吉林省蛟河市第一中学校2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）

20202020学年第二学期期中考试高二数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。每题只有一个选项是最符合题意的。1.无理数是实数，是无理数，所以是实数以上三段论推理A. 正确B. 推理形式不正确C. 两个“无理数”概念不一致D. 两个“实数”概念不一致【答案】A【解析】【分析】分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论【详解】解：无理数是实数，是无理数，所以是实数大前提：无理数是实数是正确的，小前提：是无理数是正确的，结论：是实数是正确的，这个推理是正确的，故选：A【点睛】本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题2.i是虚数单位，则的虚部是A. iB. iC. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用分式代数形式的乘除运算化简求得答案【详解】解：，复数的虚部是故选：D【点睛】本题考查了分式代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3.函数f (x)cosx在点（0，f (0)）处的切线方程为A. xy10B. xy10C. y10D. x10【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线的方程【详解】解：函数f (x)cosx的导数为f（x）sinx，即有在点（0，f（0）处的切线斜率为ksin00，切点为（0，1），则在点（0，f（0）处的切线方程为y1，即为y10故选：C【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，注意运用导数的几何意义和直线的方程，考查运算能力，属于基础题4.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“已知ab0，求证：”最终的索因应是A. 1B. 1C. 1D. ab0【答案】C【解析】【分析】由题意可得，要证，经过分析，只要证1，从而得出结论【详解】解：由ab0，可得要证，a，只要证，即证 ，即证，即证 ，即证1故求证“”索的因应是 1，故选：C【点睛】本题主要考查用分析法证明不等式，属于基础题5.10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】C【解析】【分析】不相邻问题采用“插空法”.【详解】解：10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排，采用插空法来解，另外六人，有种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁，有种结果，根据分步计数原理知共有，故选：C【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素6.下列命题正确的是A. 复数abi不是纯虚数B. 若x1，则复数z(1)(x1)i为纯虚数C. 若(4)(3x2)i纯虚数，则实数x2D. 若复数zabi，则当且仅当b0时，z为虚数【答案】B【解析】【分析】利用复数的分类逐一判断选项即可.【详解】对于，时，复数abi是纯虚数，错误；对于B，当x1，复数z2i为纯虚数，正确；对于C，(4)(3x2)i是纯虚数，则，即x2，故错误；对于D，复数zabi，未注明实数，故错误；故选：B【点睛】本题考查复数的分类，考查学生对基本概念的理解与运用，属于基础题.7.若函数f (x)x，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用微积分基本定理即可得到结果.【详解】f (x)x，故选：C【点睛】本题考查微积分基本定理，考查函数的表达式，考查运算能力.8.今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有A. 210种B. 162种C. 720种D. 840种【答案】A【解析】【分析】先在7个位置中选3个位置排白球，有种排法，再从剩余的4个位置中选2个位置排红球，有种排法，剩余的2个位置排黄球有种排法，由乘法原理可得答案【详解】解：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题先在7位置中选3个位置排白球，有种排法，再从剩余的4个位置中选2个位置排红球，有种排法，剩余的2个位置排黄球有种排法，所以共有210故选：A【点睛】本题考查排列组合的基本知识分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法9.已知i为虚数单位，a为实数，复数z(a2i)(1i)在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“a1”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】把复数的表示形式写成标准形式，根据复数在第四象限，得到复数的坐标所满足的条件，横标大于零，纵标小于零，得到a的取值范围，得到结果【详解】解：复数z（a2i）（1+i）a+2+（a2）i，在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a2），若点在第四象限则a+20，a20，2a2，“点M在第四象限”是“a1”必要而不充分条件，故选：B【点睛】本题考查充要条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题10.观察下列各式：a+b1，a2+b23，a3+b34，a4+b47，a5+b511，则A. 521B. 322C. 123D. 199【答案】B【解析】【分析】观察1，3，4，7，11，的规律，利用归纳推理即可得到第12个数的数值【详解】解：等式的右边对应的数为1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第12项对应的数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，第12项为322，故选：B【点睛】本题考查归纳推理的应用，得到等式的右边数的规律是解决本题的关键，比较基础11.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有A. 24对B. 16对C. 18对D. 48对【答案】C【解析】【分析】考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可，相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对.