高考物理总复习知识讲解 带电粒子在复合场中的运动（提高）

物理总复习：带电粒子在复合场中的运动 编稿：李传安 审稿：张金虎【考纲要求】1、知道带电粒子在复合场中运动的特点及规律，会用力的观点、运动的观点和能量的观点熟练解决相关问题2、知道带电粒子在复合场中运动的特点及规律，会用力的观点、运动的观点和能量的观点熟练解决相关问题【考点梳理】考点一、带电粒子在复合场中的受力复合场的组成和特点：复合场:指电场、磁场和重力场并存，或其中两个场并存，或分区域存在。粒子连续运动时，一般要同时考虑电场力、洛伦兹力和重力的作用。抓住三个力的特点是分析和求解相关问题的前提和基础。要点诠释：1、重力：重力的大小为，方向竖直向下重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与始末位置的高度差有关。2、电场力：电场力的大小为，方向与电场强度E及带电粒子所带电荷的性质有关，电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与始末位置的电势差有关。3、洛伦兹力：洛伦兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关，当带电粒子的速度与磁场方向平行时F=0；当带电粒子的速度与磁场方向垂直时，洛伦兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面。无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功。但重力、电场力可能做功而引起带电粒子能量的转化。考点二 、带电粒子在复合场中运动的力学观点要点诠释：带电粒子在复合场中的运动问题是力学和电学知识的一次“大综合”，其分析方法和力学综合问题的分析方法基本相同，只是在受力分析时多加了电场力和洛伦兹力，在考虑能量转化时多了电势能。基本思路如下：（1）正确的受力分析：除重力、弹力、摩擦力外，要特别注意电场力和洛伦兹力的分析搞清场和力的空间方向及关系。（2）正确的运动分析：即根据受力情况进一步明确物体的运动情况，找出物体的速度、位置及其变化规律，分析运动过程。如果出现临界状态，要分析临界条件。（3）运用动力学三大方法解决问题。牛顿运动定律与运动学公式；用动量观点分析，包括动量定理、动量守恒定律；用能量观点分析，包括动能定理、机械能（或能量转化）守恒定律。要针对不同的问题、模型灵活选用，必须弄清各种规律的成立条件与适用范围。考点三 、带电粒子在复合场中的几种典型运动要点诠释：1、直线运动自由的带电粒子（无轨道约束）在匀强电场、匀强磁场和重力场中做的直线运动应是匀速直线运动，除非运动方向沿匀强磁场方向而粒子不受洛伦兹力，这是因为电场力和重力都是恒力，当速度变化时，会引起洛伦兹力的变化，合力也相应的发生变化，粒子的运动方向就要改变而做曲线运动。例：如图所示，实线表示在竖直平面内匀强电场的电场线，电场线与水平方向成角，水平方向的匀强磁场与电场正交，有一带电液滴沿斜向上的虚线l做直线运动，l与水平方向成角，且，则下列说法中错误的是（ ）A液滴一定做匀速直线运动B液滴一定带正电C电场线方向一定斜向上D液滴有可能做匀变速直线运动【答案】D【解析】洛伦兹力总与运动方向垂直，而电场力、重力均为恒力，假如液滴做变速运动，则洛伦兹力将是变力，液滴将作曲线运动，A正确；既然液滴做匀速直线运动，其受力就一定平衡，不难判断B、C必然正确。所以，错误的是D。2、匀速圆周运动带电粒子进入匀强电场、匀强磁场和重力场共存的复合场中，电场力和重力相平衡，粒子运动方向与匀强磁场方向相垂直时，带电粒子就在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。可等效为仅在洛伦兹力作用下的匀速圆周运动。例：如图所示，粒子在正交的匀强磁场和匀强电场中的竖直面内做匀速圆周运动，则粒子带电性质和绕行方向分别是（ ）A.带正电，逆时针 B. 带正电，顺时针C.带负电，逆时针 D. 带负电，顺时针【答案】C【解析】由粒子在复合场中做匀速圆周运动的特点可知，粒子受到的电场力和重力一定等大、反向，故电场力方向竖直向上，粒子带负电。在轨迹上任取一点，该点粒子受到的洛伦兹力应指向圆心，结合左手定则可判断其绕行方向为逆时针。选项C正确。3、曲线运动当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速运动，这是粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。例：如图所示，水平向左的匀强电场E=4V/m，垂直纸面向里的匀强磁场B=2T，质量m=1g的带正电的小物块A，从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速滑下，滑行0.8m到N点时离开竖直壁做曲线运动，在P点时小物块A瞬时受力平衡，此时速度与水平方向成450角，设P与M的高度差为H0.8m。试求（1）沿壁下滑时摩擦力做的功；（2）P与N的水平距离。 【答案】（1）（2）【解析】（1）物体在N点时，墙对其弹力为零，水平方向，所以。对M到N过程据动能定理得 所以.（2）设P点速度为，如图，由，得设N、P水平距离为x，竖直距离为y，物体由N到P过程电场力和重力做功，由动能定理 ，解得。