过向量的坐标计算解决相应问题举一反三：【变式1】正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图所示)在图中求平面ABD与平面EFD的夹角的余弦值【答案】由已知CDAD，CDBD， ADB就是直二面角A-CD-B的平面角， ADBD以D为原点建立空间直角坐标系，如图，则D(0，0，0)、A(0，0，2)、B(2，0，0)、C(0，0)，E、F分别是AC、BC的中点， E(0，1)，F(1，0)设(x，y，z)是平面DEF的一个法向量由， 得 令y1得 同理可求得平面ABD的一个法向量n(0，1，0)， 平面ABD与平面EFD夹角的余弦值为【变式2】如图所示，已知正方形的边长为1，平面，且，分别是的中点 (1)求点到平面的距离； (2)求直线到平面的距离 【答案】（1）； （2）.例5 如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，写出各个已知点的坐标： （）设出点的坐标，可以确定向量与平面的法向量，可以确定它们夹角的余弦值，从而可得直线与平面所成角的正弦值，由同角三角函数可得关于的方程，解方程即可（）假设存在点，并设出其坐标，要使“对任意的，在平面上的射影垂直于”，只要即可 由可以得到点的坐标【解析】（）建立如图所示的空间直角坐标系，则所以由的一个法向量设与所成的角为，则依题意有：，解得故当时，直线与平面所成角的正切值为（）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则，依题意，对任意的，要使在平面上的射影垂直于，等价于即为的中点时，满足题设要求。【总结升华】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。举一反三：【变式】(2014 湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02)()当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；()是否存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解析】()证明：以D为原点，射线