【详解】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，相互平行或相互垂直，则考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可.相对面中，相互平行有2对，相互垂直的4对，共6对，正方体有三组相对面，故36=18，故选：C【点睛】本题考查空间直线平行与垂直的判断，考查空间想象能力，考查分类讨论思想，属于中档题.12.设函数f (x)在R上可导，其导函数为f (x)，且函数f (x)在x2处取得极大值，则函数yf (x)的图象可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题设条件知：当2x0以及x0时，f (x)的符号；当x2时，f (x)0；当x2时，f (x)符号由此观察四个选项能够得到正确结果【详解】解：函数f（x）在R上可导，其导函数f（x），且函数f（x）在x2处取得极大值，当x2时，f（x）0；当x2时，f（x）0；当x2时，f（x）0当2x0时，f (x)0；x0时，f (x)0；当x2时，f (x)0；当x2时，f (x)0故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13.i为虚数单位，设复数在复平面内对应的点关于原点对称，若2018i，则_【答案】【解析】【分析】直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数【详解】解：设复数在复平面内对应的点关于原点对称，复数的实部相反，虚部相反，2018i，所以2018i故答案为：2018i【点睛】本题考查复数的几何意义，对称点的坐标的求法，基本知识的应用14.的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为_【答案】8【解析】【分析】，令x1，x1，两式相减可得结论【详解】设令x=1，可得令x=，可得，两式相减可得：，故答案为：8【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，比较基础15.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是2的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为_【答案】1【解析】【分析】连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，由四边形ABCD为正方形，得到OBOA，BOA90，MBOOAN45，而四边形ORQP为正方形，得NOM90，所以MOBNOA，则OBMOAN，即可得到S四边形MONBSAOB.【详解】解：连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，如图示：四边形ABCD为正方形，OBOA，BOA90，MBOOAN45，而四边形ORQP为正方形，NOM90，MOBNOA，OBMOAN，S四边形MONBSAOB221，即它们重叠部分的面积为1，故答案为：1【点睛】本题考查旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等也考查了正方形的性质16.已知函数f (x)x(82x)(52x)在区间0，3上的最大值是_【答案】18【解析】【分析】求出导函数，明确函数的单调性，从而得到函数的最值.【详解】由题意可得，在上单调递增，在上单调递减，函数f (x)x(82x)(52x)在区间0，3上的最大值是，故答案为：18【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查运算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知复数x(3x2)i（xR）是复数620i的共轭复数，求实数x的值【答案】【解析】【分析】由共轭复数的定义可得可得，解之可得答案【详解】因为复数620i的共轭复数为620i，由题意得：x(3x2)i620i，根据复数相等的充要条件，得：方程的解为：x3或x2方程解为：x3或x6所以实数x的值为3【点睛】本题考查共轭复数的概念，属基础题明确相关概念是解题关键18.做一个容积为256的方底无盖水箱，求它的高为何值时最省料【答案】【解析】【分析】设此水箱的高为x，底面棱长为a，则a2x256，其表面积S4ax+a2a2a2，利用均值不等式即可得出【详解】解：设此水箱的高为x，底面棱长为a，则a2x256，其表面积S4ax+a2a2a2326192当且仅当a8即h4时，S取得最小值答：它的高为4 dm时最省料【点睛】本题考查了正方体的体积与表面积、均值不等式，属于基础题19.从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）【答案】（1）576；（2）576；（3）144【解析】【分析】（1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列；（2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；（3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决.【详解】（1）偶数在末尾，五位偶数共有576个（2）五位数中，偶数排在一起的有576个（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有144【点睛】本题主要考查了数字的组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题20.设函数g(x)1ax，若当x0时，x(1ax)0，求a的取值范围【答案】【解析】【分析】g（x）exa，根据a的取值范围利用导数性质能求出a的取值范围【详解】由已知可得g(x)a若a1，则当x（0，）时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时，g(x)0，即x(1ax)0若a1，则当x（0，lna）时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x（0，lna）时，g(x)0，即x(1ax)0综上，得a的取值范围为(，1【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用21.试比较3与（n为正整数）的大小，并予以证明【答案】见解析【解析】【分析】利用作差法可得3，确定