【典型例题】类型一、带电粒子在复合场中的直线运动带电粒子在复合场中的直线运动有三种：（1）匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受到的合力为零时，带电粒子可以做匀速直线运动。（2）匀变速直线运动当带电粒子在复合场中受到的合力为恒力时，带电粒子将做匀变速直线运动。当带电粒子受到洛伦兹力作用时，要做匀变速直线运动，一般要在光滑平面上或穿在光滑杆上。（3）变加速直线运动当一带电粒子在复合场中受到合力为变力时，带电粒子可做变加速直线运动。这一类题对学生的能力要求很高，要正确解答这类问题，必须能够正确地分析物理过程，弄清加速度、速度的变化规律。例1、如图所示，足够长的光滑绝缘斜面与水平面间的夹角为，放在水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E=50 V/m，方向水平向左，磁场方向垂直纸面向外。一个电荷量，质量m = 0. 40 kg的光滑小球，以初速度从斜面底端向上滑，然后又下滑，共经过3s脱离斜面。求磁场的磁感应强度。（g取）【思路点拨】受力分析、运动分析、找出临界条件。【答案】【解析】对带电小球进行受力分析和运动过程分析，先沿斜面向上做匀减速运动，再沿斜面向下做匀加速运动（离开斜面前），抓住小球脱离斜面的临界条件是，列出方程求解。小球沿斜面向上运动的过程中受力分析如图甲。由牛顿第二定律，得代入数值解得，向上滑行时间 小球在下滑过程中受力分析如图乙。小球在离开斜面前做匀加速直线运动， 运动时间脱离斜面时的速度在垂直于斜面方向上支持力为零，有故 代入数值解得。【总结升华】正确对带电小球进行受力分析和运动过程分析是解决问题的关键，同时要注意分析小球脱离斜面的临界条件。举一反三【高清课堂：带电粒子在综合场中的运动 例 3】【变式1】如图所示，质量为m的圆环带有电量q的正电荷。中间有一孔套在足够长的绝缘杆上。杆与水平成角。与圆环的动摩擦因数为。此装置放在沿水平方向磁感应强度为B的匀强磁场之中。从高处将圆环无初速释放。圆环下滑过程中加速度的最大值是多少？圆环运动速度的最大值是多少？【答案】（1）（2）【解析】带电圆环受力如图。（1）根据牛顿第二定律 当，即时，加速度最大最大加速度为。（2）当时，速度最大，即解得最大速度为【变式2】如图所示，虚线间的空间存在由匀强电场E和匀强磁场B组成的正交或平行的电场和磁场，有一个带正电的小球（电量为+q，质量为m）从正交或平行的电磁混合场上方的某一高度自由落下，那么，带电小球可能沿直线通过下列电磁混合场的是（ ）【答案】CD【解析】直线运动的条件是：合力与速度共线或合力为零。带电小球在各复合场中受力情况如图所示：A图中由于小球所受合力不为零，因此洛伦兹力不恒定，水平方向合力不可能保持为零，A图错误；B图中垂直于纸面向外的方向上只有一个洛伦兹力，这种情况下小球也不能沿竖直方向运动；C图中小球所受三个力的合力如果为零，小球就可以沿竖直方向运动；D图中小球只受竖直方向上两个力作用，一定沿竖直方向运动。类型二、带电粒子在复合场中的运动分析例2、（2015 天津卷）现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d。电场强度为E方向水平向右；磁感应强度为B方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。 (1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为n 试求sin ；(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之。【答案】（1） （2） （3）见解析【解析】（1）粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功。 由动能定理，有 由式解得 粒子在第二层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有 由式解得 （2）设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn（各量的下标均代表粒子所在层数，下同）。 粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为n，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为n，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有 由图1可看出 由式得 由式看出为一等差数列，公差为d，可得 当n=1时，由图2看出 由式得 （3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则 在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为，假设能穿出第n层磁场右侧边界，粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为n，由于 则导致 说明n不存在，即原假设不成立。所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界。举一反三【高清课堂：磁场对运动电荷的作用 例5 】【变式】如图，在第一象限有沿-y方向的匀强电场，场强为E，在第四象限有垂直xy平面的匀强磁场，场强为B。