2016年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1若集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， B=x|x| 1，则 AB=（ ） A 1， 0， 1 B 0， 1 C x| 1 x 1 D x|0 x 1 2下列函数中，在（ 0， +）上为减函数的是（ ） A y= B y= C y= y=过圆 C： y 1） 2=4 的圆心，且与直线 l： 3x+2y+1=0 垂直的直线方程是（ ） A 2x 3y+3=0 B 2x 3y 3=0 C 2x+3y+3=0 D 2x+3y 3=0 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 5如图，在正方形 ， ， E 为 一点，且 =3 ，则 （ ） A 20 B 16 C 15 D 12 6设 a R， “”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f（ x） =（ ） x 1则不等式 f（ x）0 的解集是（ ） 第 2 页（共 19 页） A 0， 1 B 1， 1 C 1， +） D（ ， 1 1， +） 8小王的手机使用的是每月 300M 流量套餐，如图记录了小王在 4 月 1 日至 4 月 10 日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（ ） A 1 日 10 日这 10 天的平均流量小于 B 11 日 30 日这 20 天，如果每天的平均流量不超过 11M，这个月总流量就不会超过套餐流量 C从 1 日 10 日这 10 天的流量中任选连续 3 天的流量，则 3 日， 4 日， 5 日这三天的流量的方差最大 D从 1 日 10 日这 10 天中的流量中任选连续 3 天的流量，则 8 日， 9 日， 10 日这三天的流量的方差最小 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9复数 的虚部为 _ 10在 ，已知 ， ， ，则 面积是 _ 11若 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值为 _ 12已知抛物线 C： p 0）的准线方程为 x= 2，则抛物线 C 的方程为 _； 若某双曲线的一个焦点与抛物线 C 的焦点重合，且渐近线方程为 y= x，则此双曲线的方程为 _ 13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 _ 第 3 页（共 19 页） 14为 了促进公民通过 “走步 ”健身，中国平安公司推出的 “平安好医生 ”软件，最近开展了 “步步夺金 ”活动活动规则： 使用平安好医生 步器，每天走路前 1000 步奖励 红包，之后每 2000 步奖励 红包，每天最高奖励不超过 3 元红包 活动期间，连续3 天领钱成功，从第 4 天起走路奖金翻 1 倍（乘以 2），每天最高奖励不超过 6 元红包某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功这五天他走的步数统计如下： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 步数 13980 15456 17890 19012 21009 则他第二天获得的奖励红包为 _元，这五天累计获得的奖励红包为 _元 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的部分图象如图所示 （ ）写出函数 f（ x）的最小正周期 T 及 、 的值； （ ）求函数 f（ x）在区间 ， 上的最大值与最小值 16在等比数列 ， ， （ I）求数列 通项公式； （ ）若 别为等差数列 第 6 项和第 8 项，求 |+| n N*） 17 2015 年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取 本区 600 名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用 “+”表示选， “ ”表示不选结果如表所示： 人数 课程 课程一 课程二 课程三 课程四 课程五 50 + + + 80 + + 125 + + + 150 + + + 94 + + + 76 + + 第 4 页（共 19 页） 25 + + （ 1）估计学生既选了课程三，又选了课程四的概率； （ 2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率； （ 3）如果这个区的某学 生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？ 18如图， P 是菱形 在平面外一点， 0， 等边三角形， ， ， M 是 中点，点 G 为线段 一点（端点除外），平面 于点H （ ）求证： （ ）求证：平面 平面 （ ）求几何体 M 体积 19已知函数 f（ x） =3（ a 0）， g（ x） = ）求函数 f（ x）的极值； （ ）用 m， n表示 m， n 中的最大值设函数 h（ x） =f（ x）， g（ x） （ x 0），讨论 h（ x）零点的个数 20已知椭圆 M： + =1（ a b 0）的焦距为 2，点 D（ 0， ）在椭圆 M 上，过原点 O 作直线交椭圆 M 于 A、 B 两点，且点 A 不是椭圆 M 的顶点，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 H，点 C 是线段 中点，直线 椭圆 M 于点 P，连接 （ ）求椭圆 M 的方程及离心率； （ ）求证： （ ）设 面积与 面积之比为 q，求 q 