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文档简介

1.算两次的原理：波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系。”这就是算两次原理，又称富比尼（GFubini）原理。波利亚多次在其论著中提到：“抛两个锚更安全。”“你能用不同方法导出结果吗？”“试着换一个角度探索下去。”等等。单墫教授编著的算两次中，将算两次原理形象地比喻成“三步舞曲”，即从2个方面考虑一个适当量，“一方面，另一方面，综合起来可得”，如果一个数学研究对象具有“双重身份”或“两面性”，也就是说既满足条件A又满足条件B，就可以考虑使用这种方法。2.算两次的数学思想：如，减法运算完后用加法运算检验其结果，除法运算完后用乘法运算检验其结果，都属于“算两次”。为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，这也属于“算两次”。不仅计算题、求解题需要这样做，在证明中，用两种方法计算同一个量，更是一种行之有效的基本方法。单墫教授指出：“算两次，即从两个方面来考察。某些时候用转换观点，换一个角度看问题等说法比算两次稍微确切一些。”因此，数形结合、化归，等价变换、正难则反等，都蕴涵着换一个角度看问题的转换思想。3.算两次的应用举例：应用一：通常的列方程其实就是一种 “算两次”。2个方面考虑的是同一个量，因此结果相等，这就产生了方程（等式）如两角和的余弦公式的向量方法证明，就是运用“算两次”思想；又如，用基底表示己知向量的题型“打叉模型”；组合恒等式的证明。应用二：在考虑一个量时，一方面得到了精确的结果，另一方面采用了估计（放缩），或者2个方面都采用了估计（一放大、一缩小），那就产生了不等式。应用三：在解决某些存在型探索性问题（或反证法证明命题）时，首先假设满足条件（或假设结论不成立），考虑某个量的性质，从2个不同的角度，也会得到2个不同的关系，而这
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