有一带电粒子质量为m，带正电为q，从（0，h）沿 x正向以速度运动。（不计重力）求：（1）电荷第二次到达 x轴的位置； （2）电荷第二次到达x轴的时间。 【答案】（1）（2）【解析】（1）带电粒子在第一象限内在电场力的作用下做类平抛运动，由牛顿第二定律，解得，. 粒子以速度v进入匀强磁场后，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律 电荷第二次到达 x轴的位置.（2）粒子在磁场里的时间，所以.故电荷第二次到达x轴的时间.例3、（2015 山东卷）如图所示，直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内，O为圆心，GH为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域（区）和小圆内部（区）均存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。一质量为m，电量为+q的粒子由小孔下方d/2处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由点紧靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重力。（1）求极板间电场强度的大小；（2）若粒子运动轨迹与小圆相切，求区磁感应强度的大小；（3）若区，区磁感应强度的大小分别为，粒子运动一段时间后再次经过H点，求这段时间粒子运动的路程。【答案】（1）（2）或（3）5.5D【解析】（1）设极板间电场强度的大小为E，粒子在电场中加速运动，根据动能定理： 解得 .（2）设区磁感应强度的大小为B，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得 如图甲所示，粒子运动轨迹与小圆相切有两种情况。 若粒子轨迹与小圆外切，由几何关系得 联立式得 若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得 联立式得 （3）设粒子在区和区做圆周运动的半径分别为R1、R2，由题意可知，区和区磁感应强度的大小分别为、，由牛顿第二定律得 代入数据得 ， 设粒子在区和区做圆周运动的周期分别为T1、T2，由运动公式可得 据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图乙所示，根据对称性可知，区两段圆弧所对的圆心角相同，设为，区内圆弧所对圆心角为，圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角设为，由几何关系可得： 粒子重复上述交替运动回到H点，轨迹如图丙所示，设粒子在区和区做圆周运动的时间分别为t1、t2，可得 ； 设粒子运动的路程为s，由运动公式可知：s=v(t1+t2) 联立上述各式可得：s=5.5D 【考点】带电粒子在匀强磁场中的运动；动能定理。举一反三【变式】如图，与水平面成45角的平面MN将空间分成I和II两个区域。一质量为m、电荷量为q（q0）的粒子以速度从平面MN上的点水平右射入I区。粒子在I区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；在II区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。求粒子首次从II区离开时到出发点的距离。粒子的重力可以忽略。【答案】【解析】设粒子第一次过MN时速度方向与水平方向成角，位移与水平方向成角且，在电场中做类平抛运动， 则有： 得出： （）（或直接根据）则， 在电场中运行的位移: 在磁场中做圆周运动，且弦切角为做匀速圆周运动， 得出： 在磁场中运行的位移为： 又由可知， 代入 解得 (11).所以首次从II区离开时到出发点的距离为：类型三、带电粒子在组合场中的极值问题 例4、如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S1、S2，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U0，周期为T0。在t=0时刻将一个质量为m、电量为-q（q0）的粒子由S1静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区。（不计粒子重力，不考虑极板外的电场）（1）求粒子到达S2时的速度大小和极板距离。（2）为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件。（3）若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在时刻再次到达S2，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感强度的大小.【思路点拨】明确粒子在交变电场里、在磁场里的运动特点和规律，找出条件，理解“要使粒子在磁场中运动时不与极板相撞”的意义。【答案】（1） ;（2）;（3）.