内蒙古赤峰二中2020学年高二数学4月月考试题 理（含解析）

内蒙古赤峰二中2020学年高二数学4月月考试题 理（含解析）一选择题（每题5分，共60分）1.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别记两个实习生加工一个零件为一等品的事件为，由已知可得，且相互独立，利用相互独立事件的概率的计算公式，即可求解.【详解】分别记两个实习生加工一个零件为一等品的事件为，则由已知可得，且相互独立，两个零件中恰由一个一等品的概率为，故选A.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率的求解，其中解答中认真审题，合理利用相互独立事件和对立事件的概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可。或，,可知故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题。3.从区间0，1内随机抽取2n个数，. ，构成n个数对(，)，(，)，其中两数的平方和不小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到圆周率的近似值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率的近似值【详解】由题意，从区间0，1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），对应的区域的面积为12而两数的平方和不小于1，对应的区域的面积为1-12， =1-，故选：D【点睛】本题考查了几何概型的应用，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到，本题属于基础题4. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A. 4种B. 10种C. 18种D. 20种【答案】B【解析】分两种情况：选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C426种方法；选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C414种方法所以不同的赠送方法共有6410(种)【此处有视频，请去附件查看】5.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( )A. 360种B. 300种C. 150种D. 125种【答案】C【解析】【分析】先把名学生分成组，再分配到个社区即可求得结果。【详解】名学生分成组，每组至少人，有和两种情况：分组共有种分法；再分配到个社区：种：分组共有种分法；再分配到个社区：种综上所述：共有种安排方式本题正确选项：【点睛】本题考查排列组合中的平均分组问题，易错点在于对学生进行分组时，忽略了有两组平均分组，造成重复。处理平均分组问题的方法是：组均分时，分组选人后除以。6.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）A. 150B. 200C. 300D. 400【答案】C【解析】【分析】求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数【详解】，所以，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为故选：C【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想属于基础题7.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为（ ）A. 63B. 252C. 420D. 1260【答案】C【解析】【分析】首先从后排的7人中选出2人，有种结果，再把两人在5个位置中选出2个位置进行排列，即可求解.【详解】首先从后排的7人中选出2人，有种结果，再把两人在5个位置中选出2个位置进行排列有种不同的排法，所以不同的调整方法共有种，故选C.【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，其中解答中认真审题，把实际问题转化为排列组合的应用，利用排列组合的知识求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A. -40B. -20C. 20D. 40【答案】D【解析】令x=1得a=1.故原式= 。 的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.故常数项=-40+80=409.如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有( )A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种【答案】D【解析】【分析】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，相加即得所求【详解】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，故最多有+2+=420种栽种方案，故选：D【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决10.某个部件由三个元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得,得出每个元件的寿命超过1000小时的概率，在根据相互独立事件同时发生的概率的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意得,三个电子元件的使用寿命服从正态分布N(1 000,502),则每个元件的寿命超过1000小时的概率均为,则元件1和元件2超过1000小时的概率为1-,则该部件使用寿命超过1000小时的概率为，故选B.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率的计算问题，其中解答中认真审题，求得得出每个元件的寿命超过1000小时的概率，再利用相互独立事件同时发生的概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.已知三棱锥，在该三棱锥内取一点P，使的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设分别表示点到底面的距离，由三棱锥的体积公式，结合几何概型的公式，即可求解.【详解】由题意，设分别表示点到底面的距离，则，又由，所以，所以可得概率，故选D.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军。若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立。则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先计算出甲获得冠军的概率，然后计算比赛局甲获得冠军的概率，再用条件概率的计算公式，计算得题目所求“在甲获得冠军的情况下，比赛进行了局的概率”.【详解】三局比赛甲“胜、负、胜”的概率为；三局比赛甲“负、胜、胜”的概率为；两局比赛甲“胜、胜”的概率为.根据条件概率计算公式，“在甲获得冠军的情况下，比赛进行了局的概率”为.故选B.【点睛】本小题主要考查条件概率的计算，考查相互独立事件概率的计算，还考查了分类加法计数原理.属于基础题.二、填空题(每题5分）13.从1，3，5三个数中选两个数字，从0，2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为_.【答案】18【解析】【分析】由题意，对于三位数可以分为两种情况：奇偶奇，偶奇奇，根据分类计数原理，即可求解.