北京市第二中学2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）

北京市第二中学2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的）1.设，则“”是“”的（ ）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：，所以“”是“”的充分非必要条件，选A.【考点】充要条件【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力和逻辑推理能力等.【此处有视频，请去附件查看】2.从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，那么，互斥而不对立的两个事件是（ ）A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与至少有一个红球C. 恰有一个黑球与恰有个黑球D. 至少有一个黑球与都是红球【答案】C【解析】依题意，从装有个红球和个黑球的口袋中任意取个球至少有个黑球包含都是黑球，故至少有个黑球与都是黑球不是互斥事件，故A错误，至少有个黑球包含黑红，至少有个红球包含黑红，两者不是互斥事件，故错误，恰有个黑球与恰有个黑球不可能同时发生，是互斥事件，且不是对立事件，故 正确D至少有个黑球与都是红球是互斥事件，也是对立事件，故错误，故答案为3.某学校开设类选修课门，类选修课门，一位同学从中共选门，若要求两类课程各至少选一门，则不同的选法共有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】由题意，7门课程选3门有种方法，若选择的课程均为A课程，有种方法，选择的课程均为B课程，有种方法，满足题意的选择方法有：种.本题选择A选项.4.已知命题，使；命题，都有，给出下列结论：（ ）A. 命题是真命题B. 命题“”是真命题C. 命题“”是真命题D. 命题“”是真命题【答案】B【解析】，而，据此可得命题是假命题；，则命题为真命题；据此可得：命题“”是真命题，命题“”是假命题，命题“”是真命题.本题选择B选项.5.在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】二项式展开式的通项公式：，令可得：，则含的项的系数是.本题选择D选项.6.将五枚硬币同时抛掷在桌面上，至少出现两枚正面朝上的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得，所有硬币反面朝上的概率为：，一次正面朝上的概率为：，则至少出现两次正面朝上的概率是.本题选择B选项.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便7.展开式中的项的系数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】展开式的通项公式为：，当时，展开项为，当时，展开项为，则的展开式中的项的系数是.本题选择D选项.点睛：二项展开式的通项是展开式的第k1项，这是解决二项式定理有关问题的基础在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制8.位男生和位女生共位同学站成一排，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有种不同排法)，剩下一名女生记作B，将A,B插入到2名男生全排列后所成的3个空中的2个空中,故有种，本题选择A选项.9.若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由二项式展开式的通项公式可得展开式的通项公式为：，展开式中含有常数项，则：有正整数解，满足题意的最小的正整数为：.本题选择D选项.点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项10.在上随机的取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】直线与圆相交，则：，解得：，结合长度型几何概型公式可得满足题意的概率为：.本题选择C选项.11.若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令可得：，令可得：，则：.本题选择C选项.12.有下列命题：面积相等的三角形是全等三角形；“若，则”的逆命题；“若，则”的否命题；“矩形的对角线互相垂直”的逆命题，其中真命题为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】逐一考查所给的命题：面积相等的三角形不一定是全等三角形，该命题错误;“若,则”的逆命题为“若,则”，该命题正确;“若,则”的否命题为“若,则”，该命题正确;“矩形的对角线互相垂直”为假命题，则其逆否命题为假命题，原命题错误.综上可得：真命题为.本题选择B选项.13.在一个盒子中装有红、黄、白、绿四色的小球各个，它们大小相同，现在从盒中任意摸出个小球，每个小球被摸出的可能性都相等，则找出的三个小球颜色都互不相同，这样的摸法种数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得，满足题意的摸法种数为：种.本题选择B选项.14.一个均匀小正方体的个面中，三个面上标有数字，两个面上标有数字，一个面上标有数字将这个小正方体抛掷次，则向上的两个数字之积是的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】满足题意时，两次向上的数字至少有一个为零，两次数字均不为零的概率为：，则满足题意的概率值：.本题选择D选项.二、填空题。15.命题“，”的否定是_【答案】【解析】全称命题否定为特称命题，则命题“”的否定是.16.在的二项式中，所有项的二项式数之和为，则常数项等于_【答案】112【解析】由题意可得：，结合二项式展开式通项公式可得：，令可得：，则常数项为：.17.从，中任取个数字组成没有重复数字的三位数，其中能被整除的概率为_（用数字作答）【答案】【解析】选出的3个数字含有0时，有种方法，选出的3个数字不含有0时，有种方法，其中能被5整除的三位数末位必为0或5.末位为0的三位数其首次两位从15的5个数中任取2个排列而成方法数为，末位为5的三位数,首位从非0,5的4个数中选1个,有种挑法,再挑十位,还有种挑法，合要求的数有种。共有20+16=36个合要求的数。结合古典概型计算公式可得所求概率值为.18.有名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院和火车站这四个地方去服务，每个地方至少有一人，则不同的分配方案有_种（用数字作答）【答案】1560【解析】可能的人数分配方案为：或者，采用方案分配时，分配方案有种，采用方案分配时，分配方案有种，不同分配方案有种.点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”19.已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_（用数字作答）【答案】【解析】由题意可知，2次检测结束的概率为，3次检测结束的概率为，则恰好检测四次停止的概率为.20.对于各数互不相等的整数数组（是不小于的正整数），对于任意的，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组中的逆序数等于_；若数组中的逆序数为，则数组中的逆序数为_【答案】 (1). 