第3章紊动扩散PPT课件

.,1,环境水力学与水质模型,主讲：刘国东教授,EnvironmentalHydraulics&WaterQualityModel,电话mail:liugd988,.,2,紊动扩散知识小结例题与习题,第三章紊动扩散,.,3,第二章只介绍了静止液体中的分子扩散和层流运动条件下的随流扩散。但是，水环境中的水体流动大多处于紊流状态所以紊动扩散更具有普遍的意义层流和紊流中都存在涡漩。但是，紊流中的涡漩具有显著的尺度大小的不均匀性，而且最重要的是这些涡漩在作不规则的运动，表现为由涡漩携带着的各种物理量(如动量、质量、热量等)，在空间与时间上呈现随机特性和扩散特性。因此对紊流场中任一空间点来说流速的大小及方向、压强的大小、温度和浓度的大小都随时间和空间作随机的变化。紊动扩散就是由紊流的涡漩的不规则运动(脉动)而引起的物质迁移过程。,.,4,1883年著名的雷诺实验表明，它的本身就反映紊动扩散引起的示踪质的输移能力比层流下分子扩散的输移能力大得多。这是因为紊流涡漩的不规则运动，在尺度上和运载能力上都远比分子的无规则运动大得多。分析紊动扩散有两种方法：拉格朗日法和欧拉法。泰勒(GITaylor)于1921年最早采用拉格朗日方法研究紊动扩散，至今这种方法仍是研究紊动扩散助理论基础。巴切勒(GKBatchelor)于1949年提出的“流场中任意给定的某一空间点的统计平均浓度等于单个质点从扩散源到达该点的机率”的观点，为欧拉法的扩散理论打下了基础。,.,5,3.1随机游动的分子扩散理论,.,6,假设分子的自由程为一固定值l。只研究一维空间，并假设分子运动与x轴平行，每个分子沿正x方向运动和沿负x方向运动的概率相等。在这些简化假定下，任一分子经过N次运动以后，从原来位置前进的距离为lll(共有N项)。因系列中出现+、-号的机会相等，所以总共有2N个可能性。设出现+号的次数为p，出现-号的次数为q，则有,p+qN，并令p-qs(3-1),由上式得,(3-2),经过N次运动后，沿x方向前进的距离为sl，这种情况出现的可能组合为N!/(p!q!)，因此其概率为,以式(3-2)代入得,(3-3),.,7,(3-4),当N极大时，P的极限为,(3-5),这就是一个分子在运动N次后，从原来位置前进sl距离的概率。令a为分子运动速度，t为分子运动N次所经历的时间，又令slx，则Nat/l，代人式(3-5)得,(3-6),式(3-6)与式(2-8)具有相似的形式。式(2-8)表示在t时刻x处示踪质的浓度，式(3-6)表示携带示踪质的分子在t时刻到达x处的概率。两者应成比例，因此，可得扩散系数D：,3.1随机游动的分子扩散理论,.,8,(3-7),代人式(3-6)，得,(3-8),进一步计算在t时刻分子位于x与x+x之间的概率P。分子到达x后，下一步运动仍有1/2机会前进，1/2机会后退。因每一步的距离为l，下一步运动中没有离开x至x+x范围的机会为x/2l，则,(3-9),上式表明分子沿x轴方向作随机运动的概率密度(P/x)分布符合正态分布，其标准差为,3.1随机游动的分子扩散理论,.,9,其均值为,(3-10),(3-11),可见均值与标准差都和成比例，均方差(或)与t呈线性增长。,(3-12),3.1随机游动的分子扩散理论,.,10,上述结果表明，从随机游动分析分子扩散所得到的结果与费克扩散理论的结果是一致的。虽然这是在N为大数、时间t较长，而且作了简化假定的情况下得到的，但基本上反映了分子扩散的实际情况。显然，上面的结论只有当扩散时间比经历平均自由程所需的时间长得多时才能成立。而且在分子互撞到下一步这段时间内没有后效或史前效应，即分子运动没有记忆行为。任一随机过程如果在任何时刻它的进一步发展完全由该时刻的状态确定，而与它的过去和未来状态均无关系，则这种过程通常称为马尔科夫(Markov)过程。,3.1随机游动的分子扩散理论,.,11,下一节我们将参照分子扩散对紊流运动中的流体质点的扩散作类似的考虑和分析。当然在这里首先要指出它们之间的不同点：紊流中流体质点运动是连续的，而分子运动是不连续的；同一流体质点在前一时刻的运动与后一时刻的运动之间有一定的时间相关，即紊流流体质点有记忆行为，紊动扩散过程可认为不是马尔科夫过程。尽管如此，泰勒从一个带标记的流体质点在紊流场的运动出发，考虑它的运动路径来研究流体质点的连续运动，并把这种考虑推广到紊动扩散中去。