常微分方程答案 一二章

习题1.24. 给定一阶微分方程，(1). 求出它的通解；(2). 求通过点的特解；(3). 求出与直线相切的解；(4). 求出满足条件的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。解：(1). 通解显然为；(2). 把代入得，故通过点的特解为；(3). 因为所求直线与直线相切，所以只有唯一解，即只有唯一实根，从而，故与直线相切的解是；(4). 把代入即得，故满足条件的解是；(5). 图形如下：5. 求下列两个微分方程的公共解：解：由可得所以或，代入原微分方程满足，而代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。6. 求微分方程的直线积分曲线。解：设所求直线积分曲线是，则将其代入原微分方程可得所以所求直线积分曲线是或。8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程： (2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长；(5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。解：因为过点的切线的横截距和纵截距分别为和，故(2). ；(5). 。习题2.11. 求下列方程的解：(2). ，并求满足初值条件的特解；解：当，分离变量，得两边同时积分，得又也是原方程的解，故的通解是由初值条件可得，故所求特解是。(4). 解：当，分离变量，得两边同时积分，得又也是原方程的解，故所求通解是 和 (5). 解：原方程可化为令，则两边同时积分，得将代入，得所求通解是(6). 解：原方程可化为令，则 当，分离变量，得两边同时积分，得又，即也是的解，故的通解是和。将代入，得原方程的通解是 和 (7). 解：当，分离变量，得两边同时积分，得又，即也是原方程的解，而该解可在中令得到，故所求通解是(8). 解：分离变量，得两边同时积分，得所求通解是 即 (9). 解：原方程可化为令，则 当，分离变量，得两边同时积分，得 由原方程可得，从而。又，即也是的解，而该解可在中令得到，故的通解是。将代入，得原方程的通解是(10). 解：分离变量，得两边同时积分，得所求通解是 2. 作适当的变量变换求解下列方程：(1). 解：令，则原方程化为两边同时积分，得将代入，得原方程的通解是 即 (3). 解：因为令，则原方程化为再令，得两边同时积分，得将代入，得原方程的通解是(7). 解：原方程可化为令，则原方程化为再令，得用分离变量法求解，得将代入，得原方程的通解是习题2.21. 求下列方程的解：(5). ；解：原方程可化为： 对应的齐次方程为，用变量分离法求得其解为。令的解为，则将其代入可得所以原方程的通解为(8). ；解：当时，原方程可化为： 这是未知函数为的非齐次线性方程，对应的齐次方程为，用变量分离法求得其解为。令的解为，则将其代入可得所以的通解为又也是原方程的解，故原方程的通解为 和 (12). ；解：原方程可化为： 这是的Bernoulli方程。当时，两边同时除以，得令，则 其对应的齐次方程的解为，令的解为，则将其代入可得所以的通解为将代入，得。又也是原方程的解，故原方程的通解为 和 (13). ；解：原方程可化为： 这是的Bernoulli方程，两边同时乘以，得令，则 其对应的齐次方程的解为，令的解为，则将其代入可得所以的通解为将代入，得原方程的通解为(16). ； 解：原方程两边同时对求导可得在原方程中，当时，。故原方程等价于Cauchy问题 由常数变易法易得的通解为，再由可得，故Cauchy问题的解为，这也是原方程的解。习题2.31. 验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解：(2). ；解：因为，所以故原方程是恰当方程。令函数满足，则由可得再由可得所以，故原方程的通解是(2). ；解：因为，所以故原方程是恰当方程。令函数满足，则由可得再由可得所以，故原方程的通解是2. 求下列方程的解：(4). ；解：原方程两边同时除以，得所以原方程的通解是(6). ；解：因为，所以原方程不是恰当的。由可得积分因子，原方程两边同时乘以，得即所以故原方程的通解是(8). ；解：因为，所以原方程不是恰当的。由可得积分因子，原方程两边同时乘以，得即所以此即为原方程的通解。5. 试证齐次微分方程当时有积分因子。证明：齐次微分方程两边同时乘以得所以原方程可化为。因为原方程是齐次方程，故可设令，则又因为所以从而故是齐次微分方程当时的积分因子。习题2.41. 求解下列方程：(1). ；解：当时，原方程可化为令，则，两边对求导，得即又时，原方程恒不成立，所以原方程的参数形式的通解是(3). ；解：令，则，两边对求导，得所以或所以原方程的通解是 和 习题2.51. 求解下列方程：(3). ；解：原方程两边同时乘以，得令，则用常数变易法易得其解为，故原方程的通解为(11). ；解：原方程可化为由可得，这是一个恰当方程