2007年考研数学一真题及答案

精选文库2007年考研数学一真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1) 当x0+时，与x等价的无穷小量是(A)1-e-x (B)ln1+x1-x(C)1+x-1 (D)1-cosx【答案】B。【解析】(当x0+)时ln1+x1-x=ln1+x-ln1-xx ex-x 1+x-112x 1-cosx12x几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较(2) 曲线y=1x+ln(1+ex)渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D。【解析】由于limx0y=limx01x+ln1+ex=，则x=0是曲线的垂直渐近线；又 limx-y=limx-1x+ln1+ex=0 limx+y=limx+1x+ln1+ex=+所以y=0是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于-一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在+一侧。a=limx+yx=limx+1x+ln1+exx=limx+1x2+limx+ln1+exx =0+limx+ex1+ex=1b=limx+y-x=limx+1x+ln1+ex-x =limx+1x+ln1+ex-lnex =limx+1x+ln1+1ex=0则曲线有斜渐近线y=x，故该曲线有三条渐近线。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3) 如图，连续函数y=f(x)在区间-3,-2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间-2,0,0,2上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设Fx=0xf(t)dt,则下列结论正确的是(A)F3=-34F(-2)(B)F3=54F(2)(C)F-3=34F(2)(D)F-3=-54F(-2)-3 -2 -1 0 1 2 3y=f(x)xy【答案】C。【解析】【方法一】四个选项中出现的F(x)在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定F3=03f(t)dt=02f(t)dt+23f(t)dt=2-8=38 F2=02f(t)dt=2 F-2=0-2f(t)dt-20ftdt=-2=2 F-3=0-3f(t)dt=-30ftdt=-8-2=38 则F-3=34F(2)【方法二】由定积分几何意义知F2F30,排除(B)又由f(x)的图形可知f(x)的奇函数，则Fx=0xf(t)dt为偶函数，从而F-3=F30,F-2=F20显然排除(A)和(D),故选(C)。综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学一元函数积分学定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是(A)若limx0f(x)x存在，则f0=0(B)若limx0fx+f(-x)x存在，则f0=0(C) 若limx0f(x)x存在，则f0存在(D) 若limx0fx-f(-x)x存在，则f0存在【答案】D。【解析】 (A)：若limx0f(x)x存在，因为limx0x=0,则limx0f(x)=0,又已知函数f(x)在x=0处连续，所以limx0f(x)=f(0),故f0=0,(A)正确；(B)：若limx0fx+f(-x)x存在，则limx0fx+f(-x)=f0+f0=0,则f0=0，故(B)正确。(C) limx0f(x)x存在，知f0=0，则limx0f(x)x=limx0fx-f(0)x=f(0)则f(0)存在，故(C)正确(D) limx0fx-f(-x)x=limx0fx-f(0)x-f-x-f(0)x存在，不能说明limx0fx-f(0)x存在例如fx=|x|在x=0处连续，limx0fx-f(-x)x存在，但是f(0)不存在，故命题(D)不正确。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念(5) 设函数f(x)在(0,+)内具有二阶导数，且fx0,令un=f(n)(n=1,2,),则下列结论正确的是(A)若u1u2,则un必收敛 (B)若u1u2,则un必发散(C)若u1u2,则un必收敛 (D)若u10，知曲线y=f(x)是凹的，显然，图1排除选项(A)，其中un=fn-；图2排除选项(B)；图3排除选项(C),其中un=fn+；故应选(D)。yu1 u2 xO 1 2yu1 u2 xO 1 2yu1 u2 xO 1 2图1 图2 图3【方法二】排除法：取fx=(x-2)2,显然在(0,+)，fx=20,f1=1f2=0,但un=fn=(n-2)2+，排除A；取fx=1x,在(0,+)上，fx0,且f1=1f2=12,但un=fn=1n0,排除B；取fx=ex, 在(0,+)上，fx0，且f1=e0,(1c2时，fn=fn-f2+f2=fn-2+f2 (20，且c,则ffc0从而有fnfcn-2+f2+则有un=fn+ 综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学一元函数微分学函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(6) 设曲线L:fx,y=1(fx,y具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限的点N，为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是(A) f(x,y)dx (B) f(x,y)dy(C) f(x,y)ds (D) fxx,ydx+fy(x,y)dy【答案】B。