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1若集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， B=x|x| 1，则 AB=（ ） A 1， 0， 1 B 0， 1 C x| 1 x 1 D x|0 x 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据集合交集的概念求解即可 【解答】 解： B=x|x| 1=x| 1 x 1， A= 2， 1， 0， 1， 2， AB= 1， 0， 1， 故选 A 2下列函数中，在（ 0， +）上为减函数的是（ ） A y= B y= C y= y=考点】 函数单调性的判断与证明 【分析】 根据基本初等函数 的性质判断选项中函数的单调性即可 【解答】 解：对于 A， y= 是定义域 0， +）上的增函数，不满足题意； 对于 B， y= 在（ ， 1）和（ 1， +）上是单调减函数，不满足题意； 对于 C， y=（ 0， +）是单调减函数，满足题意； 对于 D， y=（ ， +）是单调增函数，不满足题意 故选： C 3过圆 C： y 1） 2=4 的圆心，且与直线 l： 3x+2y+1=0 垂直的直线 方程是（ ） A 2x 3y+3=0 B 2x 3y 3=0 C 2x+3y+3=0 D 2x+3y 3=0 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的标准方程 【分析】 算出直线 3x+2y+1=0 的斜率 k= ，结合题意可得所求垂线的斜率为 k= 求出已知圆的圆心 C 的坐标，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到经过已知圆心与直线3x+2y+1=0 垂直的方程 【解答】 解：圆 y 1） 2=4， 圆心的坐标为 C（ 0， 1）， 直线 3x+2y+1=0 的斜率 k= ， 与直线 3x+2y+1=0 垂直的直线的斜率为 k= 因此，经过圆心 C 且与直线 3x+2y+1=0 垂直的直线方程是 y 1= x， 整理得 2x 3y+3=0 第 6 页（共 19 页） 故选： A 4执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 首先分析程序框图，循环体为 “当型 “循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的 S 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=0， i=1 满足条件 i 4，执行循环体， S=2， i=2 满足条件 i 4，执行循环体， S=6， i=3 满足条件 i 4，执行循环体， S=14， i=4 不满足条件 i 4， S=4，输出 S 的值为 4 故选： B 5如图，在正方形 ， ， E 为 一点，且 =3 ，则 （ ） A 20 B 16 C 15 D 12 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意把 用 表示，代入 ，展开后由向量的数量积运算得答案 【解答】 解： 边长是 4 正方形， ， =3 ， 第 7 页（共 19 页） ， ， 则 = = 故选： D 6设 a R， “”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 可判断出 【解答】 解：由 =0，即 或，即 “”是 “必要不充分条件， 故选： B 7已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f（ x） =（ ） x 1则不等式 f（ x）0 的解集是（ ） A 0， 1 B 1， 1 C 1， +） D（ ， 1 1， +） 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 设 g（ x） =f（ x） 题意可得 g（ x）是定义在 R 上的偶函数，求出 x 0，不等式 f（ x） 0 等价于（ ） x 1 得 0 x 1，即可解不等式 【解答】 解：设 g（ x） =f（ x） f（ x）是定义在 R 上的偶函数， g（ x）是定义在 R 上的偶函数， x 0，不等式 f（ x） 0 等价于（ ） x 1 0 x 1 不等式 f（ x） 0 的解集为 1， 1 故选： B 8 小王的手机使用的是每月 300M 流量套餐，如图记录了小王在 4 月 1 日至 4 月 10 日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（ ） 第 8 页（共 19 页） A 1 日 10 日这 10 天的平均流量小于 B 11 日 30 日这 20 天，如果每天的平均流量不超过 11M，这个月总流量就不会超过套餐流量 C从 1 日 10 日这 10 天的流量中任选连续 3 天的流量，则 3 日， 4 日， 5 日这三天的流量的方差最大 D从 1 日 10 日这 10 天中的流量中任选连续 3 天的流量，则 8 日， 9 日， 10 日这三天的流量 的方差最小 【考点】 频率分布折线图、密度曲线 【分析】 求出平均数判断 A，求出估计的总流量判断 B，通过图象判断 C、 D 【解答】 解：对应 A： （ 4+0+= A 错误； 对于 B： 11 20+300，这个月总流量就超过套餐流量，故 B 错误； 对于 C、 D，结合图象 C 正确， D 错误； 故选： C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9复数 的虚部为 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 对所给的复数分子和分母同乘以 1+i，再由 i 的幂运算性质进行化简即可 【解答】 解： = =i， 它的虚部是 