2016年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1若集合 为自然数集，则下列选项正确的是（ ） A Mx|x 1 B Mx|x 2 C MN=0 D M N=N 2若 i 是虚数单位，复数 z 满足（ 1 i） z=1，则 |2z 3|=（ ） A B C D 3已知等差数列 前 n 项和为 ， ，当 最大值时 n 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 4若 a， b 都是正数，则 的最小值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 5已知抛物线 p 0）上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 斜率 为（ ） A B C 1 D 6点 G 为 重心，设 = ， = ，则 =（ ） A B C 2 D 2 7由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为（ ） A 14 B C 22 D 8执行下面的程序框图，则输出的 n 的值为（ ）第 2 页（共 20 页） A 10 B 11 C 1024 D 2048 9在三棱锥 P ， 平面 ，则三棱锥 P 外接球的表面积为（ ） A 20 B 24 C 28 D 32 10已知实数 x， y 满足 ，若 z=y 的最小值为 5，则实数 k 的值为（ ） A 3 B 3 或 5 C 3 或 5 D 3 11某校组织由 5 名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在 “学生 A 和 B 都不是第一个出场， B 不是最后一个出场 ”的前提下，学生 C 第一个出场的概率为（ ） A B C D 12定义在 R 上的偶函数 f（ x）的导函数为 f（ x），若对任意的实数 x，都有 2f（ x） + x） 2 恒成立，则使 x） f（ 1） 1 成立的实数 x 的取值范围为（ ） A x|x 1 B（ ， 1） （ 1， +） C（ 1， 1） D（ 1， 0） （ 0，1） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13命题 “ ”的否定是 _ 14双曲线 的左，右焦点分别为 |2c，以坐标原点 O 为圆心， c 为半径的圆与双曲线 M 在第一象限的交点为 P，若 |c+2，则 P 点的横坐标为_ 15已知各项均为正数的数列 n 项和为 ，则 _ 16若函数 f（ x） =x 2） 2 a|x 1|+a 有 4 个零点，则 a 的取值范围为 _ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ，三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知函数为偶函数， （ 1）求 b； （ 2）若 a=3，求 面积 S 18某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（ 市场占有率（ y%）的几组相关对应数据； x 1 2 3 4 5 y 1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； 第 3 页（共 20 页） （ 2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过 精确到月） 附： 19如图，六面体 ，四边形 菱形， 垂直于平面 H=， G=3 （ 1）求证： （ 2）求 平面 成角的正弦值 20已知椭圆 经过点 ，且离心率为 ， 椭圆 E 的左，右焦点 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）若点 A， B 是椭圆 E 上关于 y 轴对称两点（ A， B 不是长轴的端点），点 P 是椭圆 E 上异于 A， B 的一点，且直线 别交 y 轴于点 M， N，求证：直线 直线 在定圆上 21已知函数 g（ x） =x2+x（ a 为实数） （ 1）试讨论函数 g（ x）的单调性； （ 2）若对 x （ 0， +）恒有 ，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22如图， 四边形 接圆的切线， 延长线交 点 P， 交于点 M， 1）求证： （ 2）若 ， ， ，求 长 第 4 页（共 20 页） 23在直角坐标系 ，曲线 （ 为参数），在以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l： m （ 1）若 m=0，判断直线 l 与曲线 C 的位置关系； （ 2）若曲线 C 上存在点 P 到直线 l 的距离为 ，求实数 m 的取值范围 24已知函数 f（ x） =|x 4|+|x a|（ a R）的最小值为 a （ 1）求实数 a 的值； （ 2）解不等式 f（ x） 5 第 5 页（共 20 页） 2016 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1若集合 为自然数集，则下列选项正确的是（ ） A Mx|x 1 B Mx|x 2 C MN=0 D M N=N 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 解分式不等式求出集合 M，进而逐一分析四个答案的正误，可得结论 【解答】 解： = 2， 1）， N 为自然数集， 故 Mx|x 1错误； Mx|x 2错误； MN=0正确； M N=N 错误； 故选： C 2若 i 是虚数单位，复数 