【解析】设M,N的坐标分别为Mx1,y1,N(x2,y2)，则由题设可得x1y2因为 f(x,y)dx= dx=x2-x10, f(x,y)dy= dy=y2-y10； fxx,ydx+fy(x,y)dy= 0dx+0dy=0综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学多元函数积分学两类曲线积分的概念、性质及计算(7) 设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是(A)1-2, 2-3,3-1(B)1+2, 2+3,3+1(C)1-22, 2-23,3-21(D)1+22, 2+23,3+21【答案】A。【解析】(A)：因为(1-2)+ 2-3+3-1=0,所以向量组1-2, 2-3,3-1线性相关；(B)：1+2, 2+3,3+1=1,2,3101110011C=101110011因为1,2,3线性无关，所以判断1+2, 2+3,3+1线性无关|C|0由于101110011=20,故知1+2, 2+3,3+1线性无关；(C)：(1-22, 2-23,3-21)=1,2,310-2-2100-2110-2-2100-21=-70，同理1-22, 2-23,3-21线性无关；(D)：1+22, 2+23,3+21=1,2,3102210021102210021=90，同理1+22, 2+23,3+21线性无关；综上所述，本题正确答案是A。【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关(8) 设矩阵A=2-1-1-12-1-1-12,B=100010000,则A与B(A)合同，且相似 (B)合同，但不相似(C)不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似【答案】B。【解析】根据相似的必要条件:aii=bii，易得A和B肯定不相似，合同的充分必要条件是具有相同的正惯性指数、负惯性指数。由E-A=-2111-2111-2=1-2111-2=(-3)2知矩阵A的特征值3,3,0.故二次型xTAx的正惯性指数p=2,负惯性指数q=0,而二次型xTBx也是正惯性指数p=2,负惯性指数q=0，所以A和B合同综上所述，本题正确答案是B。【考点】线性代数二次型二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0p1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)3p(1-p)3 (B)6p(1-p)3(C)3p2(1-p)2 (D)6p2(1-p)2【答案】C。【解析】根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功和2次失败，其概率为C31p(1-p)2,第4次试验成功，其概率为p，所以此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为C31p(1-p)2p=3p2(1-p)2综上所述，本题正确答案是C。【考点】概率论与数理统计随机事件和概率概率的基本公式，事件的独立性，独立重复试验(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fXx,fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX|Yx|y为(A)fXx (B)fY(y)(C)fXxfY(y) (D)fXxfY(y)【答案】A。【解析】随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，说明X与Y相互独立，且fx,y=fXxfY(y)在Y=y的条件下，根据题目显然fYy0 ,X的条件概率密度fX|Yx|y为fX|Yx|y=fx,yfY(y)=fXx综上所述，本题正确答案是A。【考点】概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，随机变量的独立性和不相关性，常用二维随机变量的分布二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）(11) 121x3e1xdx= 。【答案】e2。【解析】【方法一】121x3e1xdx=-121xe1xd1x =-121xde1x=-1xe1x12+12 e1xd1x =-12e12+e+e1x12=e2 【方法二】令1x=t,则x=1t,dx=-1t2dt121x3e1xdx=-112tetdt=121tetdt=tet121-121etdt =e-e2-et121=e2 综上所述，本题正确答案是e2。【考点】高等数学一元函数积分学不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(12) 设f(u,v)是二元可微函数，z=f(xy,yx),则zx= 。【答案】f1yxy-1+f2yxlny【解析】利用复合函数的求导方式，可直接得出zx=f1yxy-1+f2yxlny 综上所述，本题正确答案是f1yxy-1+f2yxlny。【考点】高等数学多元函数微分学多元函数的偏导数和全微分(13) 二阶常系数非齐次微分方程y-4y+3y=2xe2x的通解为y= 。【答案】y=C1ex+C2e3x-2e2x,其中C1,C2为任意常数【解析】对应齐次方程的特征方程为2-4+3=01=1,2=3则对应齐次方程的通解为y=C1ex+C2e3x设原方程特解为y*=Ae2x,代入原方程可得4Ae2x-8Ae2x+3Ae2x=2e2xA=-2所以原方程的特解为y*=-2e2x故原方程的通解为y=C1ex+C2e3x-2e2x,其中C1,C2为任意常数，综上所述，本题正确答案是y=C1ex+C2e3x-2e2x,其中C1,C2为任意常数。【考点】高等数学常微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程(14) 设曲面:x+y+z=1,则 x+ydS= 。【答案】433。【解析】由积分区域和被积函数的对称性有， xdS=0, |x|dS= |y|dS= |z|dS 所以， |y|dS=13 (x+y+z)dS=13 dS=13832=433故 x+ydS=433综上所述，本题正确答案是433。【考点】高等数学多元函数积分学两类曲面积分的概念、性质及计算(15) 设矩阵A=0100001000010000，则A3的秩为 。【答案】1。【解析】因为A2=0010000100000000,A3=0001000000000000所以rA3=1。