二、连续系统的时域分析幻灯片.ppt

深刻理解0-和0+时刻系统状态的含义。并掌握由0-值求0+值的方法；,理解冲击响应和阶跃响应的意义，掌握其求解方法,掌握卷积积分的定义、性质和计算方法，,会用卷积积分法求解LTI系统的零状态响应。,学习的主要内容：,掌握微分方程的经典解法，零输入响应特别是零状态响应的求解。,第二章连续系统的时域分析,第二章连续系统的时域分析,1.LTI连续系统的时域分析：,2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习各种变换,时域分析法：函数的变量-t（分析是在时间域内进行的）,域分析法的基础,3.时域分析法主要内容：,概述：,求出响应与激励关系,经典法求微分方程的解。,零输入响应和零状态响应,冲击响应与卷积积分,建立线性微分方程并,尤其引入系统的冲击响应，使零状态响应等于冲击响应与激励的卷积积分。使得LTI系统分析更加简洁、明晰。,一、微分方程的经典解二、关于0-和0+值三、零输入响应四、零状态响应五、全响应,LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。两种解法：,2.1LTI连续系统的响应,1、经典解法：,2、全响应分解为零输入响应和零输出响应,一、微分方程的经典解（单输入单输出LTI的数学模型用微分方程表示如下：）,y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t),高等数学中经典解法：,LTI连续系统：常系数的n阶线性常微分方程,齐次解：,满足齐次方程的通解，又叫齐次解,特解：,满足非齐次方程的解，叫特解,完全解=齐次解+特解。,1.齐次解,齐次方程：,特征方程：,特征根：,后由初始条件定,特征根,n个单实特征根,齐次解,r重实根,1对共轭复根,r重共轭复根,齐次解的形式由特征根定:,见高教第四版教材P41,待定系数Ci在求得全解,齐次解举例,解：系统的特征方程为,特征根,对应的齐次解为,特征方程的根称为系统的“固有频率”它决定了系统自由响应的形式。,2.特解,特解的函数形式与激励函数形式有关，将特解函数式代入原方程，比较定出待定系数。特解的函数形式如下表所示：,激励f(t),响应y(t)的特解yp(t),常数,常数,特征根均不为0,特征根,=特征根,=r重特征根,所有的特征根均j,有r重特征根为0,特解举例,如果已知：分别求两种情况下此方程的特解。,例：给定微分方程式,解:(1)由于f(t)=t2，,故特解函数式为,将此式代入方程得到,这里，P2，P1，P0=?，,等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有,联解得到,所以，特解为,(2)当f(t)=et时,特解为yp(t)=Pe1.t，（a=1特征根(共轭）这里，P是待定系数。代入方程后有：,3.全解,完全解=齐次解+特解,注意：,齐次解的函数形式：,特解中待定系数：特解带入非齐次方程，对比求；,齐次解中待定系数：在全解求得后由初始条件定。,与激励f(t)的函数形式无关,又叫固有响应或自由响应,特解的函数形式：,又叫强迫响应,由激励确定,自由响应,强迫响应,仅与系统本身的特性有关,例1：描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t0；y(0)=2，y(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t0；y(0)=1，y(0)=0时的全解。,解:(1)特征方程：2+5+6=0,特解：yp(t)=et,其特征根：1=2，2=3(单实根),齐次解：yh(t)=C1e2t+C2e3t,特解：yp(t)=Pet(a=-1特征根),特解带入方程：Pet+5(Pet)+6Pet=2et,解得：P=1,全解=齐次解+特解例题,全解：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e2t+C2e3t+et其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y(0)=2C13C21=1解得C1=3，C2=2最后得全解y(t)=3e2t2e3t+et,t0,（2）当f(t)=e-2t，t0；y(0)=1，y(0)=0时的全解。其齐次解同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重,特解：,特解代入方程：P1e-2t=e2t,得：P1=1但P0未定,特解：yp(t)=(t+P0)e2t,y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t),yp(t)=(P1t+P0)e2t,(?),y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t),yp(t)=(P1t+P0)e2t,P1=1但P0未定,全解,全解：y(t)=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