高考物理总复习知识讲解 行星的运动与万有引力定律（基础）

物理总复习：行星的运动与万有引力定律编稿：李传安 审稿：【考纲要求】 1、了解开普勒关于行星运动的描述； 2、知道引力常数的数值、单位及其测量装置； 3、掌握万有引力定律并能应用； 4、理解三种宇宙速度及其区别。【知识网络】 【考点梳理】考点一、开普勒行星运动定律1、开普勒第一定律所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。2、开普勒第二定律对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律，又称面积定律。3、开普勒第三定律所以行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。若用表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则（是一个与行星无关的常量）。要点诠释：由第一定律出发，行星运动时，轨道上出现了近日点和远日点。由第二定律可以知道，从近日点向远日点运动时，速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。由第三定律知道 ，而值只与太阳有关，与行星无关。开普勒定律的应用（1）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，第三定律为 ；（2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近似看作圆，第三定律公式为，这时由行星决定，与卫星无关。当天体绕不同的中心星球运行时，中的值是不同的。（3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。例、关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是：（ ）A所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处C离太阳越近的行星的运动周期越长D所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等【答案】D【解析】所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在一个焦点上，但并非在同一个椭圆上，故A、B错。由第三定律知离太阳越近的行星运动周期越小，故C错、D正确。考点二、万有引力定律1、公式：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。，为万有引力常量， 。2、适用条件：公式适用于质点间万有引力大小的计算。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。另外，公式也适用于均匀球体间万有引力大小的计算，只不过r应是两球心间的距离。3、万有引力的特点（1）普适性：（2）相互性：（3）宏观性： 要点诠释：重力和万有引力的联系和区别重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。如图所示，产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。由于，随纬度的增大而减小，所以物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大；但一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，即 常用来计算星球表面的重力加速度。在地球同一纬度处，g随物体离地面高度的增加而减小，因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小，即。例、对于质量为和的两个物体间的万有引力的表达式，下列说法正确的是：（ ）A公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的B当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大C 和所受引力大小总是相等的D两个物体间的引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力【答案】AC【解析】由基本概念、万有引力定律及其适用条件逐项判断。引力常量G值是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项A正确。万有引力表达式只适用于质点间的作用，当r趋于零时任何物体都不能再视为质点，公式不成立，此时两物体间的作用力并非无穷大，故B错误。两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确、D错误。考点三、应用万有引力定律分析天体的运动1、基本方法把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。公式为 解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。2、天体质量M、密度的计算测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径和周期T，由得 (为中心天体的半径）当卫星沿中心天体表面绕天体运动时，则。3、天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r的关系（1）由 得，所以越大，越小；（2）由 得，所以越大，越小；（3）由 得，所以越大，T越大。4、黄金代换式 在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时，可以认为，且有。对其它行星也适用，不过是行星表面的重力加速度，R是行星的半径，M是行星的质量。例、如图，卫星从远地点B向近地点A运动,则下列说法正确的是（ ）A. 卫星的速度越来越大B. 卫星的机械能越来越大C. 卫星受到的万有引力越来越大D. 卫星与地球连线单位时间扫过的面积越来越大【答案】A C【解析】卫星从远地点B向近地点A运动，轨道半径变小，因此速度越来越大，A对。卫星与地球组成的系统，只有引力做功，机械能守恒，B错。由万有引力公式，万有引力越来越大，C对。由开普勒第二定律知，在相等的时间内扫过相等的面积，D错。故选A C。5、天体质量的几种计算方法（以地球质量M为例）（1）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T和轨道半径。由 得 。（2）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度和半径。由 得 。