综上所述，本题正确答案是1。【考点】线性代数矩阵矩阵的乘法，矩阵的秩(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 。【答案】34。【解析】假定在区间(0,1)中随机地取两个数为X,Y，则0X1,0Y1,把(X,Y)看做直角坐标系内一个点的坐标，则如下图所示，(X,Y)为正方形区域内的点，而满足X-Y12的点的区域就是下图阴影区域。根据几何型概率，x1 1212 1y PX-Y0，设g(x)在x0a,b取到最大值，则Fx0=fx0-gx00,即fx0gx0,从而可知fx在xa,b上的最大值比gx在xa,b上的最大值要大，与题设矛盾，所以假设命题不成立。存在a,b，使得F=0所以由罗尔定理知，存在1a,2,b,使得F1=0,F2=0；再由罗尔定理知，存在(1,2),使得F=0,即f=g()。【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(20) （本题满分10分）设幂级数n=0anxn在(-,+)内收敛，其和函数y(x)满足y-2xy-4y=0,y0=0,y0=1(I) 证明:an+2=2n+1an,n=1,2,3,；(II) 求y(x)的表达式。【解析】(I) 由题设可得y=n=0anxn,y=n=1nanxn-1 y=n=2n(n-1)anxn-2=n=0(n+1)(n+2)an+2xn,代入 y-2xy-4y=0,y0=0,y0=1可得n=0(n+1)(n+2)an+2xn-2n=1nanxn-4n=0anxn=0 a0=0,a1=1,a2=0,即n=0(n+1)(n+2)an+2xn-2n=0nanxn-4n=0anxn=0比较同次项系数可得，an+2=2n+1an,n=1,2,3,(II) 由a0=0,a1=1,a2=0, an+2=2n+1an,n=1,2,3,可得，a2n=0,a2n+1=22na2n-1=22n22n-2a2n-3=1n!a1=1n! 故y=n=01n!x2n+1=xn=01n!(x2)n=xex2【考点】高等数学无穷级数简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式(21) （本题满分11分）设线性方程组 x1+x2+x3=0x1+2x2+ax3=0x1+4x2+a2x3=0 与方程x1+2x2+x3=a-1 有公共解，求a的值及所有公共解。【解析】【方法一】方程组有公共解，即为将两个方程联立的解x1+x2+x3=0x1+2x2+ax3=0x1+4x2+a2x3=0x1+2x2+x3=a-1 对联立方程组的增广矩阵进行初等行变换，有A=11112a14a2121 000a-111101a-103a2-1010 000a-110101000a-1000 1-aa-11-a(a-1)(a-2)已知方程组有解，所以应有a-1a-2=0，a=1,a=2a=1时，A101010000000 0000此时，公共解为：x=k-101,其中k为任意常数。a=2时，A101010001000 -11-10此时，有唯一的公共解为x=01-1【方法二】先求方程组的解，其系数行列式为11112a14a2=(a-1)(a-2)当a1,a2时，方程组只有零解，但此时x=(0,0,0)T不是方程的解，所以公共解发生在a=1或a=2时，当a=1时，对方程组的系数矩阵进行初等行变换111121141101010000方程组的通解为x=k-101, 其中k为任意常数。此解也满足方程组，所以此时方程组和的公共解为x=k-101, 其中k为任意常数。当a=2时，同样求方程组的通解111122144111011033100011000方程组的通解为x=k0-11, 其中k为任意常数。将其代入方程组中得：0+2-k+k=1得k=-1,因此此时方程组和的公共解为x=01-1【考点】线性代数线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解(22) （本题满分11分）设3阶实对称矩阵A的特征值为1=1,2=2,3=-2,且1=(1,-1,1)T是A的属于1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵。(I) 验证1是矩阵B的特征向量，并求B的所有特征值和特征向量；(II) 求矩阵B。【解析】(I) 由A=知An=n,那么B1=A5-4A3+E1=A51-4A31+1=15-413+11=-21所以1是矩阵属于B特征值1=-2的特征向量同理，A2=22，A3=33，有B2=25-423+12=2,B3=35-433+13=3因此，矩阵B的特征值为1=-2,2=3=1。由矩阵A是对称矩阵知矩阵B也是对称矩阵，设矩阵B关于特征值2=3=1的特征向量是=(x1,x2,x3)T，那么因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，有1T=x1-x2+x3=0所以矩阵B关于特征值2=3=1的特征向量是2=(1,1,0)T,3=(-1,0,1)T因此，矩阵B属于特征值1=-2的特征向量是k1(1,-1,1)T，其中k1是不为0的任意常数。矩阵B属于特征值=1的特征向量是k2(1,1,0)T+k3(-1,0,1)T，其中k2, k3是不全为0的任意常数。(II) 由B1=-21,B2=2,B3=3，有B1,2,3=-21,2,3所以B=-21,2,31,2,3-1=-21-1210-20111-1-110101-1=-21-1210-201131-11121-112=01-1101-110【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵(23) （本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为fx,y=2-x-y,0x1,0y2Y;(II) 求Z=X+Y的概率密度fZ(z)。【解析】(I) PX2Y=x2y f(x,y)dxdy=D 2-x-ydxdy =01dx012x(2-x-y)dy=01(x-58x2)dx=724其中D为区域：1x2y0。(II) 【方法一】根据两个随机变量和的概率密度的一般公式有fZz=-+f(x,z-x)dx=01f(x,z-x)dx 将z分段讨论：z0时，由于0x1，故