,3.1随机游动的分子扩散理论,.,12,3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,13,3.2.1单个液体质点的扩散,Talor于1921年提出用拉格朗日法研究单个流体质点的紊动扩散，从而奠定了紊动扩散的理论基础。当然，紊流中众多质点的运动只能视为连续的，但这并不妨碍讨论某个标记流体质点在紊流中的运动路径。为了讨论问题方便，我们假定紊流场对时间与空间都是均匀的，同时取最简单的情况，即仅在一个方向(如y方向)上讨论质点的运动路径。下列方程给出了某个质点离开点y(0)的位移：,式中y(t)是经过t时段后质点到新位置的y坐标值。y(0)是t0时刻的初始y坐标值，为简单起见，取这点为原点，故y(0)=0；(t)是某质点脉动流速在y坐标上的分量。这是一个随机变量，则统计平均值。,(3-13),3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,14,令开始扩散时间为t0，经历时间t后，标记质点移动距离为y(t0+t)，则,(3-14),利用上述紊动在时空上均匀的假定，紊动的统计特性不随时间变化，可用时间平均代替统计平均，则y(t)的均方值或方差可写为,3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,15,(3-15),3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,16,式中划横线的部分是对大量具有不同起始时刻t0的质点进行的，每个质点取两个时刻的脉动流速的乘积来求平均。在两个不同时间坐标(t,t)构成的平面内的积分是在以0与t为极限的正方形内进行的。由于被积函数对t与t是对称的，我们可以用三角形(它是等腰直角三角形)的两倍来代替正方形，因此有,上式中左边积分是正方形面积；右边的积分式是三角形面积。因此，(3-15)式可写为,(3-16),3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,17,式中的的含义是，同一个流体质点在时间差为(t-t)的两个脉动流速的乘积对许多质点的平均值。与对应的气体分子随机游动情况不完全相同，流体质点在两个时刻t与t的运动不是相互独立的，而是多少总有些相关的。只要相隔的时间不太大，这个平均值就不等于零。为此引入拉格朗日自相关系数RL()：,(3-17),由于t-t，且紊流在时间上恒定，故t的变化可由的变化来反映。当用d代替dt时，积分上下限也应作相应的变更。因为当t0时，-t，当tt,0，所以方程(3-16)变为,以-代替时，有,3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,18,由于紊流是恒定的，则有如下关系式：,所以,通过分部积分可把上式中的积分式改写为,(3-18),3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,19,于是方程(3-18)写成,(3-19),1)扩散时间很短：当0，从式(3-17)可知RL()1。对此欣兹取RL()为1，从式(3-18)或式(3-19)可得：,3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,20,这表明在扩散初期，即当较小时，质点的扩散幅度与时间成正比。,2)扩散时间很长：设达到某一时刻t*后，后继脉动流速已与前述流速脉动不相关了，即t=t*时，RL(t*)0，则当tt*时，有如下关系：,(3-20),(3-21),3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,21,当t很大时，上式等号右边的第二项远比第一项小，可忽略。如令,(3-22),TL称为拉格朗日积分时间比尺。把式(3-22)代入式(3-19)得：,(3-23),(3-23),或,这表明扩散时间很长后，质点的扩散幅度与成正比。这使我们回忆起分子扩散的标准差与成正比的情况，即公式(2-11)。,3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,22,现将紊动扩散和分子扩散进行比较。分子扩散是完全随机的，分子相互之间没有后效和史前效应，是完全独立的，其概率密度分布是正态分布，标准差与扩散时间成正比。在恒定均匀紊流中，在扩散后期，即tTL之后，扩散的幅度也与成正比。