t=(C1+P0)e2t+C2e3t+te2t将初始条件代入：y(0)=(C1+P0)+C2=1y(0)=2(C1+P0)3C2+1=0解得：C1+P0=2,C2=1最后得微分方程的全解：y(t)=2e2te3t+te2t,t0上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应,二、关于0-和0+状态的转换,t=0+,f(t)接入t=0,t=0-,y(j)(0-),响应及各阶导数反映的是历史状态,与激励f(t)无关,初始值或起始值,y(j)(0+),冲击函数匹配法,（0-、f(t)）共同决定0+,t,=右侧是否包含(t)、,(t)-,在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。,若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2，n-1)。y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。,下列举例说明。,0-和0+初始值举例1,例1：描述某系统的微分方程为y(t)+3y(t)=3f(t)已知y(0-)=2f(t)=(t)，求y(0+)。,解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得y(t)+3y(t)=3(t)（1）,冲击函数匹配法原理：,t=0时刻，微分方程左右两端(t)及其各阶导数平衡相等,0-和0+初始值举例1,y(t)+3y(t)=3(t),冲击函数匹配法原理：,t=0时刻，微分方程左右两端(t)及其各阶导数平衡相等,分析：,右端有(t),y(t)含3(t),右端(t)不存在,y(t)必含3(t),y(t)必含-9(t),y(t)含-9(t),y(t)在t=0时刻：有y(0+)-y(0-)=9跳变,y(0+)-y(0-)=9,解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)（1）由于上式对于所有t都成立，等号两端(t)项的系数应相等。由于等号右端为2(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y(t)在t=0处将发生跃变，即y(0+)y(0-)。但y(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有(t)项。由于y(t)中不含(t)，故y(t)在t=0处是连续的。故y(0+)=y(0-)=2,举例2：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。,由于积分在无穷小区间0-，0+进行的，且y(t)在t=0连续，故,对式(1)两端积分有,于是由上式得y(0+)y(0-)+3y(0+)y(0-)=2因为y(0+)=y(0-)=2，所以y(0+)y(0-)=2，y(0+)=y(0-)+2=2由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。,y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t),三、零输入响应,y(t)=yzs(t)+yzi(t)。零输入响应，对应的输入为零，所以方程为y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)0若其特征根都为单根，则零输入响应为：,由于激励为零，故有yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-),(j=0,1,n-1),解：零输入响应yzi(t)激励为0，故yzi(t)满足yzi”(t)+3yzi(t)+2yzi(t)=0yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=0该齐次方程的特征根为1，2，故yzi(t)=Czi1et+Czi2e2t代入初始值并解得系数为Czi1=4,Czi2=2，代入得yzi(t)=4et2e2t,t0,例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应。,注意此时系数C的求法！,四、零状态响应,方程仍为y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有yzs(j)(0-)=0；若微分方程的特征根均为单根，则其零状态响应为,Czsj为待定系数，yp(t)为方程的特解,例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零状态响应。,yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)并有yzs(0-)=yzs(0-)=0由于上式等号右端含有(t)，故yzs”(t)含有(t)，从而yzs(t)跃变，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)在t=0连续，即yzs(0+)=yzs(0-)=0，积分得,零状态响应yzs(t)满足,因此，yzs(0+)-yzs(0-)=2yzs(0+)=2yzs(0-)=2对t0时，有yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6不难求得其齐次解为Czs1e-t+Czs2e-2t，其特解为常数3，于是有yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值求得,yzs(t）=4e-t+e-2t+3，t0,例：描述系统的微分方程和初始状态如下，试确定y(0+)=？，y(0+)=？,y”(t)+4y(t)+5y(t)=f(t)y(0-)=1y(0-)=2f(t)=e-2t(t),解：带入整理：y”(t)+4y(t)+5y(t)=-2e-2t(t)+(t)令，y”(t)=a(t)+r0(t)则有y(t)=r1(t),y(t)=r2(t)a(t)+r0(t)+4r1(t)+5r2(t)=-2e-2t(t)+(t)所以a=1y(0+)-y(0-)=y(0+)=y(0-)=1y(0+)-y(0-)=y(0+)=y(0-)+1=2+1=3,五、全响应,如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下，LTI系统的响应称为全响应。它是零输入响应与零状态响应之和，即y(t)=yzi(t)+yzs(t),1、虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，但两者的系数各不相同，czij仅由系统的初始状态所决定，而cj由系统的初始状态和激励信号共同来确定。2、也就是说，自由响应包含零输入响应的全部和零状态响应的一部分。,讨论,零输入响应和零状态响应及全响应总结,y(t)=yzi(t)+yzs(t),LTI系统响应,第1种：自由响应+强迫响应,第2种：零输入响应+零状态响应,Yzi(t):没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应；,Yzs(t):不考虑起始储能的作用（起始状态=0），只由系,统外加输入信号所产生的响应。,全响应y(t)=yzi(t)+yzs(t)的求取方法：,借助经典方法,卷积积分法（后面学）,y(t)=yh(t)+yp(t),如何分析、求解？,零输入响应和零状态响应,全响应：y(t)=yzi(t)+yzs(t),（1）.yzi(t)零输入响应,微分方程：齐次(方程),y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0,Czij-待定系数,（2）.yzs(t)零状态响应,微分方程：非齐次（方程）,2.经典分析及求解,y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t),零输入响应和零状态响应,其中：Czsj-待定系数,yp(t)-特解,（3）.y(t)全响应,自由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,3.yzi(0+)、yzs(0+)、及各阶导数的确定,由yzi(j)(0+),由yzs(j)(0+),由y(j)(0+),响应及各阶导数初始值,(j=0,1,2,-n-1),y(t)=yzi(t)+yzs(t),y（j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t),y（j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-),y（j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+),.起始条件yzs(0+),响应：,零状态响应,由0-、f(t)共同决定,Czsj-由yzs(j)(0+)定,响应：,且,t=0_时:,激励没有接入,yzs(j)(0-)=0,零状态（前提）,yzs(j)(0+)=?,t0后：,.起始条件yzi(0+),若有，利用函数匹配法,t0后：有输入,微分方程=右端有没有函数？,其中：Czij要由起始条件yzi(j)(0+)定,yzi（j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-),yzs(0+)由0-、f(t)共同决定,零输入响应,f(t)=0t=0-yzi(j)(0-)存在,零输入响应和零状态响应举例,例1：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)求该系统的零输入响应和零状态响应。