3 (2). 【解析】由题意知数组(3,1,4,2)中的逆序有3,1；3,2；4,2；逆序数是3，若数组中的逆序数为n-1，这个数组中可以组成个数对，数组中的逆序数为.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.某单位从一所学校招收某类特殊人才对位已经选拨入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表： 逻辑思维能力运动协调能力一般良好优秀一般良好优秀例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为（）求，的值（）从参加测试的位学生中任意抽取位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率（）从参加测试的位学生中任意抽取位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列【答案】（）；（）；（）见解析.【解析】试题分析：（1）求，的值，由题意，从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为，而由表中数据可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人，可由，解出的值，从而得的值；（2）由题意，从人中任意抽取人的方法数为，而至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的对立事件是，没有取到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生，而没有取到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的方法数为，由古典概型，可求出没有运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率，从而得所求的概率；（3）由题意得的可能取值为，由古典概型，分别求出它们的概率，得随机变量的分布列，从而得数学期望试题解析：（I）设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人则解得所以 4分（2）设事件：从人中任意抽取人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生由题意可知，至少有一项能力测试优秀学生共有人则 7分（3）的可能取值为，位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀学生人数为人所以，所以的分布列为012所以， 13分考点：古典概型，分布列，数学期望22.已知：如图，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，且（）求证：平面（）求二面角的余弦值（）在线段（不包含端点）上是否存在点，使得与平面所成的角为；若存在，写出的值，若不存在，说明理由【答案】（）见解析；（）；（）.【解析】试题分析：（）由面面垂直的性质定理可得,结合,可得平面.（）以为原点,以的方向分别为轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量,设平面的法向量,计算可得二面角的余弦值为.（）设存在点满足题意，设,则,据此得到关于的方程，解方程可得.则在线段上存在点满足题意.试题解析：（）证明:因为在直二面角中,四边形是正方形,所以,则平面,又因为平面,所以,因为,即,所以平面.（）以为原点,以的方向分别为轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系则,.平面的法向量,设平面的法向量,因为,所以即令,解得,则,所以二面角的余弦值为.（）设存在点,使得与平面所成的角为,且,则,则有,解得（舍）.所以在线段上存在点,使得与平面所成的角为,.23.某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得分，回答不正确得分，第三个问题回答正确得分，回答不正确得分如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于分就算闯关成功（）求至少回答对一个问题的概率（）求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列（）求这位挑战者闯关成功的概率【答案】（）；（）见解析；（）.【解析】试题分析：（）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为.（）这位挑战者回答这三个问题的总得分的所有可能取值为.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X的分布列；（）结合()中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为.试题解析：（）设至少回答对一个问题为事件,则.（）这位挑战者回答这三个问题的总得分的所有可能取值为.根据题意,.随机变量的分布列是:（）设这位挑战者闯关成功为事件,则.24.已知椭圆经过点，离心率为（）求椭圆的方程（）直线与椭圆交于，两点，点是椭圆的右顶点直线与直线分别与轴交于点，两点，试问在轴上是否存在一个定点使得?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由【答案】（1）椭圆的方程是；（2）线段为直径的圆过轴上的定点【解析】试题分析：（）由题意结合椭圆所过的点和椭圆的离心率可求得，.则椭圆的方程为.（）设存在定点使得.联立直线方程与椭圆方程可得.设,结合韦达定理有直线的方程为:,则,直线的方程为:,则.由向量垂直的 充要条件有，据此求解关于n的方程可得.则存在定点使得.试题解析：（）由题意可知,又,即,.解得,即.所以.所以椭圆的方程为.（）设存在定点使得.由得.设,则.因为,所以直线的方程为:,则,直线的方程为:,则.则有,由得,整理得,故.所以存在定点使得.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题25.已知集合对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对于中的任意一对元素，都有，则称具有性质（）当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由（）若时若集合具有性质，那么集合是否一定具有性质？并说明理由；若集合具有性质，求集合中元素个数的最大值【答案】（）见解析；（）见解析.【解析】试题分析：（）当时,结合新定义的性质P可知集合不具有性质.集合具有性质.（）当时,若集合具有性质,那么对于中的任意两个元素,存在成立,则对于中的任意两个元素成立,所以集合一定具有性质.已知,设是中最小的元素,则,并且.可得集合中元素最多的理想状态是集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多出一整组（个）,即有组元素在集合中,组元素不在集合中,此时满足.很明显不存在满足上式的,理想状态不存在.接下来,令集合中属于集合中的元素比不属于集合中的元素多个,讨论可得集合中元素个数的最大值