高考数学必修知识讲解任意角的三角函数提高

任意角的三角函数【学习目标】1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.3会应用三角函数的定义解决相关问题。【要点梳理】要点一：三角函数定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦,记做,即；(2)叫做的余弦,记做,即；(3)叫做的正切,记做,即.要点诠释：三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,。要点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。要点三：诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，其中，其中，其中要点诠释：该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.要点四：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.要点诠释：三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.【典型例题】类型一：三角函数的定义例1（1）已知角的终边经过点P（4a，3a）（a0），求sin，cos，tan，cot的值；（2）已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。【思路点拨】先根据点P（4a，3a）求出OP的长；再分a0，a0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论【答案】（1），或，（2）或【解析】 （1）。若a0，则r=5a，角在第二象限，则，。若a0，则r=5a，角在第四象限，则，。（2）因为角的终边在直线上，所以可设为角终边上任意一点。则（a0）。若a0，则为第一象限角，r=2a，所以，。若a0，则为第三象限角，r=2a，所以，。【总结升华】 三角函数值的大小与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。本题应注意把函数的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。 举一反三：【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.【解析】由题设知，所以，得，从而，解得或.当时， ；当时， ；当时， .【高清课堂：任意角的三角函数385947 例2】【变式2】已知角的终边落在y=|2x|上，求值。【答案】或【解析】 y=|2x|，取点P（1，2），或类型二：三角函数的符号例2（1）判断的符号；（2）若sin=2cos，确定tan的符号；（3）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号；（4）若sin0，cos0，则是第几象限角？（5）若sin20，且cos0，试确定终边所在象限？【答案】（1）正（2）负（3）负（4）四（5）三【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。（2）由sin=2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan0；当是第四象限角时，tan0。综上知，tan0。（3）因为为第二象限，所以sin0，cos0，tan0，所以3sincos+2tan0。（4）因为sin0，所以为第三或第四象限角，又cos0，所以为第一或第四象限角，所以为第四象限角。（5）因为sin20，所以2k22k+（kZ），所以（kZ）。当k为偶数时，是第一象限；当k为奇数是，为第三象限象。所以为第一或第三象限角。又因为cos0，所以为第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上。综上知，角终边在第三象限。【总结升华】第一象限角，函数值全为正；第二象限角，只有正弦值为正；第三象限角，正切值为正；第四象限角，只有余弦角为正。举一反三：【变式1】求函数的值域。【答案】1，3【解析】 由题意知，角x的终边不在坐标轴上。当x是第一象限角时，；当x是第二象限角时，；当x是第三象限角时，；当x是第四象限角时，故函数的值域为1，3。【总结升华】本题主要考查三角函数值在各象限的符号，并将其与函数的值域、绝对值等有关知识结合进行综合考查。本题运用了分类讨论思想。分象限讨论各三角函数值的符号是解决这类问题的基本方法，注意讨论时要不重不漏，所有可能的情况要考虑全面。类型三：诱导公式一的应用例3（1）；（2）sin（1740）cos1470+cos（660）sin750+tan405。【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0到360角的同一三角函数值，然后再求值。【答案】（1）（2）2【解析】（1）原式 。（2）原式=sin(10180+60)cos(8180+30)+cos(4180+60)sin(4180+30)+tan(2180+45)=sin60cos30+cos60sin30+tan45=.【总结升华】 在弧度制下，与角终边相同的角为，kZ，在角度制下终边相同的角为k360+，kZ。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。举一反三：【变式1】（2015春 福建龙岩期末）已知为第三象限角，（1）化简；（2）若，求的值【思路点拨】（1）由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果（2）由条件利用诱导公式求得cos的值，可得的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）为第三象限角，（2）若，类型四：三角函数线的应用例4若，求证：.【思路点拨】利用正弦、余弦的三角函数线去证明。【证明】如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PMOA于点M，连接AP，则：在RtPOM中，sin=MP；在RtAOT中，tan=AT。又根据弧度制的定义，有。易知SPOAS扇形POASAOT，即，即sintan。【总结升华】三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用。例5（2015春 安徽泗县月考）利用单位圆，求适合下列条件的角的集合：（1）（2）【思路点拨】在单位圆中画出三角函数线 （1）由0，2）内，结合正弦线得的解集；（2）由0，2）内，结合余弦线得的解集【答案】（1）；（2）【解析】在单位圆内作三角函数线如图： （1）在0，2）内，OA，OB分别为，的终边，由正弦线可知，满足的角的终边在劣弧AB内，的解集为；（2）在0，2）内，OC，OD分别为，的终边，由余弦线可知，满足的终边在劣弧CD内，的解集为【总结升华】利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用举一反三：【变式1】 求满足的的取值范围。【答案】【解析】作直线与单位圆交于A、B两点，连接OA、OB，阴影部分便是角的终边范围，如图所示。 终边在OA上的最小正角为，终边在OB上的最小正角为。角的集合为。类型五：三角函数定义域的求法例6求函数的定义域【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。【答案】【解析】 sin2x0，2k2x2k+（kZ），（kZ）。 又9x20，3x3。 求与的交集如图所示，得或。故函数的定义域为。【总结升华】求函数的定义域是一种重要题型，要注意利用数形结合的方法求解，特别注意tan本身的定义域；在求不等式的交集时，应注意利用数轴求解，有些三角不等式，我们还可以利用单位圆来求解。举一反三：【变式1】求函数