因此，可以定义一个与分子扩散系数类似的紊动扩散系数Ey(本节以y方向为例)：,因为当tt*时，相关系数RL(t*)0，上式还可写为,(3-24),3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,23,式中,称为拉格朗日扩散长度比尺。根据实验资料，在tTL之后，恒定均匀紊流中示踪质的扩散运动是一个近似符合马尔科夫过程的随机运动。这就是说示踪质的浓度分布C满足微分方程(2-5)，此式目前可写为,(3-25),此式与分子扩散方程的唯一不同点是，用紊动扩散系数(Ex是x方向的紊动扩散系数)去代替分子扩散系数。分子扩散系数D是由物理属性决定的，而紊动扩散系数E则和流场的流动特性有关。,3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,24,例31在x方向有均匀流速u0.305m/s的紊流场，观察了许多示踪质在y方向的位移值，得出相应于不同时刻质点的总体平均值，列于下表中。试估算、TL、Ey和等值。,3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,25,3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,26,3.2紊动扩散的拉格朗日法,.,27,.,28,3.3紊动扩散的欧拉法,.,29,3.3.1脉动流速的概念定义流体的运动处于紊流状态时，即使是恒定流，某一点的某个方向的流速总是在某一个值作不断波动。在一个足够长的时间段内流体的流速平均值为一常数，称时均流速，某一时间的流速（称瞬时流速）减去时均流速后称脉动流速，脉动流速大小是随机的，有正有负。,时间平均流速设瞬时流速用u表示，脉(紊)动流速用u表示，则时间平均流速可表示为,(3-1),(3-2),流速标准差,3.3紊动扩散的欧拉法,.,30,相关与相关系数两个随机变量X和Y之间的相关可用相关系数R来表示,(3-3),(3-4),称为X和Y的协方差,一般0R1；当R1表明X与Y关系密切或呈线性相关；当R=0表明X和Y相互独立不相关。,3.3紊动扩散的欧拉法,.,31,流速相关距离相关(任意两不同点处的和的相关系数RL),(3-5),时间相关(同一点不同时段t1和t2的脉动流速之间),(3-6),3.3紊动扩散的欧拉法,.,32,前已导出没有紊动的移流扩散方程为,根据紊动流速的定义，即,类似，瞬时浓度可表示为,将这些关系代入移流扩散方程，,两端取时间平均，运用平均运算关系可得,(3-46),3.3紊动扩散的欧拉法,3.3.2紊动扩散方程和扩散系数(平均流速和平均浓度表示的方程),.,33,.,34,左端展开后，,比拟分子扩散的费克公式，脉动扩散可表示为,(3-7),(3-48),Ex，Ey和Ez为紊动扩散系数,.,35,(3-49),将(2-59)式代入(2-58)式，同时考虑水流连续性方程,(3-8),得,移流扩散项,时间变化项,紊动扩散项,分子扩散项,对于二维紊动扩散，方程变为,.,36,对于一维紊动扩散，方程变为,与层流移流扩散方程相比，多了脉动扩散项,或,若将Ex+D看作一个常数，则前述讨论的分子扩散和移流扩散结论可直接运用于紊动扩散。,3.3紊动扩散的欧拉法,.,37,欧拉型紊动扩散方程(3-49)是一个二阶偏微分方程，加上影响紊动扩散系数的因素又很复杂，所以求该方程的普遍解是很困难的。因此用解析法求解是针对简化了的情况进行的。这里我们就流动是一维均匀流()和紊动是三维的情况并认为紊动扩散系数为常数，忽略分子扩散，在较简单的定解条件下给出解答。于是，式(3-49)变为,建立匀速直线移动的动坐标，运用第二章第五节中给出的式(2-48)和(2-49)可把上式改写为,(3-55),(3-56),3.3紊动扩散的欧拉法,3.3.3欧拉型紊动扩散方程的某些解,.,38,(1)无限边界瞬时点源的情况，有解式,(3-57),(2)无限长瞬时线源的情况，有解式,P13(2-32),P14(2-34),(3-58),(3)无限大瞬时平面源的情况，有解式,(3-59),(4)无限边界时间连续点源稳态情况，,(3-60),P17(2-45),3.3紊动扩散的欧拉法,.,39,2、3章小结,.,40,一个定律Fick定律2.污染源分类3.三类扩散：分子扩散、移流扩散、紊动扩散4.三个扩散方程分子扩散方程移流扩散方程紊动扩散方程,2、3章小结,.,41,5.