（3）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度和周期T。由 及 得。（4）若已知地球半径R及表面的重力加速度g。由 得。【典型例题】类型一、天体质量、密度的计算例1、从地球上观测到太阳的直径对地球的张角为，引力恒量 ，每年按365天计算，试求： （1）估算出太阳的平均密度；（2）如果太阳密度与地球密度之比为0.3，估算地球的半径。【答案】（1） （2）【解析】 （1）根据万有引力定律 太阳的质量为 ， 又 太阳的直径对地球的张角为 得 公转周期 太阳的平均密度 （2）地球表面物体重力近似等于万有引力 ， 地球的密度 联立方程并将 代入得地球的半径【总结升华】只能求中心天体的质量。密度公式中，求太阳的密度，质量要用太阳的，体积也要用太阳的，把天体都看成球体，要用太阳的半径。举一反三【变式1】已知地球的半径为，地球表面的重力加速度为，万有引力常量为如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度表达式为_。【答案】 【解析】 由地球表面物体重力近似等于万有引力 得 地球的体积 地球的密度 【变式2】一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上，飞船上备有以下实验器材料：A.精确秒表一个 B.已知质量为m的物体一个C.弹簧测力计一个 D.天平一台（附砝码）已知宇航员在绕行时和着陆后各作了一次测量，依据测量数据，可求出该行星的半径R和行星密度。（已知万有引力常量为G）（1）两次测量所选用的器材分别为 、 （用序号表示）（2）两次测量的物理量分别是 、 （写出物理量名称和表示的字母）（3）用该数据推出半径R、密度的表达式：R= ，= 。【答案】（1）A；BC（2）周期T；物体的重力F（3） 【解析】靠近行星表面运动时，万有引力提供向心力，轨道半径为行星半径 （1）在行星表面用弹簧测力计测出物体的重力为，在行星表面物体重力近似等于万有引力 （2） 由（1）、（2）得 所以 又 所以 密度 【总结升华】密度 是推导出来的，当然具有普遍意义，可以得出结论：当卫星绕行星表面附近（轨道半径等于行星的半径）运行时，行星的密度只与卫星的周期有关，与卫星周期的平方成反比。【变式3】相距甚远的两颗行星A与B的表面附近各发射一颗卫星a和b，测得卫星a绕行星A的周期为，卫星b绕行星B的周期为，这两颗行星的密度之比_。【答案】根据 可知 类型二、求行星表面的重力加速度（1）根据在行星表面物体重力近似等于万有引力 例2、已知火星的半径是地球半径的1/2，火星的质量是地球的质量为1/10。如果地球上质量为60kg的人到火星上去，在火星表面由于火星的引力产生的加速度大小为 。（地球表面重力加速度为） 【答案】【解析】火星的物理量加一撇表示 火星表面 地球表面 两式相除（或认为与星球质量成正比，与半径的平方成反比） 所以 【总结升华】这类题的特点就是根据在行星表面物体重力近似等于万有引力，在地球表面物体重力近似等于万有引力，采用比例求解，位置不能用错，半径有平方不能丢掉。举一反三【变式1】某行星的半径是地球半径的3倍，质量是地球质量的36倍。则该行星表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的（ ）A4倍 B6倍 C1/4倍 D12倍 【答案】A【解析】根据 可知 A正确。【变式2】据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为（）A. 0.5 B. 2. C. 3.2 D. 4【答案】 B【解析】 求 由 代入数据 解得 B 正确。【高清课堂：行星的运动与万有引力定律例3】【变式3】1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km。若将此小行星和地球均看成分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球的半径R=6400km，地球表面重力加速度为g。这个小行星表面的重力加速度为多少? 【答案】【解析】因为小行星密度与地球相同由密度公式 小行星: 地球: 得出 (1)又根据任何行星表面的重力近似等于万有引力 小行星: 地球: 两式相比： (2) 把 (1)代入 (2)得 所以，这个小行星表面的重力加速度 （2）根据在行星表面物体的运动规律求该行星表面的重力加速度例3、在一个半径为R的星球表面，以初速度竖直上抛一物体，不计其它阻力，上升的最大高度为h，则该星球的第一宇宙速度为_。【答案】 【解析】一物体在行星表面以初速度做竖直上抛运动，那就根据竖直上抛运动求重力加速度，第一宇宙速度为 。由运动学公式或机械能守恒定律 则 代入第一宇宙速度公式 【总结升华】物体在星球上做什么运动，与在地球上的运动规律一样，关键是求出星球表面的重力加速度，再代入计算公式。凡是公式中有重力加速度的，就是要求出的物理量，切记不能随意用地球的重力加速度。举一反三【变式1】宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高处释放，经时间后落到月球表面（设月球半径为R）。据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 物体在月球上做自由落体运动 求得 飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率就是第一宇宙速度 所以 【变式2】宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为1：4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g，空气阻力不计。则（ ） A 5：1 B5：2C1：20 D1：80【答案】D【解析】竖直上抛到最大高度的时间与落回的时间相对（竖直上抛具有对称性），地球上： 星球上： 因为初速度相同，则 又 所以 D正确。类型三、与万有引力相关的临界问题【高清课堂：行星的运动与万有引力定律例4】例4、中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测的它的自转周期为T=1/30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持位于赤道处的物体的稳定，不至因自转而瓦解。（星体可视为均匀球体，引力常量）【答案】【解析】考虑中子是赤道处一块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。 设中子星的密度为，质量为M ，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小块物质质量为m，则有 由以上各式得 代入数据解得 .【总结升华】因“自转而瓦解”的意思是：万有引力不足以提供星球做