结构的稳定计算

第十五章结构的稳定计算,2020/5/23,10:55:17,2,一.第一类稳定问题(分支点失稳),-临界荷载,稳定平衡,随遇平衡,不稳定平衡,不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去稳定性称为失稳(屈曲).,15.1绪论,2020/5/23,10:55:17,3,分支点失稳的特征,两种平衡状态:轴心受压和弯曲、压缩。,-第一类稳定问题,2020/5/23,10:55:17,4,二.第二类稳定问题(极值点失稳),偏心受压,第二类稳定问题,有初曲率,2020/5/23,10:55:17,5,三.分析方法,大挠度理论。,小挠度理论。,静力法能量法,四.稳定自由度,在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时,确定其变形状态所需的独立几何参数的数目,称为稳定自由度。,1个自由度,2个自由度,无限自由度,2020/5/23,10:55:17,6,例1、分支点失稳示例,失稳变形：,一、运用大挠度理论分析：,根据：,因,解一：,2020/5/23,10:55:17,7,失稳变形：,二、运用小挠度理论分析：,小挠度、小位移情况下：,2020/5/23,10:55:17,8,例2、极值点失稳示例,失稳变形：,一、运用大挠度理论分析：,根据：,因,解得：,2020/5/23,10:55:17,9,一.一个自由度体系,小挠度、小位移情况下：,抗转弹簧,A,-稳定方程（特征方程）,-临界荷载,15.2静力法,2020/5/23,10:55:17,10,二.N自由度体系,（以2自由度体系为例）,-稳定方程,-临界荷载,B,-失稳形式,2020/5/23,10:55:17,11,三.无限自由度体系,挠曲线近似微分方程为,或,令,通解为,由边界条件,稳定方程,2020/5/23,10:55:17,12,经试算,2020/5/23,10:55:17,13,静力法举例,例1.试用静力法求图示结构的临界荷载qcr，设刚度系数为k。,分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。,失稳变形图,2020/5/23,10:55:17,14,可解得临界荷载为：,通过对A点求矩有：,A,2020/5/23,10:55:17,15,例2.试用静力法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度系数为k。,A,B,C,FP,分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。,EI=,2020/5/23,10:55:17,16,可解得临界荷载为：,通过对竖向取力的平衡有：,2020/5/23,10:55:17,17,例3.试用试用两种方法求图示结构的临界荷载FPcr，设各杆I=，刚度系数为k。,分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。,失稳变形图,解：,2020/5/23,10:55:17,18,代入上式可得：,通过对变形后的B、C点求矩有：,由行列式为零可得：,2020/5/23,10:55:17,19,例4.试推导图所示两端弹性抗性抗侧移支承弹性压杆的稳定方程（k0、kr为弹性抗转刚度，k为弹性抗侧移刚度）。并讨论k、k0、kr分别为常数或等于零或等于时，弹性压杆的支承状况及相应的稳定方程是什么。,取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所示，采用小挠度理论可得弹性平衡微分方程。,解：,2020/5/23,10:55:17,20,通解为：,边界条件为：,令：则：,2020/5/23,10:55:17,21,2020/5/23,10:55:17,21,由整体平衡条件,可得稳定特征方程：,消掉，并整理后得：,2020/5/23,10:55:17,22,分情况讨论：,一、当k=常数，且k0、kr为如下取值时的稳定方程,k0=0、kr=常数；,k0=0、kr=0；,1-1,1-2,1-3,k0=、kr=0；,2020/5/23,10:55:17,23,二、当k=0，且k0、kr为如下取值时的稳定方程,k0=0、kr=常数；,2-1,2-2,2-3,k0=、kr=0；,k0=、kr=；,2020/5/23,10:55:17,24,3-1,3-2,3-3,k0=0、kr=；,k0=、kr=0；,k0=、kr=.,3-4,k0=0、kr=0；,三、当k=，且k0、kr为如下取值时的稳定方程,2020/5/23,10:55:17,25,一.势能原理,2.