,解,yzi(t)形式同齐次方程：yzi”(t)+3yzi(t)+2yzi(t)=0,齐次方程的特征根为：1，2,yzi,(0+)=yzi,(0-)=y,(0-)=0yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2带入,零输入响应：yzi(t)=Czi1et+Czi2e2tCzi1Czi2由yzi,(0+)、yzi(0+)决定,解得系数：Czi1=4,Czi2=2,（1）零输入响应yzi(t),2=Czi1+Czi20=-Czi1-2Czi2,yzi(t)=4et2e2t,t0,（2）零状态响应yzs(t)满足下列方程,yzs(t)解的形式：同非齐次方程，由两部分组成,形式同齐次方程的解,特解（满足非齐次方程）,yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+C,(对t0后yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6),yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)yzs(0-)=yzs(0-)=0,Czs1Czs2:由yzs(0+)及yzs,(0+)定,yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6,yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+C,yzs(t)中有3个系数待定：Czs1,Czs2,C,C应满足：,带入方程求得：C=3,yzs(0+)=？yzs(0+)=？,由函数匹配法定：,法一：分析+直接积分,yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t),右端有(t),微分方程积分得：,yzs”(t)含有(t),yzs(t)跃变,yzs(t)在t=0连续,yzs(0+)yzs(0-),yzs(0+)=yzs(0-)=0,yzs(0+)-yzs(0-)+3yzs(0+)-yzs(0-)+2,因此，yzs(0+)=2+yzs(0-)=2,对t0时:yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3yzs(0+)=Czs1+Czs2+3=0yzs(0+)=-Czs1-2Czs2=2Czs1=-4Czs2=1求得yzs(t)=4e-t+e-2t+3，t0,yzs(0+)=2+yzs(0-)=2,全响应？,我们知道：,yzs(t)=4e-t+e-2t+3，t0,yzi(t)=4et2e2t,t0,y(t)=4et2e2t-4et+e2t+3,y(t)=-e2t+3,零输入响应,零状态响应,自由响应,强迫响应,Y(t)还可以分为：瞬态响应和稳定响应。,2.2冲激响应和阶跃响应,概述：,1.学习了2种求LTI系统响应的方法,自由响应+强迫响应,零输入响应+零状态响应,下面一节的内容，针对零状态响应的求取，,找寻一种好方法。,2.把一激励信号（函数），分解为冲击函数或阶,冲击响应阶跃响应,跃函数之和(积分），只要求出了系统对冲击函,数或阶跃函数的响应，利用LTI系统的特性，,在系统的输出端，叠加得到系统总的零状态响应,，那么系统对冲击或阶跃信号的零状态响应，就,是下面要学习的内容。,一、冲激响应,1定义：,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t),2系统冲激响应的求解,冲激响应的数学模型,对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示,响应及其各阶导数(最高阶为n次),激励及其各阶导数(最高阶为m次),h(t)解的形式,例:当特征根均为单根时,由于(t)及其导数在t0+时都为零，因而方程式,右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式,与齐次解的形式相同。,解：,求特征根,冲激响应,例1求系统的冲激响应,带(t),两种求待定系数方法：,平衡求0+法,奇异函数相平衡求待定系数法,法一：求0+值确定系数,代入h(t)，确定系数C1,C2，得,注意：系数a同,注意：系数a同,代入微分方程，利用(t)系数匹配:a=1b=-2,所以：,对式(1)从0-到0+积分得:h,(0+)h,(0-)=2,对式(2)从0-到0+积分得:h(0+)h(0-)=1,法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数,根据系数平衡，得,不用求h(0+)、h,(0+),法三：线性时不变性质法,解：,求冲击响应,设h1(t)满足简单方程,将边界条件代入h1(t)式，解得C1=1/2，C2=-1/2，,则由系统的线性时不变特性,?,冲激响应求解举例2,例2描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应h(t)。,解根据h(t)的定义有h”(t)+5h(t)+6h(t)=”(t)+2(t)+3(t)(1)h(0-)=h(0-)=0先求h(0+)和h(0+)。