1， 故答案为： 1 10在 ，已知 ， ， ，则 面积是 3 【考点】 正弦定理 【分析】 根据同角的三角公式求得 由三角形面积公式可求得结果 【解答】 解： ， = ， 第 9 页（共 19 页） 面积 S= C 2 5 =3 故答案为： 3 11若 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值为 7 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出平面区域，利用目标函数的几何意义求 z 的最大值 【解答】 解：不等式 组表示的平面区域如图： 当直线 y= 2x+z 经过 C 时 z 最大，并且 C（ 2， 3），所以 z 的最大值为 2 2+3=7； 故答案为： 7 12已知抛物线 C： p 0）的准线方程为 x= 2，则抛物线 C 的方程为 x ； 若某双曲线的一个焦点与抛物线 C 的焦点重合，且渐近线方程为 y= x，则此双曲线的方程为 =1 【考点】 抛物线的 简单性质 【分析】 利用抛物线 C： p 0）的准线方程为 x= 2，求出 p，可得抛物线的方程，确定抛物线的性质，利用双曲线的性质，即可得出结论 【解答】 解： 抛物线 C： p 0）的准线方程为 x= 2， p=4， 抛物线 C 的方程为 x； 抛物线的焦点坐标为（ 2， 0）， c=2， 渐近线方程为 y= x， = ， a=1， b= ， 第 10 页（共 19 页） 双曲线的方程为 =1 故答案为： x； =1 13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是放倒一个直三棱柱，由三视图求出 几三棱柱底面边长、高，由三棱柱的结构特征和面积公式求出几何体的表面积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个直三棱柱、底面在左右， 由侧视图知，底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是 2，则斜边是 2 ， 由正视图知，三棱柱的高是 3， 该几何体的表面积 S= = ， 故答案为： 14为了促进公民通过 “走步 ”健身，中国平安公司推出的 “平安好医生 ”软件，最近开展了 “步步夺金 ”活动活动规则： 使用平安好医生 步器，每天走路前 1000 步奖励 红包，之后每 2000 步奖励 红包，每天最高奖励不超过 3 元红包 活动期间，连续3 天领钱成功，从第 4 天起走路奖金翻 1 倍（乘以 2），每天最高奖励不超过 6 元红包某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功这五天他走的步数统计如下： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 步数 13980 15456 17890 19012 21009 则他第二天获得的奖励红包为 ，这五天累计获得的奖励红包为 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 根据题意得到第 1、 2、 3 天的奖励红包都是 4、 5 天的奖励红包都是 2（ 【解答】 解：因为每 2000 步奖励 红包，所以依（ x 1000）是 2000 的整数倍， 依题意得：第 1 天红包 奖励： ） 第 11 页（共 19 页） 第 2 天红包奖励： ） 第 3 天红包奖励： ） 第 4 天红包奖励： 2 （ =） 第 5 天红包奖励： 2 （ =） 所以这 5 天的红包奖励为： ） 故答案是： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的部分图象如图所示 （ ）写出函数 f（ x）的最小正周期 T 及 、 的值； （ ）求函数 f（ x）在区间 ， 上的最大值与最小值 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 （ I）由函数 y=x+）的部分图象求解析式，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式 （ 以上可得， f（ x） =2x+ ），再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值 【解答】 解：（ I）根据函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的部分图象， 可得 = ，求得 =2， 最小正周期 T= = 再根据五点法作图可得 2 +=，求得 = （ 以上可得， f（ x） =2x+ ），在区间 ， 上， 2x+ ， ， 2x+ ） ， 1， 当 2x+ = 时，即 x= ，函数 f（ x）取得最小值为 当 2x+ = 时，即 x= ，函数 f（ x）取得 最大值为 1 第 12 页（共 19 页） 16在等比数列 ， ， （ I）求数列 通项公式； （ ）若 别为等差数列 第 6 项和第 8 项，求 |+| n N*） 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 （ ）设等比数列的公比为 q由 ， ，求出 q=2，问题得以解决； （ 等差数列 通项公式 bn= n 1） d= 26+6（ n 1） =6n 32，可得当 n 5时 0 且当 n 6 时 0因此分两种情况讨论，并利用等差数列的求 和公式加以计算，可得 |+|表达式 【解答】 解：（ I）设等比数列的公比为 q 由 ， 所以 a4= 所以 q=2 所以等比数列 通项公式 n 1， n N* （ 因为 别为等差数列 第 6 项和第 8 项， 所以 b6=， b8=6， 设等差数列 公差为 d 解得， 26， d=6， 所以等差数列 通项公式 bn= n 1） d= 26+6（ n 1） =6n 32 因为当 6n 32 0 