z 满足（ 1 i） z=1，则 |2z 3|=（ ） A B C D 【考点】 复数求模 【分析】 设 z=a+到（ a+b） +（ b a） i=1，根据对应的系数相等得到 a+b=1， a b=0，求出 a， b 的值，求出复数的模即可 【解答】 解：设 z=a+ 则（ 1 i） z=（ 1 i）（ a+=1， （ a+b） +（ b a） i=1， a+b=1， a b=0， a=b= ， 则 |2z 3|=|2（ + i） 3|=| 2+i|= ， 故选： B 3已知等差数列 前 n 项和为 ， ，当 最大值时 n 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， ， ， d=1， 18d=0， 可得： 7， d= 2 第 6 页（共 20 页） 7 2（ n 1） =19 2n， 由 0，解得 ， 当 最大值时 n 的值为 9 故选： C 4若 a， b 都是正数，则 的最小值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】 基本不等式 【分析】 利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： a， b 都是正数，则 =5+ + 5+2 =9，当且仅当b=2a 0 时取等号 故选： C 5已知抛物线 p 0）上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 斜率为（ ） A B C 1 D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 根据 抛物线的性质可求出 M 的横坐标，带诶抛物线方程解出 M 的纵坐标，代入斜率公式计算斜率 【解答】 解：抛物线的焦点为 F（ ， 0），准线方程为 x= 点 M 到焦点 F 的距离等于 2p， M 到准线 x= 的距离等于 2p ，代入抛物线方程解得 p = 故选： D 6点 G 为 重心，设 = ， = ，则 =（ ） A B C 2 D 2 【考点】 向量的三角形法则 【分析】 由题意作图辅助，从而利用线性运算求解即可 【解答】 解：由题意知， + = ， 即 + = ， 故 = 2 = 2 ， 故选 C 第 7 页（共 20 页） 7由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 14 B C 22 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体的体积 V= 4+ 2=14 故选： A 8执行下面的程序框图，则输出的 n 的值为（ ）A 10 B 11 C 1024 D 2048 第 8 页（共 20 页） 【考点】 程序框图 【分析】 先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 n=1， S=1 满足条件 S 2016， n=2， S=1+2=3 满足条件 S 2016， n=4， S=3+4=7 满足条件 S 2016， n=8， S=7+8=15 满足条件 S 2016， n=16， S=15+16=31 满足条件 S 2016， n=32， S=31+32=63 满足条件 S 2016， n=64， S=63+64=127 满足条件 S 2016， n=128， S=127+128=255 满足条件 S 2016， n=256， S=255+256=511 满足条件 S 2016， n=512， S=511+512=1023 满足条件 S 2016， n=1024， S=1023+1024=2047 不满足条件 S 2016，退出循环，输出 n 的值为 1024 故选： C 9在三棱锥 P ， 平面 ，则三棱锥 P 外接球的表面积为（ ） A 20 B 24 C 28 D 32 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出 得 接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥 P 外接球的表面积 【解答】 解： C=2 ， 0， 由余弦定理可得 ， 设 接圆的半径为 r，则 2r= =4， r=2， 设球心到平面 距离为 d，则由勾股定理可得 R2=2=22+（ 2 d） 2， d=1， ， 三棱锥 P 外接球的表面积为 40 故选： A 10已知实数 x， y 满足 ，若 z=y 的最小值为 5，则实数 k 的值为（ ） A 3 B 3 或 5 C 3 或 5 D 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分 k 0 和 k 0 讨论得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 第 9 页（共 20 页） 【解答 】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 1， 2）， 联立 ，解得 B（ 2， 1）， 化 z=y 为 y=z， 由图可知，当 k 0 时，直线过 A 时在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为 k 2= 5，即 k= 3； 当 k 0 时，直线过 B 时在 y 轴上的截距最大， z 有最小值 2k+1= 5，即 k=3 综上，实数 k 的值为 3 故选： D 11某校组织由 5 名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在 “学生 A 和 B 都不是第一个出场， B 不是最后一个出场 ”的前提下，学生 C 