由方程可知，h(t)中含(t)故令h”(t)=a”(t)+b(t)+c(t)+r1(t)h(t)=a(t)+b(t)+r2(t)h(t)=a(t)+r3(t)ri(t)为不含(t)的某函数代入式(1)，有,a”(t)+b(t)+c(t)+r1(t)+5a(t)+b(t)+r2(t)+6a(t)+r3(t)=”(t)+2(t)+3(t),整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c+5b+6a)(t)+r1(t)+5r2(t)+6r3(t)=”(t)+2(t)+3(t),利用(t)系数匹配，得a=1，b=-3，c=12所以h(t)=(t)+r3(t)（2）h(t)=(t)-3(t)+r2(t)（3）h”(t)=”(t)-3(t)+12(t)+r1(t)（4）,对式(3)从0-到0+积分得h(0+)h(0-)=3对式(4)从0-到0+积分得h(0+)h(0-)=12故h(0+)=3，h(0+)=12,h(0-)=h(0-)=0,微分方程的特征根为2，3。故系统的冲激响应为h(t)=C1e2t+C2e3t，t0代入初始条件h(0+)=3，h(0+)=12求得C1=3，C2=6,所以h(t)=3e2t6e3t,t0结合式t0时h(t)=0,及(2)式h(t)含(t)，可以得到h(t)=(t)+r3(t)-（2）h(t)=(t)+(3e2t6e3t)(t),对t0时，有h”(t)+6h(t)+5h(t)=0,二、阶跃响应,阶跃响应示意图,*阶跃响应是激励为单位阶跃函数(t)时，系统的零状态响应，如下图所示。,用g(t)表示阶跃响应,如果描述系统的微分方程是式y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=f(t)，当f(t)=(t)时，有,式（1）的特解为,其初始值为:,注：除g(n)(t)外？,因为：等号右端仅含有(t)，故除g(n)(t)外g(t)及其各阶导数均连续，所以上式成立。,y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t),若微分方程的特征根i(i=1，2，n)均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式(nm)为,若描述系统的微分方程是式,可根据LTI系统的线性性质和微积分特性求出阶跃响应：,解：系统的微分方程设图中右端积分器的输出为x(t)，则其输入为x(t)，左端积分器的输入为x(t)。左端加法器的输出为x(t)-3x(t)-2x(t)+f(t)即x(t)+3x(t)+2x(t)f(t),例题：如图2.2-3所示的LTI系统，求其阶跃响应,x(t),x(t),x(t),右端加法器的输出为y(t)=-x(t)+2x(t),x(t)+3x(t)+2x(t)f(t);（1）y(t)=-x(t)+2x(t)（2）,阶跃响应若设（1）式所述系统的阶跃响应为gx(t),则有g(t)=-gx(t)+2gx(t),gx(t)满足方程gx(t)+3gx(t)+2gx(t)(t)gx(0_)=gx(0_)=0其特征根11；22，其特解为0.5，于是得gx(t)(C1e-t+C2e-2t+0.5)(t)初始值为gx(0)=gx(0)=0，代入上式得gx(0)=C1+C2+0.5=0;gx(0)=-C1-2C2=0,解得C1-1；C20.5,为什么？,所以，gx(t)(-e-t+0.5e-2t+0.5)(t)求出gx(t)，代入g(t)=-gx(t)+2gx(t)得g(t)=-gx(t)+2gx(t)(-3e-t+2e-2t+1)(t),解法二：由（1）、（2）式求得系统的微分方程为：y(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t),当f(t)=(t)时，有,先求h(0+)和h(0+),令：,由（4）式从0-到0+积分得,将上三式代入（3）式得,由（5）式从0-到0+积分得,可以求得系统的冲激响应为h(t)=(3e-t-4e-2t)(t),当t0,有,所以,由,但是，我们要求的是什么？阶跃响应。,2.3卷积积分,1、卷积方法在信号与系统的理论中占有重要地位2、我们讨论卷积积分是将输入信号分解为众多的冲击函数之和（积分）3、信号的时域分解与卷积积分4、卷积的图解法,任意信号分解,任意f(t)分解为许多宽度为窄脉冲,如图：第k个窄脉冲出现在k时刻,信号f(t)分解为众多冲击函数,其强度（脉冲下的面积）为f(k)这样，可将f(t)看成由一系列强度不同，接入时刻不同的的窄脉冲组成。这些窄脉冲的和近似等于f(t)，即,任意连续信号可以表示为无限多个不同加权的冲激信号之和。,2.任意信号作用下的零状态响应,yzs(t),f(t),根据h(t)的定义：,(t),h(t),由时不变性：,(t-),h(t-),f()(t-),由齐次性：,f()h(t-),由积分性：,f(t),yzs(t),卷积积分,任意连续信号可以表示为无限多个不同加权的冲激信号之和。,3.卷积积分的定义,已知定义在区间（，）上的两个函数f1(t),为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为,变量，t为参变量。结果仍为t的函数。