【解析】（1）粒子由S1至S2的过程中，根据动能定理得 解得 设粒子的加速度大小为，由牛顿第二定律得 由运动学公式得 联立式得 （2）设磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得 要使粒子在磁场中运动时不与极板相撞，须满足 联立 式得 （3）设粒子在两边界之间无场区向左匀速运动的过程用时为，有 联立 式得 若粒子再次达到S2时速度恰好为零，粒子回到极板间应做匀减速运动，设匀减速运动的时间为，根据运动学公式得 （11）联立 （11）式得 （12）设粒子在磁场中运动的时间为， （13）联立（12）（13）式得 (14)设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，由式结合运动学公式得 (15) 由题意得 (16)联立(14) (15) (16)式得 (17)【总结升华】本题解题的关键一是要明确粒子在交变电场里、在磁场里的运动特点和规律，二是要找出理解条件，真正理解“要使粒子在磁场中运动时不与极板相撞”的意义，半径小了就会打在极板上。【变式】图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为V；两板之间有匀强磁场，磁场应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG(EF边与金属板垂直)，在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面，垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为，求离子乙的质量。（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。【答案】（1）（2）（3）EF边上从O到P点。EG边上从K到I。【解析】（1）由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，它所受到的向上的磁场力和向下的电场力平衡，有 式中v是离子运动的速度，E0是平行金属板之间的匀强电场的强度，有 由式得： 在正三角形磁场区域，离子甲做匀速圆周运动。设离子甲质量为m，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有： 式中r是离子甲做圆周运动的半径。离子甲在磁场中的运动轨迹为半圆，圆心为O，这半圆刚好与EG边相切于K，与EF边交于I/点。在EOK中，OK垂直于EG。由几何关系得 由式得 联立式得离子甲的质量为 （2）同理，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有 式中，和分别为离子乙的质量和做圆周运动的轨道半径。离子乙运动的圆周的圆心必在E、H两点之间，又几何关系有 由式得 联立式得，离子乙的质量为 （3）对于最轻的离子，其质量为，由式知，它在磁场中做半径为的匀速圆周运动。因而与EH的交点为O，有 当这些离子中的离子质量逐渐增大到m时，离子到达磁场边界上的点的位置从O点沿HE边变到点；当离子质量继续增大时，离子到达磁场边界上的点的位置从K点沿EG边趋向于I点。K点到G点的距离为 所以，磁场边界上可能有离子到达的区域是：EF边上从O到点。EG边上从K到I。类型四、关于复合场情况的推断问题例5、如图所示，待测区域中存在匀强电场与匀强磁场，根据带电粒子射入时的受力情况可推测其电场和磁场，图中装置由加速器和平移器组成，平移器由两对水平放置、相距为l的相同平行金属板构成，极板长度为l，间距为d，两极板间偏转电压大小相等，电场方向相反，质量为m、电荷量为+q的粒子经加速电压U0加速后，水平射入偏转电压为U1的平移器，最终从A点水平射入待测区域，不考虑粒子受到的重力。（1）求粒子射出平移器时的速度大小v1；（2）当加速电压变为4U0时，欲使粒子仍从A点射入待测区域，求此时的偏转电压U；（3）已知粒子以不同速度水平向右射入待测区域，刚进入时的受力大小均为F，现取水平向右为x轴正方向，建立如图所示的直角坐标系oxyz，保持加速电压U0不变，移动装置使粒子沿不同的坐标轴方向射入待测区域，粒子刚射入时的受力大小如下表所示，请推测该区域中电场强度与磁感应强度的大小及可能的方向射入方向y-yz-z受力大小【思路点拨】重力、电场力、洛伦兹力的方向、物体的平衡条件及场的空间分布特征、把力和运动结合起来对可能情景进行想象和推理。【答案】（1）（2）（3）见解析。【解析】（1）设粒子射出加速器的速度为， 动能定理 由题意得，即（2）在第一个偏转电场中，设粒子的运动时间为：加速度的大小 ，在离开时，竖直分速度 竖直位移 水平位移 粒子在两偏转电场间做匀速直线运动，经历时间也为竖直位移由题意知，粒子竖直总位移，解得 则当加速电压为时，（3）由沿轴方向射入时的受力情况可知：B平行于轴，且由沿轴方向射入时的受力情况可知：与平面平行。,则 且 解得 设电场方向与轴方向夹角为,若B沿轴方向，由沿轴方向射入时的受力情况得 解得，或即E与平面平行且与轴方向的夹角为300或1500，同理若B沿轴方向，E与平面平行且与轴方向的夹角为-300或-1500。【总结升华】复合场空间的推理是近几年高考的热点，求解关键可以归纳为以下三点：（1）抓住三力（重力、电场力、洛伦兹力）的方向特点；（2）利用好物体的平衡条件及场的空间分布特征；（3）将力和运动结合起来对可能情景进行想象和推理，另外，由“运动”可确定合理的“场”，反过来也可由“场”确定物体的运动。举一反三【变式】如图所示，水平虚线X下方区域分布着方向水平、垂直纸面向里、磁感强度为B的匀强磁场，整个空间存在匀强电场（图中未画