2020年全国高中数学联赛山西赛区预赛试卷

2020年全国高中数学联赛山西赛区预赛试卷（2020年9月2日上午8：3011：30）一、选择题（每题7分共35分）1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有 个A.360 B.252 C.720 D.240解：末位是0的数共有个-，末位是2或4的数共有2(-)个.由加法原理，共有-+2(-)=252个.2.已知数列(n1)满足=-，且=1,若数列的前2020项之和为2020，则前2020项的和等于 A.2020 B.2020 C.2020 D.2020解：=-=(-)-=-,因此，对n1，+=0，从而数列中任意连续6项之和均为0.2020=3346+1,2020=3346+2,所以前2020项之和为，即=2020，于是前2020项的和等于+=2020.所以选(C).3.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是，又侧棱与底面所成的角都是，则这个棱锥的体积是 A.1 B. C. D.解：这个体积是底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半，因此4.若(nN+), 则被3除的余数是A.0 B.1 C.2 D.不能确定解：=-21(mod3).所以选(B).5.在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是 A.17 B.16 C.11 D.10解：如图(1)，作一个分割，在每个交叉点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，42(硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的.如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是.借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则三角形ABC完全被覆盖，这时若在三角形ABC内置11个点，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.故n的最小值是11，所以选(C).二、填空题（每题8分共40分）6.盒子里装有大小相同的球8个，其中三个1号球，三个2号球，两个3号球.第一次从盒子中先任取一个球，放回后第二次再任取一个球，记第一次与第二次取到的球上的号码的积为随机变量，则的数学期望E=解：可能取的值是1,2,3,4,6,9P(=1)=, P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=,P(=6)=,P(=9)=,E=1+2+3+4+6+9=3.375.7.在锐角三角形ABC中，设tanA,tanB,tanC成等差数列且函数f(x)满足f(cos2C)=cos(B+C-A)，则f(x)的解析是为解：tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有3tanB=tanAtanBtanC,因为B为锐角，所以tanB0,所以tanAtanC=3,令cos2C=x,则=，所以=所以cos(B+C-A)=cos(-2A)=-cos2A=1-2=1-=,即f(x)=.8.的末三位数是_解：(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=100+100i+9100+100i+21=10000+3000i(i+1)+189189(mod1000).所以=189100900(mod1000).所以末三位是9009.集合A中的元素均为正整数，具有性质：若，则12-，这样的集合共有 个.解：从集合A的性质可得，A必然是六个集合1,11,2,10,3,9,4,8,5,7,6,中某几个的并集，因此符合要求的A共有+=-1=63个.10.抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=.在抛物线上是否存在一点C，使ABC为正三角形 ，若存在，C点的坐标是 .解：设所求抛物线方程为，由弦长|AB|=建立关于p的方程.解得 p=或p=-(舍去)，故抛物线方程为.设AB的中点为D(x0,y0)，抛物线上存在满足条件的点C(x3,y3)，由于ABC为正三角形.所以CDAB，|CD|=|AB|=.由CDAB得 由解得，不在抛物线上.故抛物线上存在一点(,)三、解答题（每题25分共75分）11.三个等圆O1,O2,O3,两两外切且均内切于O，从O上任意一点向三个小圆引三条切线，求证：其中必有一条切线长等于另两条切线长的和.证明：设三个小圆的半径为r，大圆的半径为R，并设三个小圆切大圆于A、B、C，P 是大圆上任意一点，由于三角形ABC是等边三角形，有PA=PB+PC(如图).设P向O1,O2,O3所引三条切线的切点分别是,设线段PA，PB，PC分别交O1,O2,O3于D，E，F，连结PO,OB,EO2，易得POBEO2B，由此得=PE=PB,同理PD=PA, PF=PC,因此=(PB+PC)=PA=.12.设a,b,c(1,+)，证明：2(+).证明：a,b,c(1,+)，logba,logcb,logac,都是正数，并且它们的乘积等于1，+3=,又2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)3,=,+,即 2(+).13.有5对孪生兄妹参加k个组的活动，若规定：(1)孪生兄妹不在同一组；(2)非孪生关系的任意两人都恰好共同参加过一个组的活动；(3)有一个人只参加两个组的活动.求k的最小值.解：用A,a,B,b,C,c,D,d,E,e表示5对孪生兄妹，首先考虑(3)，不妨设A只参加两个组的活动，要同时满足(1)和(2)，A参加的两个组必为ABCDE和Abcde.然后继续编组，考虑使同组的人尽可能地多，而且避免非孪生关系的任意两人重复编在同一组中，只有从B,C,D,E和b,c,d