第一个出场的概率为（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 方法一： 由题意， “学生 A 和 B 都不是第一个出场， B 不是最后一个出场 ”的出场顺序为：分为两类，求取种数，再满足其前提下，学生 C 第一个出场顺序也为两类，再根据概率公式计算即可， 方法二：直接根据分步计数原理，可得，再根据概率公式计算即可 【解答】 解：方法一： “学生 A 和 B 都不是第一个出场， B 不是最后一个出场 ”的出场顺序为：分为两类 第一类： A 最后一个出场，从除了 B 之外的 3 人选 1 人安排第一个，其它的任意排，故有8 种， 第二类： A 不是最后一个出场，从除了 A， B 之外的 3 人选 2 人安排在，第一个或最后一个，其余 3 人任意排，故有 6 种， 故学生 A 和 B 都不是第一个出场， B 不是最后一个出场的种数 18+36=54 种， “学生 A 和 B 都不是第一个出场， B 不是最后一个出场 ”的前提下，学生 C 第一个出场的 ”的出场顺序为：分为两类 第一类：学生 C 第一个出场， A 最后一个出场，故有 种， 第 10 页（共 20 页） 第二类：学生 C 第一个出场， A 不是最后一个出场，从除了 A， B 之外的 2 人选 1 人安排在最后一个，其余 3 人任意排，故有 2 种， 故在 “学生 A 和 B 都不是第一个出场， B 不是最后一个出场 ”的前提下，学生 C 第一个出场的种数 6+12=18 种， 故学生 C 第一个出场的概率为 = ， 方法二：先排 B，有 第一与最后），再排 A 有 第一）种方法，其余三个自由排，共有 4 这是总结果； 学生 C 第一个出场，先排 B，有 第一与最后），再排 A 有 C 第一个出场，剩余 2 人自由排，故有 8 种， 故学生 C 第一个出场的概率为 = ， 故选： A 12定义在 R 上的偶函数 f（ x）的导函数为 f（ x），若对任意的实数 x，都有 2f（ x） + x） 2 恒成立，则使 x） f（ 1） 1 成立的实数 x 的取值范围为（ ） A x|x 1 B（ ， 1） （ 1， +） C（ 1， 1） D（ 1， 0） （ 0，1） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出 x 0 的取值范围 【解答】 解：当 x 0 时，由 2f（ x） + x） 2 0 可知：两边同乘以 x 得： 2x） x） 2x 0 设： g（ x） =x） g（ x） =2x） + x） 2x 0，恒成立： g（ x）在（ 0， +）单调递减， 由 x） f（ 1） 1 x） f（ 1） 1 即 g（ x） g（ 1） 即 x 1； 当 x 0 时，函数是偶函数，同理得： x 1 综上可知：实数 x 的取值范围为（ ， 1） （ 1， +）， 故选： B 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13命题 “ ”的否定是 【考点】 命题的否定 【分析】 利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 “ ”的否定是： 故答案为： 第 11 页（共 20 页） 14双曲线 的左，右焦点分别为 |2c，以坐标原点 O 为圆心， c 为半径的圆与双曲线 M 在第一象限的交点为 P，若 |c+2，则 P 点的横坐标为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得圆 O 的方程，联立双曲线的方程，求得 P 的横坐标，再由双曲线的定义，和直角三角形的勾股定理，可得 c， b，化简整理可得所求横坐标的值 【解答】 解：坐标原点 O 为圆心， c 为半径的圆的方程为 x2+y2= 由 ，解得 ， 由 |c+2， 由双曲线的定义可得 | 2a=c+2 2=c， 在直角三角形 ，可得 c+2） 2=4 解得 c=1+ ， 由 c2=a2+得 +2 ， 可得 P 的横坐标为 = 故答案为： 15已知各项均为正数的数列 n 项和为 ，则 【考点】 数列递推式 【分析】 把已知数列递推式变形，可得 （ n 2），即数列 第二项起构成以 2为公 比的等比数列，再由等比数列的通项公式求得答案 【解答】 解：由 ，得 1=2， 由 ， 得 ， 又 0， 2n+，即 Sn=， 当 n 2 时， 1= 第 12 页（共 20 页） 两式作差得： an= ， 又由 ，求得 ， 当 n 2 时， 验证 n=1 时不成立， ， 故答案为： 16若函数 f（ x） =x 2） 2 a|x 1|+a 有 4 个零点，则 a 的取值范围为 （ 1， 0） （ 0， +） 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数的图象 【分析】 利用函数的零点与方程的根的关系，转化为两个函数的交点问题，画出函数的图象，然后求解 a 的范围即可 【解答】 解：函数 f（ x） =x 2） 2 a|x 1|+a 有 4 个零点，转化为： x 2） 2 a|x 1|+a=0 由 4 个根， 即 y=x 2） 2； y=a|x 1| a= 两个函数的图象有 4 个交点， 在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如图： 当 a 0 时，如图中蓝色的折线，函数有 4 个零点，可得 1 a 0； 当 a 0 时，如图中的红色折线，此时函数有 4 个零点满足题意 综上： a （ 1， 0） （ 0， +） 故答案为：（ 1， 0） （ 0，+） 第 13 页（共 20 页） 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ，三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知函数为偶函数， （ 