时， n 5 （ 1）当 n 5 时，可得 |+|（ b1+= 39， （ 2）当 n 6 时， |+|（ b1+b6+0+（ 329n+70）=329n+140； 综上所述： |+| 17 2015 年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实 践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区 600 名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用 “+”表示选， “ ”表示不选结果如表所示： 人数 课程 课程一 课程二 课程三 课程四 课程五 50 + + + 80 + + 125 + + + 150 + + + 94 + + + 76 + + 25 + + （ 1）估计学生既选了课程三，又选了课程四的概率； （ 2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率； （ 3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？ 第 13 页（共 19 页） 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ 1）根据图表求得既选课程三，又选了课程四的人数，与总人数的比值； （ 2）观察图表查出选 3 项课程的总人数，与 600 的比值； （ 3）分别求得选课程一、三和四的概率，进行比较，选出最大的概率 【解答】 解：（ 1）学生既选了课程三，又选了课程四的概率为： = ， （ 2）学生在五项课程中，选了三项课程的概率为： = ， （ 3）某学生已经选了课程二，再选课程一的概率为： = ； 再选课程三的概率为： = ； 再选课程四的概率为： = ； 所以，某学生已经选了课程二，那么该学生选择课程四的可能性最大 18如图， P 是菱形 在平面外一点， 0， 等边三角形， ， ， M 是 中点，点 G 为线段 一点（端点除外），平面 于点H （ ）求证： （ ）求证：平面 平面 （ ）求几何体 M 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ I）连接 是 平面 据面面平行的性质得出 （ 算 据勾股定理的逆定理得出 出 平面 是平面 平面 （ 勾股定理的逆定理得出 是 用平面 平面 性质得 出 平面 是 C 【解答】 （ I）证明：连接 四边形 菱形， O 为 中点， 点 M 为 中点， 第 14 页（共 19 页） 又 面 面 平面 又 平面 面平面 H， 面 （ 明： 边长为 2 的等边三角形， M 是 中点 四边形 菱形， ， 0， 边长为 2 的等边三角形， ， 又 = ， 菱形 ， 又 面 面 C=O， 平面 又 面 平面 平面 （ ： 四边形 菱形， 0， ， 在 ， ， ， ， 又平面 平面 面 面 O， 面 平面 C = = = 19已知函数 f（ x） =3（ a 0）， g（ x） = ）求函数 f（ x）的极值； （ ）用 m， n表示 m， n 中的最大值设函数 h（ x） =f（ x）， g（ x） （ x 0），讨论 h（ x）零点的个数 【考点】 利用导数求闭区间上函 数的最值；利用导数研究函数的极值 第 15 页（共 19 页） 【分析】 （ I）令 f（ x） =0 求出 f（ x）的极值点，得出 f（ x）的单调性与单调区间，从而得出 f（ x）的极值； （ x 和 a 的范围进行讨论得出 f（ x）， g（ x）在（ 0， +）上的单调性，利用单调性及最值判断 f（ x）， g（ x）的零点个数，从而得出 h（ x）的零点个数 【解答】 解：（ I） f（ x） =36x=3x（ 2） 令 f（ x） =0，得 ， a 0， f（ x）及 f（ x） 符号变化如下， x （ ， 0） 0 （ 0， ） （ ， +） f（ x） + 0 0 + f（ x） 极大值 极小值 f（ x）的极大值为 f（ 0） =1，极小值为 f（ ） = +1= +1 （ g（ x） =，得 x=1 当 0 x 1 时， g（ x） 0； x=1 时， g（ x） =0；当 x 1 时， g（ x） 0 （ 1）当 x 1 时， g（ x） 0， g（ x）在（ 1， +）上无零点 所以 h（ x） =f（ x）， g（ x） 在（ 1， +）上无零点 （ 2）当 x=1 时， g（ 1） =0， 所以 1 为 g（ x）的一个零点 f（ 1） =a 2， 当 a=2 时， 1 是 f（ x）的一个零点 所以当 a=2 时， h（ x） =f（ x）， g（ x） 有一个零点 当 0 a 2 时， h（ x） =f（ x）， g（ x） 有一个零点 当 a 2 时， h（ x） =f（ x）， g（ x） 无零点 （ 3）当 0 x 1 时， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， 1）上无零点 所以 h（ x） =f（ x）， g（ x） 在（ 0， 1）上的零点个数就是 f（ x）在（ 0， 1）上的零点个数 当 a 0 时，由（ I）可知 f（ x）在（ 0， ）上为减函数，在（ ， +）上为增函数， 且 f（ 0） =1， f（ 1） =a 2， f（ ） = +1= 当 ，即 0 a 2 时， f（ x）在（ 0， 1）上为减函数，且 f（ 1） =a 2 0， f（ 0） =1 0 所以 f（ x）在（ 0， 1）上有 1 个零点，即 h（ x）有 1 个零点 当 ，即 a=2 时， f（ x）在（ 0， 1）上为减函数，且 f（ 1） =a 2=0， 所以 f（ x）在（ 0， 1）上无零点，即 h（ x）无零点 当 ，即 a 2 时， f（ x）在（ 0， ）上为减函数，在（ ， 1）上为增函数， 第 16 页（共 19 页） f（ ） = +1= 0，所