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2.1积分第一中值定理证明积分第一中值定理:如果函数在闭区间上连续,在上不变号,并且在闭区间上是可积的,则在上至少存在一点,使得成立。证明如下:由于在闭区间上不变号,我们不妨假设,并且记在闭区间上的最大值和最小值为和,即,我们将不等式两边同乘以可以推出,此时对于任意的都会有成立。对上式在闭区间上进行积分,可以得到。此时在之间必存在数值,使得,即有成立。由于在区间上是连续的,则在上必定存在一点,使成立。此时即可得到,命题得证。2.2积分第一中值定理的推广定理:(推广的第一积分中值定理)若函数是闭区间上为可积函数,在上可积且不变号,那么在开区间上至少存在一点,使得成立。推广的第一积分中值定理很重要,在这里给出两种证明方法。证法1:由于函数在闭区间上是可积的,在上可积且不变号,令,很显然在上连续。并且, 。由柯西中值定理即可得到,化简,即,根据上式我们很容易得出,命题得证。证法2:由于函数在上可积且不变号,我们不妨假设。而函数在闭区间上可积,我们令,。假设是在闭区间上的一个原函数,即。我们就可以得到下面等式(2.2.1)此时由于,则会有,由于存在两种可能性,那么下面我们就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论:(1).如果,由等式(2.2.1)可得出,那么对于都有恒成立。(2).如果,将(2.2.1)除以可得,(2.2.2)我们记 ,(2.2.3)此时我们又分两种情形继续进行讨论:()如果(2.2.2)式中的等号不成立,即有成立,则此时一定就存在,可以使得,我们不妨假设,这其中。因为,则会有。此时至少存在一点,使得,即有成立,从而结论成立。()如果(2.2.2)式中仅有一个等号成立时,我们不妨假设,因为,此时一定存在区间(其中),使得,恒有成立,我们可以将(2.2.3)式进行简化,因为,则有(2.2.4)而且我们已知,则。于是(2.2.5)在式子(2.2.5)下必定存在,使得。如果不存在一个,使得,则在闭区间上必定有及成立,从而使得。如果,由达布定
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