1）求 b； （ 2）若 a=3，求 面积 S 【考点】 正弦定理；三角函数的化简求值 【分析】 （ 1）利用三角函数的辅助角公式进行化简，结合三角函数是偶函数，建立方程关系进行求解即可 （ 2）根据正弦定理先 求出 A，然后根据三角形的面积公式进行求解即可 【解答】 解：（ 1）在 ， 由 f（ x）为偶函数可知 ，所以 又 0 B ，故 所以 （ 2） ， b= ， 由正弦定理得 = ， A= 或 ， 当 A= 时，则 C= = ， 面积 S= = 当 时，则 C= = =， 面积 S= = 18某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（ 市场占有率（ y%）的几组相关对应数据； x 1 2 3 4 5 y 1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； （ 2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过 精确到月） 附： 第 14 页（共 20 页） 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）根据表中数据，计算 、 ，求出 和 ，写出线性回归方程； （ 2）根据回归方程得出上市时间与市场占有率的关系，列出不等式求出解集即可预测结果 【解答】 解：（ 1）根据表中数据，计算 = （ 1+2+3+4+5） =3， = （ = = = =3= 所以线性回归方程为 ； （ 2）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关， 即上市时间每增加 1 个月，市场占有率都增加 百分点； 由 ，解得 x 13； 预计上市 13 个月时，市场占有率能超过 19如图，六面体 ，四边形 菱形， 垂直于平面 H=， G=3 （ 1）求证： （ 2）求 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）连结 可证 平面 四边形 平行四边形得出 C，故而 平面 是 （ 2）设 点为 O，以 O 为原点建立空间坐标系，求出 和平面 法向量 ，则 | |即为所求角的正弦值 【解答】 解：（ 1）连接 四边形 菱形， 平面 面 第 15 页（共 20 页） 又 平面 平面 F=B， 平面 G， 四边形 平行四边形， 平面 平面 （ 2）设 D=O， F=P， 四边形 菱形， 平面 平面 平面 平面 同理可得： 四边形 平行四边形， P 为 中点， 又 O 为 中点， P， 平面 又 以 两垂直， （ H）， 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O 等边三角形， ， E（ 2 ， 0， 3）， P（ 0， 0， 3）， F（ 0， 2， 2）， B（ 0， 2， 0） =（ 2 ， 2， 3）， =（ 2 ， 0， 0）， =（ 0， 2， 1） 设平 面 一个法向量为 ，则 ， ，令 y=1，得 设 平面 成角为 ，则 第 16 页（共 20 页） 20已知椭圆 经过点 ，且离心率为 ， 椭圆 E 的左，右焦点 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）若点 A， B 是椭圆 E 上关于 y 轴对称两点（ A， B 不是长轴的端点），点 P 是椭圆 E 上异于 A， B 的一点，且直线 别交 y 轴于点 M， N，求证：直线 直线 在定圆上 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由椭圆经过点 ，且离心率为 ，列出方程组求出 a， b，由此能求出椭圆 C 的方程 （ 2）设 B（ P（ 则 A（ 直线 方程为 ，从而 ，同理得 ，由此能证明直线 直线于点 G 在以 直径的圆上 【解答】 解：（ 1） 椭圆 经过点 ，且离心率为 ， 由条件得 ， 解得 ， 椭圆 C 的方程 证明：（ 2）设 B（ P（ 则 A（ 直线 方程为 ，令 x=0，得 故 ， 同理可得 ， ， 第 17 页（共 20 页） = 直线 直线 于点 G 在以 直径的圆上 21已知函数 g（ x） =x2+x（ a 为实数） （ 1）试讨论函数 g（ x）的单调性； （ 2）若对 x （ 0， +）恒有 ，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （ 2）令 ，求出函数 f（ x）的最小值，通过讨论 a 的范围，得到 g（ x）的单调性，求出 g（ x）的最大值小于 f（ x）的最小值，从而求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ 1） g（ x） =3x+1 （ i）当 a=0 时， g（ x）在 单调减和 单调增； （ a 0 时， =4 12a， 当 时， g（ x） =3x+1 0 恒成立，此时 g（ x）在 R 单调增； 当 时，由 g（ x） =3x+1=0 得， ， g（ x）在（ 调减， 在（ ， （ +）单调增； 当 a 0 时， g（ x）在（ 调增，在（ ， （ +）单调减； （ 2）令 ，则 因此， f（ x）在（ 0， 1）单调减，在（ 1， +）单调增 x） =f（ 1） =1 当 a 1 时， g（ 1） =a+2 1=f（ 1），显然，对 x （ 0， +）不恒有 f（ x） g（ x）； 当 a 1 时，由（ 1）知， g（ x）在（ 0， 调增，在（ +） 单调减， ，即 所以，在（ 0， +）上， ， 又 第 18 页（共 20 页）