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文档简介

,一、基本初等函数导数公式,第一节求导法则,二、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商(除分母,为0的点外)都在点可导,且,例：,三、复合函数的求导法则,定理,即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),例,例2,复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,理论推广,例3,解:,练习：求下列函数的导数,第二节定积分,一、定积分的定义,定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分,变量用什么字母表示无关,即,性质1常数因子可提到积分号外性质2函数代数和的积分等于它们积分的代数和。,二、定积分的简单性质,性质3若在区间a,b上f(x)k，则性质4定积分的区间可加性若c是a,b内的任一点，则,当a,b,c的相对位置任意时,例如,则有,则积分上限函数,定理1.若,三、牛顿莱布尼兹公式,定理1证明了连续函数的原函数是存在的.,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路.,(牛顿-莱布尼兹公式),定理2.,函数,则,例1、计算,解:,例2、设求,解,例3,其中,解:,四、定积分的换元法和,分部积分法,定理（定积分的换元公式）设函数f(x)在区间a,b上连续；函数在上单值且有连续导数；当时，有，且则,例1.计算,解:令,则,原式=,且,例2.计算,解:令,则,原式=,且,例3.,证:,(1)若,(2)若,偶倍奇零,定理（定积分的分部积分公式）设函数u(x),v(x)在a,b上有连续导数，则,例4.计算,解:,原式=,第三节广义积分（反常积分）,引例.曲线,和直线,及x轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,定义1.设,若,存在,则称此极限为f(x)在区间的广义积分,记作,类似地,若,则定义,第三节广义积分（反常积分）,则定义,(c为任意取定的常数),引入记号,则有类似牛莱公式的计算表达式:,例1.计算广义积分,解:,例2.计算广义积分,解:,第五节二重积分,其中D是积分区域,定理设,在矩形区域,上可积，且对每个,积分,存在，则累次积分,也存在，且,特别当,在矩形区域,连续时，有,例1计算,其中,解,区域,定理设,在X-区域D上连续，y1(x),y2(x)在a,b连续，则,称为X型区域,区域,则,称为Y型区域.,若D为Y型区域.,若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,例2、计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,例3、计算,其中D是抛物线,所围成的闭区域.,解,及直线,这是Y-区域，,画出积分区域的图形,先对x后对y积分,解法2,D也是X-型区域，,显然解法1比解法2好！,例4、计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:画积分区域图形，,因为,则,若先对x积分，,的原函数不能用初等函数表示，因此,改用另一种顺序的累次积分，于是有,内容小结,(1)二重积
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