【详解】由题意，要求三位数是奇数，对于此三位数可分为两种情况：奇偶奇，偶奇奇，所以共有种，故答案为18.【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，其中解答中根据题设要求，把三位数分为两种情况：奇偶奇，偶奇奇，再利用分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14.，则的值为_【答案】1 ，【解析】【分析】令，求得和 ，进而即可求得答案.【详解】由题意，可知，令，解得，令，解得，又由，故答案为1.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中合理利用赋值法求解二项展开式的系数问题是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，以及赋值法的应用，属于基础题.15.已知圆和直线，则圆上任意取一点A到直线的距离小于的概率为_【答案】【解析】【分析】由题意，画出图形，求出满足条件的A点所占弧长所对的圆心角的大小，利用几何概型的计算公式，即可求解.【详解】由题意，如图所示，设与直线平行的直线方程为，由O到直线的距离为，即，且，得，则,所以圆C上任取一点A到直线距离小于的概率为.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.16.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_.【答案】【解析】【分析】先求出三个同学选择的所有种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意每个同学都有三种选择，所以三个同学共有种不同的选法，有且仅有两人选择的项目完全相同的有种，其中表示3个同学选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选出一个，表示剩下的一个同学有2种选择，故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率为.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，以及排列、组合的综合应用，其中解答中求出有且只有两人选择的项目完全相同的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、简答题17.某电视台为宣传本市，随机对本市内岁的人群抽取了人，回答问题“本市内著名旅游景点有哪些” ，统计结果如图表所示.组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组15,25)a0.5第2组25,35)18x第3组35,45)b0.9第4组45,55)90.36第5组55,653y（1）分别求出的值；（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数；（3）若第1组回答正确的人员中，有2名女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中1名女性的概率.【答案】（1）；（2）中位数为41.67，平均数为41.5；（3）.【解析】【分析】由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知，由此可求出a，b，x，y设中位数为x，由频率分布直方图可知，且有，得，由此能估计这组数据的中位数和平均数第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少抽中一名女性的概率【详解】由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为，再结合频率分布直方图可知，设中位数为x，由频率分布直方图可知，且有，解得，估计这组数据的中位数为，估计这组数据的平均数为：，由知，则第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，共有：，个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件A，共有，个基本事件，至少抽中一名女性的概率【点睛】本题考查了中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的应用，涉及列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示零件质量不超过20克的为合格（1）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（2）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X表示乙车间的零件个数，求X的分布列与数学期望【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）设事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”.通过，P（E）=P（B）+P（C），求解概率即可（2）由题意知， 的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可详解：（1）设事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”.故所求概率为.（2）可能取值为分布列为所以，.点睛：本题考查条件概率的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力19.某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立.（）求某应聘人员被录用的概率；（）若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列详见解析，.【解析】试题分析：本题主要考查独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，通过分析知所求的应聘人员被录用的情况包括两位专家都同意通过的情况和只有一位专家同意通过并通过复审的情况，所以分别求概率，利用独立事件的概率求解；第二问，先求出每个人被录用的概率，再利用二项分布求出每种情况的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式计算数学期望.试题解析：设“两位专家都同意通过”为事件，“只有一位专家同意通过”为事件，“通过复审”为事件（）设“某应聘人员被录用”为事件，则，（）根据题意，表示“应聘人中恰有人被录用”，的分布列为 ，考点：独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望.20. (本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以表示笼内还剩下的果蝇的只数.（）写出的分布列（不要求写出计算过程）；（）求数学期望E；（）求概率P（E）.【答案】（）略（）数学期望为（）【解析】解：（）的分布列为：0123456 （）数学期望为（）所求的概率为21.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，PA底面ABCD，(1)求证：平面PCA平面PCD；(2)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45，求二面角的余弦值【答案】()详见解析；().【解析】【分析】（）推导出CDAC，PACD，从而CD平面PCA，由此能证明平面PCA平面PCD（）以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EABD的余弦值【详解】解：()在平行四边形ABCD