,和f2(t)，则定义积分,f(t)=f1(t)*f2(t),注意：积分是在虚设的变量下进行的，为积分,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为四步：（1）换元：t换为得f1()、f2()（2）反转平移：由f2()反转f2()平移tf2(t-)（3）两信号重叠部分相乘：f1()f2(t-)（4）相乘后图形积分：从到对乘积项积分。注意：t为参变量,图解法计算卷积举例,例1f(t)、h(t)如图所示，求yzs(t)=h(t)*f(t),解,h(t)函数：换元为h(),f(t)函数：换元为f()、反折,并平移t,图解法计算卷积举例,(2)0t1,t0,f(t-)：,yzs(t)=0,2,t,(3)1t2,t0,h()=0,图解法计算卷积举例,(4)2t3,(5)3t+,将以上各段的计算结果归纳到一起，可以画图表示出来。,例2f1(t)、f2(t)如图所示，求f(t)=f1(t)*f2(t),解,f1(t)函数：换元为f1(),f2(t)函数：换元为f2()、反折、移位,t,（1）-t-2,没有重叠，卷积f(t)=0,（2）-2t0,（3）0t2,3/4,（4）2t4,2,（5）4t,没有重叠，f(t)=0,将以上各段的计算结果归纳到一起，可以画图表示出来。（略）,例3f1(t)=3e-2t(t)，f2(t)=2(t),求f(t)=f1(t)*f2(t),解：,分析：,（1）t0即0,（4）积分限：02,(t+3)*(t-5)=(t-2)(t-2),1.(t+3)*(t-5),卷积性质例题,(t+3)*(t-5),例1,解：,方法二.,(t)*(t)=t(t),(t+3)*(t-5)=t(t)*(t+3-5),分析：,利用性质及结论,f1(t-t1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2),=(t-2)(t-2),根据：性质f(t)*(tt0)=f(tt0),三、卷积的微积分性质,1.,若f(t)=f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(t),则f（1）(t)=f1（1）(t)*f2(t)=f1(t)*f2（1）(t),证明：,f（1）(t)=,同理：,f（1）(t)=,卷积的积分性质,若f(t)=f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(t),2.,则,证明：,f(-1)(t)=,=f1(t)*f2(-1)(t),卷积的积分性质,3.在f1()=0或f2(1)()=0的前提下，,同理：,f(-1)(t)=,=f2(t)*f1(-1)(t),=f1（-1）(t)*f2(t),f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t),f1(-)=f2(-)=0,卷积性质的推广,杜阿密尔积分：,LTI系统：,（1）利用定义式直接进行积分：对于容易求积分的函,数比较有效。如指数函数、多项式函数等。（2）图解法：特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质：比较灵活。,卷积的求解：重点、难点,求解卷积的方法可归纳为：,推广：,f(i)(t)=f1(j)(t)*f2(i-j)(t)i、j可+、-,卷积性质的推广,杜阿密尔积分：,LTI系统：,表明：LTI系统的零状态响应等于激励的导数与系统的阶跃响应的卷积。其物理意义：将激励分解成一系列接入时间不同，幅值不同的阶跃函数（在时刻为f()d.(t-)）系统的零状态响应等于相应的一系列阶跃响应的积分。如上式。,推广：,f(i)(t)=f1(j)(t)*f2(i-j)(t)i、j可+、-,卷积性质例1,例1：f1(t)如图,f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t),解：f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t),f1(t)=(t)(t2),f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2),注意：当f1(t)=1，f2(t)=et(t)，套用f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)=0*f2(1)(t)=0显然是错误的。,卷积性质例2,例：f1(t),f2(t)如图，求f1(t)*f2(t),解：f1(t)=2(t)2(t1)f2(t)=(t+1)(t1),f1(t)*f2(t)=2(t)*(t+1)2(t)*(t1)2(t1)*(t+1)+2(t1)*(t1),由于(t)*(t)=t(t)据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)(t+1)-2(t1)(t1)2t(t)+2(t2)(t2),例：求,解：根据时移性质和微积分性质，有,与卷积积分的定义比较，有系统在激励信号e(t)作用下的零状态响应y(t)为激励e(t)与系统冲激响应h(t)的卷积积分，即,对因果系统，若激励f(t)在t0时作用于系统,用卷积积分求零状态响应可避免讨论在t0时的跳