几个浓度分布基本公式瞬时点源一维无限扩散瞬时无限分布源一维无限扩散时间连续点源一维无限扩散瞬时点源三维移流扩散时间连续点源二维移流扩散,2、3章小结,.,42,2、3章小结,6.扩展和推广公式瞬时点源二维、三维无限扩散：(2-30)、(2-32)和(2-33)式一维起始有限分布源的无限扩散：(2-19)式二维、三维起始有限分布源的无限扩散：(2-35)和(2-36)式时间连续点源的三维无限扩散：(2-37)式7.浓度叠加与镜象原理一侧边界的反射二侧边界的反射8.浓度分布特性浓度矩的定义均值和方差分子扩散系数的确定,或,.,43,(无限边界瞬时点源),(无限长瞬时线源),(无限大瞬时面源),(无限边界时间连续点源),2、3章小结,9.特殊条件下紊动扩散的解,.,44,例题与习题,.,45,例3-2在一范围很大的水域中的某点上瞬时投放10kg的示踪质，在主流方向上有均匀流速0.4m/s，求在240秒钟后，在x100m、yz0处的浓度值，设紊动扩散系数分别为Ex0.2m2/s，EyEz0.03m2/s。,解：根据题意，用(3-57)式，,浓度单位为g/m3或ppm,这是考虑紊动扩散的一向三维扩散问题,例题与习题,.,46,例3-3在三维水域中的某点上以每秒4kg的速率连续投放示踪质，均匀流速0.5m/s，设紊动扩散系数Ex1.5m2/s，求扩散空间中一点(x500m，y=50m，z0)处的浓度值。,解：根据题意是求经历很长时间之后的浓度值，运用公式(3-60)，4000g/s，有解,这是无限边界时间连续点源稳态扩散问题，用（3-60）式,例题与习题,.,47,例3-4有一长直矩形断面明渠宽W为100米，水流近似为均匀流，水深5米，断面平均流速0.3米秒。在明渠某一断面(x=0)水面中心以瞬时点源方式投放若丹明B示踪剂，在下游x=450米处水面测得横向浓度分布如表例1,表中y=0表示水面中心。(1)试求明渠的分子扩散系数Dy；(2)若在渠中心以恒定强度连续投放示踪剂，考虑岸边反射，那么在下游多少米处岸边浓度为中心浓度的40%。,表例1,.,48,解：根据浓度矩的概念,(1)分析：,知道t1=0,12=0,M1=-360,M0=2874,M2=416070,=-0.13,2=144.77,t2=1500（秒）,Dy=2/t2/2=144.77/1500/2=0.048（米2/秒）,.,49,(2)分析：,在河流纵向上属移流扩散问题，用(2-46)式,C(x,W/2),C(x,0),这是一个有边界的问题，考虑一边作用，所以,式中，L=W/2,.,50,已知C(x,W/2)/C(x,0)=40%,例题与习题,.,51,把数据代入得,例题与习题,.,52,例3-5一废弃的采石场集水后形成水池，形状为矩形，池底面积为200200米，水深为50米。附近工厂将含有有害物质的废水用水泵送入池底，总计有害物质为4000kg，设有害物质在池底均匀分布，池底及池壁对该物质完全不吸收。物质在水体中的扩散系数1.0cm2s，试估算一年之后池面有害物浓度。,解：这是有边界的瞬时点源分子扩散问题,由于分子扩散到水面后被反射，所以这也是有边界扩散的问题,当z=H时，即位于水面，有,H,例题与习题,.,53,把数据代入,例题与习题,.,54,例3-6在长20米、宽1米的封闭矩形水槽中进行紊动扩散试验，水深0.5米，紊动是借助一个垂直屏幕系统的振动来发生。在t=0时刻，将0.4Kgm的示踪物质突然以瞬时平面源形式释放于槽中，释放平面的位置距槽的左端2.5米。若紊动扩散系数E=0.01米2秒，试计算在源平面与左端点之间的中点断面AA上出现最大浓度的时间以及最大浓度值。,解：按瞬时平面源一维扩散计算，浓度公式为(不计边界反射）：,例题与习题,.,55,求AA断面最大浓度，代入x=l=1.25m，令dC/dt=0，求Cmax出现的时间,例题与习题,.,56,例题与习题,.,57,如果考虑一侧的边界反射，则浓度公式为（只一次反射）：,因x=1.25m，L=2.5m，故上式中M、D、x、L均为常数,令,则浓度公式变为,例题与习题,.,58,令dC/dt=0，得,两端取对数,或,例题与习题,.,59,代入已知数据可求得K1、K2、K3,例题与习题,.,60,那么，公式简化为,代入数据，得,例题与习题,.,61,这是一个超越方程，不能直接求解，采用试算法（即猜数据让方程成立）。设,令,t=100秒，f(t)=331.67,t=120秒，f(t)=316.05,t=1