外力势能,1.应变能,弯曲应变能,拉压应变能,剪切应变能,外力从变形状态退回到无位移的原始状态中所作的功.,3.结构势能,15.3能量法,2020/5/23,10:55:17,26,结构势能,例:求图示桁架在平衡状态下的结构势能.EA=常数.,解:,杆件轴力,杆件伸长量,A点竖向位移,外力势能,应变能,2020/5/23,10:55:17,27,4.势能驻值原理,设A点发生任意竖向位移是的函数.,杆件伸长量,杆件轴力,应变能,外力势能,结构势能,2020/5/23,10:55:17,28,在弹性结构的一切可能位移中，真实位移使结构势能取驻值。,对于稳定平衡状态,真实位移使结构势能取极小值.,2020/5/23,10:55:17,29,分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。,例6.试用能量法求图示结构的临界荷载qcr，设刚度系数为k。,能量法举例,失稳变形图,2020/5/23,10:55:17,30,则结构势能为：,变形能为：,外力势能为：,由驻值条件有：,可解得临界荷载为：,解：,A,2020/5/23,10:55:17,31,例7.试用能量法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度系数为k。,A,B,C,FP,分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。,EI=,2020/5/23,10:55:17,32,则结构势能为：,变形能为：,外力势能为：,由驻值条件有：,可解得临界荷载为：,解：,2020/5/23,10:55:17,33,例8.试用能量法求图示结构的临界荷载FPcr，设各杆I=，刚度系数为k。,分析：上述结构有两个稳定自由度，失稳变形如右图所示。,失稳变形图,解：,2020/5/23,10:55:17,34,则结构势能为：,变形能为：,外力势能为：,2020/5/23,10:55:17,35,由驻值条件有：,由行列式为零可得：,2020/5/23,10:55:17,36,起重机塔架,2020/5/23,10:55:17,37,钢桁架桥,2020/5/23,10:55:17,38,基坑开挖格构式立柱,2020/5/23,10:55:17,39,肢杆,缀条,缀板,组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的小。组合压杆具体可分为缀条式和缀板式两种。,2020/5/23,10:55:17,40,一.缀条式组合压杆,假设组合杆失稳时的变形曲线为半波正弦曲线：,则组合杆上任意点的弯矩、剪力和轴力为：,上式中：b为组合杆的肢宽，为斜缀条与水平轴的夹角。,2020/5/23,10:55:17,41,一般缀条式组合杆的结间数较多，可取,另外：,则应变能为：,外力势能：,2020/5/23,10:55:17,42,若写成欧拉问题基本形式,当，时，,2020/5/23,10:55:17,43,若用r代表两肢杆截面对整个截面形心轴z的回转半径,取,并且,一般为,故可取,并引入长细比,若采用换算长细比,则有,2020/5/23,10:55:17,44,上式是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式.,2020/5/23,10:55:17,45,若采用换算长细比,则有,二.缀板式组合压杆,可取刚架作为计算结构，运用能量法可得到其临界荷载值为：,上式中：,2020/5/23,10:55:17,46,组合结构稳定计算举例,1.计算图示结构的临界荷载。,解：简化模型如右所示，无限个稳定自由度.,稳定的特征方程.,计算结构临界荷载.,2020/5/23,10:55:17,47,2.计算图示结构的临界荷载。,解：简化模型如右所示，无限个稳定自由度.,稳定的特征方程.,计算结构临界荷载.,2020/5/23,10:55:17,48,详细解题过程：,取压杆变形后的平衡形式及坐标如图所示，可得弹性平衡微分方程。,通解为：,令：则：,2020/5/23,10:55:17,49,边界条件为：,整理后得：,可得稳定特征方程：,可得临界荷载：,2020/5/23,10:55:17,50,3.计算图示结构的临界荷载。,解：简化模型如右所示，一个稳定自由度.,静力法求解.,计算结构临界荷载.,2020/5/23,10:55:17,51,解：一个稳定自由度，失稳变形后的图如上所示.,结构临界荷载为：,4.计算图示结构的临界荷载。,2020/5/23,10:55:17,52,解：产生单位转角后：,计算刚度.,5.计算简化模型中的刚度k。,2020/5/23,10:55:17,